Формула (7.45) и определяет передаточную функцию замкну той системы.
Р и с. 7.16. Блок-схема дискретной замкнутой системы
Рассмотрим примеры.
1. Пусть требуется определить передаточную функцию и переходную функцию замкнутой системы (рис. 7.17).
Р и с. 7.17. Пример
Составим р—2 -структурную схему этой системы (рис. 7.18).
|
Передаточная функция W H(z) |
непрерывной части разомкну |
|
той системы равна W H(z) = Ар |
pTz -1 |
Передаточная |
|
ѴР21 ( 1- y-l\2 |
|
|
|
Р и с. 7.18. р—г-структурная схема
функция U7(г) разомкнутой |
системы равна |
|
|
W ( z ) ~ ( 1 - г - 1)*Т |
Г-1 |
pTz -I |
|
(1 - Z - 1)2 |
|
г - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее получаем |
передаточную |
функцию замкнутой |
системы |
|
1 + W{z) |
. . - г « - — |
. |
|
|
1 — (1 — цТ) z~l |
|
2 -преобразование |
переходной |
функции |
данной |
системы равня- |
ется Y(z) = Ф {z)Z { 1} = |
|
„. Tz -I |
1 |
|
Для опре- |
------------ --— - -------- • |
'1 I — (1 — рТ)2_1 1—2-1
деления членов у к выходной дискретной последовательности
перейдем от г-преобразоваиня У (г) к производящей функции F(s) II разложим ее в степенной ряд:
F(s) = |
V-Ts |
1 |
|
1 |
+ |
1- (1 — ?T)s 1— s |
|
1 — (1 — |
|
|
s |
|
*->0 |
|
ft~0 |
ft-0 |
|
Из последнего следует, что |
|
|
|
|
|
vft~ 1 |
- ( 1 |
- р Л*- |
|
Основываясь на данном примере, рассмотрим работу соответ
|
|
|
|
|
|
|
|
ствующей непрерывной системы (рис. 7.19) |
как |
предельный |
случай работы дискретной системы при Т |
0. |
Если Т — 0, то |
Кр) |
фиксатор представляет собой звено с пе |
редаточной функцией, |
|
равной 1, и соот |
|
ветствующая |
непрерывная система, |
как |
|
это |
нетрудно |
понять, |
имеет вид рис. |
|
7.19. |
Передаточная функция |
этой |
систе |
Р іі с. 7.19. Непрерывный аналог дискретной си стемы
мы-равна Ф(р)=-------- |
, а весовая функ- |
РІѴ-+1
|
|
ция Іі (/) —1— е- **'. |
1 —(1 —\>-Т)к. |
Для дискретной системы мы получили y(.tk) = |
Учитывая, что к — |
последнее соотношение для произволь |
ного |
дискретного t = |
кТ можно записать в |
виде: y(t) = |
= 1 - |
( 1 - ііЛ',т- |
|
|
|
Рассмотрим предел этой функции при Г-»- 0: |
|
|
lim [1 —(1 — р.7у г! =• ! — (Пт (1 —рГ)1*т1и<= |
|
г-о |
|
г-о |
|
|
1 |
і \и |
-v-t |
|
|
|
|
Следовательно,
lim у (t) = h (t).
г-о
Итак, при малых периодах дискретности работа дискретных систем весьма близка к работе непрерывных систем, и непре рывные системы могут рассматриваться как предельный случай дискретных.
2. Требуется определить передаточную функцию и переход ную функцию системы, изображенной на рис. 7.20. (Заметим, что данная функциональная схема соответствует работе радио дальномера.) Структурную схему этой системы изобразим в
виде рис..7.21. Передаточная функция разомкнутой системы (от точки а к точке Ь) равняется
W (г) = Ар Ü1 Q-Tp = Р Л' {1 {t—T)\ —p-Z (0, 1,1,...} =
Р
___ p .Z -1
1 - г - 1
Р и с. 7 2Ü Блок-схема радиодальномера
Передаточная функция замкнутой системы равна
где умножение на г учитывает сдвиг выходного сигнала (см. рис. 7.21) на один шаг влево по отношению к сигналу в точ ке Ь.
