Файл: Основы авиационной автоматики учеб. пособие.pdf

•следнее же означает, что функция

Ф(г) не имеет полюсов (не

равна со)

вне

единичного круга.

Необходимость

доказана.

го круга. Требуется доказать, что

система

устойчива. Будем

предполагать,

что

Ф (z)

является

рациональной

функцией и

тем самым представляется в виде

(гп < а):

ф (г) =

М

" + ••• +

?>(>

/>я гм- " + - +

^ г - " =

ап2"Н-------h а0

----- +Ö 02“"

= d0+

ѵч

d,

i=i

Ф (2 ) = со

при

z~l =

z~\,

т. е. при z — Zj.

F

— —

----- = ^ o + S

d,

1

/=.1

1—s s,

/ ft-0

Ч

;=i

Ѵ

ц . і

= Е

А

У

и=0

(=і

S:

ft=0

1

со

сходится, так как

S, =

1 и тем самым

—V - <С

>

Z;

I С И

Рассмотрим в виде

примеров устойчивость

ft-О

приведенных в

u .T z~ 1

Ф (z) = --------------------- иполюс передаточной функции z t= 1 —ң-Т.

1— (1 — pTJz“ 1

если \гл |<Д, т. е.

Система будет устойчива лишь в том случае,

— 1 < 4 — рР < Д . Из последнего

неравенства

следует условие

устойчивости этой системы

° 0 <

у ■

Для структурной

схемы

радиодальномера

имеем Ф(г) =

= ----- :— -----------

.

Полюс

этой передаточной

функции

равен

1 + (р — 1) г -1

будет

устойчива,

если

|І — р |<

1,

или

2 j= 1 — IL. Система

— 1 < 1 —fj. < 1.

Из последних неравенств п

следует

условие

устойчивости системы

0 < [ л < 2 .

ной передаточной

функции

является

затруднительным.

Если

1-(- р

круга при

этом

положить г = -----—, то внешность единичного

мену переменной z

— —

в передаточной функции

Ф(г), к

полученной функции

~1— Р

Рауса—

Ф(р)

можно применить критерий

Ф(г] 1± р_

1 Л-Р

=

а ( 1 — р)

i - р

1 _ ( 1 _ а ) Ш Т

( 2 - а ) р + а

’

1 + Р

где а = [I Т. Критерий Турвица для

системы первого

порядка

ентов знаменателя, т. е.

а =

0; 2 — а = 2 — р.7 > 0. Отсю­

да и получаем уже

известное

нам

условие

устойчивости

2

примера

рекомендуется

0 < р < ^ — . Вычисления для второго

2 -преобразование E(z) дискретной

последовательности сиг­

нала

рассогласования UJ выражается

зависимостью

X( z)

= 5(2)АЧг),

где

1 + W(z)

1

5(г) =

(7.50)

1 + W { z )

S(z)

является передаточной

функцией

ошибки.

В дальнейшем

нам

будет удобно записать

ее как функцию

аргумента г-1:

5(2)

= 5*(2->). Будем предполагать,

что замкнутая система

является устойчивой. В таком случае 5* (г-1) не

имеет полюсов

в окрестности точки 2 =

1 , следовательно, разлагается в бес­

конечный ряд Тейлора

5(г) = 5 * (2 -і) =

50*(1) + у5*П )(1)(г-

1 - 1 ) +

4 = S0x s

I

+

I Z

Учитывая,

что ~

*k = 1^- Х ^ ^ \

, на

отрезке Г(k — \)Т, Т]

получаем

Tk

\

dtr /ср

е* =

$охк+

(S\T) х ср‘

(5272)хср + ■• •

(7.52)

Формула

(7.52)

и

представляет

собой

основное

соотношение

1 - г - 1

1 —(1 -

1 - 2 - 1

1 - 2 - 1

hT - H I - hT K I - z- 1 ) ■

Коэффициенты So,

и

будем вычислять не по формулам

тов. Приравнивая множители при равных степенях

(1— z ' 1)

(1 -2-') = [рГ+(l-^Xl-z-1)][5о+ ^(1 -Z-1) +

+ *^г(*—z~1)2-)-•••],

получаем

р .7'6’0

=

0 ;

^ 5 ,

+

(1 ~V.T)S0 = 1;

p 7 \ S 2 + ( I - p 7 ) S 3 = 0;

р*

Р

а среднее значение

второй производной

постоянно и

равно

2 а,

получаем

k =

— a(2k — 1) +

г

* 2а.

Система называется

первые

ее

г коэффициентов ошибок равны 0:

( 7 . 5 3 )