Р и с. 7.2!. р—г-структурная |
схема радио |
|
дальномера |
|
Из последнего получаем |
|
|
pz-1/ 1— Z-1 |
|
Ф(2) = |
y-l |
1+(р — |
l + pz: ’/I |
Переходная функция этой системы определяется из соотно>- шений:
|
У(г) = Ф [z) Z |
{ 1' |
|
Р |
1 |
|
1 + (р,— l)z _1 1 ~ z ~ l |
|
|
|
|
F(s) |
1 |
|
1 — у. |
1 |
|
1— s |
1—(1 —p)s |
1 |
|
1 н- ([JL — 1) s |
|
= - Е (1 - |0 * +1«*+ |
І У , |
j / * = l - ( l - t 7 * +I. (7.46)'. |
|
ft- 0 |
|
Ä =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходные функции для различных значений |
р |
мзображе-. |
ны на |
рис. |
7.22. |
При ц > |
2, |
как |
это следует |
из |
(7.46), |
схема |
будет |
неработоспособна, |
так |
как |
переходная |
функция |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
стремиться |
по модулю |
к |
бесконеч |
|
|
|
|
|
|
|
ности |
при |
&->оо. |
Этот случай, |
"f— |
|
— *—9- |
|
как мы увидим далее, соответствует |
|
I |
|
I |
I |
|
|
неустойчивой системе. |
|
|
|
і |
I |
А |
1=1 |
і |
і |
t |
|
§ 7.9. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ |
СИСТЕМ
—і —'*-
т |
I |
I |
|
|
0 < / к 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
_1_ |
|
|
t |
|
|
|
|
|
Р и с. 7.22. |
Переходная |
по- |
|
следовательность |
|
|
чает, что |
для |
любого |
s > |
0 |
только ] |
( < |
S, то \укI < |
е. |
Дискретная система автоматиче ского управления называется ус тойчивой, если любому ограничен ному входному сигналу |л:А|<^С| соответствует ограниченный выход ной сигнал |y ft|< c 2. Нетрудно уста новить, что, как и в случае непре рывных систем, можно дать и дру гое, эквивалентное, определение ус тойчивости: система устойчива, ес ли бесконечно малому входному сигналу соответствует бесконечно малый выходной сигнал. Это озна найдется такое 8 > 0, что если
Докажем, что необходимым и достаточным условием устой чивости системы является абсолютная сходимость ряда весовых коэффициентов этой системы:
2 1 ё'й 1 = ^< со- |
(7.47) |
Достаточность. Дано: выполнение условия (7.47). Требуется доказать, что система устойчива, г-преобразования выходного и входного сигналов связаны соотношением
Y ( z ) = 0 ( z ) X [ z ) \
ОО / ОО \ / со \
2 Л « -* “ 2 ^ * " * |
, |
(7.48) |
к - 0 |
\ f t - 0 |
) \ к ~ о |
/ |
|
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
У к = ё о Х к + |
ё і х к - і + |
’ • • + ё к Х 0 ~ |
2 ё і х к-і- |
(7.49) |
|
|
|
/-о |
|
Далее имеем
k |
< max \xh \ £ \g k \ < cxc = c2. |
І л Ь £ giXk. |
I=»0 |
к |
k=0 |
Отсюда и вытекает устойчивость системы.
Необходимость. Дано: система устойчива. Требуется дока зать, что выполняется условие (7.47).
сю
Пусть это не так и £|g*| = °o. Тогда для любых положитель
н о
ных чисел— существует такое число п, что
|
ft-о |
фиксируем число п и примем входной сигнал равным |
Х„ = Т) Sign g0, Хп-1 = ■>] Sign Tip • • •, X0= 'f]sign gn. |
Тогда выходной сигнал на п-ом |
шаге равен |
е П |
П |
Уп = |
~*і £ і & | > s- |
!'=О |
1=0 |
Итак, для |
любого сколь угодно малого т) получаем \уп | > е, |
что означает |
неустойчивость системы. Получили противоречие, |
которое и доказывает необходимость.
Пусть задана передаточная функция системы Ф{г), тре буется исследовать устойчивость этой системы. На основании предыдущего результата можно было бы поступить так: по за данной Ф(г) вычислить весовые коэффициенты g k и исследо вать абсолютную сходимость этого ряда. Однако такой путь
является слишком длинным. По |
этой |
причине |
предлагается |
следующий критерий устойчивости. |
|
|
|
|
|
Дискретная система устойчива тогда и только тогда, если |
передаточная функция Ф(г) не имеет |
полюсов вне |
единичного |
круга. |
|
|
|
|
|
|
Необходимость. Дано: система устойчива. Требуется дока |
зать, что передаточная функция Ф{г) |
не имеет |
полюсов |
вне |
единичного круга. |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
Имеем Ф ( г ) = £ g k z ~k- Вне |
единичного |
круга |г£>1 |
вы- |
л—о |
|
следует, что ряд £ |
|g-ft| |
полняется соотношение \г 1|< 1, отсюда |
является мажорирующим для ряда Ф ( г )= |
gk |
r-k |
Ä=0 |
|
z ~ |
По пред |
“ft-O
положению устойчивости ряд >j | gk| |
сходится, а |
следователь- |
*=о |
ряд Ф (г)= |
“ |
но, и вне единичного круга сходится |
Ь g kz~k. По- |
|
|
ft-0 |
