Применяя метод гармонической линеаризации, мы полага ем, что автоколебания в системе существуют в синусоидальной форме
X = А sin t,
где А и и) — искомые амплитуда и частота автоколебаний. Эти автоколебания, действуя на нелинейную часть, создадут на вы ходе периодический несинусоидальный сигнал, действующий на
Нелинейная У, |
Линейная X |
часть |
часть |
о) |
|
б)
Рис . 8.26. К пояснению метода гармонической линеаризации:
а — представление нелинейной системы в виде нелинейной и линейной частей; б —
структурная схема нелинейной системы с од ним нелинейным элементом
входе линейной части системы. Однако линейная часть систе мы, как правило, представляет собой фильтр низких частот, хорошо пропускающий низкие частоты. Вследствие этого перио дический сигнал у на выходе линейной части системы превра щается в сигнал X, близкий к синусоидальному.
Подавление линейной частью высокочастотных гармоник по зволяет при анализе автоколебаний в нелинейной системе огра ничиться в первом приближении учетом лишь первой гармони ки периодической несинусоидальной кривой у.
Этот метод позволяет получить тем более точные результа ты, чем ближе линейная часть по своим «подавляющим свой ствам» к фильтру низких частот.
Структурную схему нелинейной системы с одним нелиней ным элементом представим в виде рис. 8.26,6.
Запишем уравнение линейной части системы |
|
X — W (D) у = Q ( £ > ) |
ba + b^DA-------b bmDm |
У, (8.37) |
|
|
P {D) У = |
c0 + ^ ö - j ----- cnDn |
где D |
d |
символ дифференцирования. |
|
|
|
dt
Нелинейная часть системы может быть представлена нели нейной функцией
|
|
|
y = F [ - x ) |
= |
- F{x). |
|
(8.38) |
Знак |
минус |
обусловлен |
учетом |
уравнения |
рассогласования |
е = л;вх — X |
= — X , |
так как |
входной сигнал |
|
полагаем рав |
ным нулю (хвх — 0). |
|
сигнал |
|
л;= уі sin оі ^ |
с |
неизвестными |
Пусть гармонический |
ш |
нам амплитудой А п частотой |
автоколебаний |
действует |
на |
вход |
нелинейного |
элемента. В |
этом случае его |
выходная |
ве |
личина будет периодической функцией времени |
|
|
|
|
|
у = — F(x) = — F(i4 sin <о£). |
|
(8.39) |
Полагая, что F (х) — однозначная нечетная функция х, разло жим ее в ряд Фурье и ограничимся лишь первым членом ряда
|
у = |
— F [А sin u>f) == |
— i]) (А) sin id*;, |
(8.40) |
где |
4>(Л) = — f |
F (А sin ш t) s i n |
d[y>t) |
— коэффициент ря- |
|
J . |
|
|
|
|
да |
Фурье или амплитуда первой |
гармоники выходной |
величи |
ны нелинейного элемента. ф(/1) зависит от вида характеристи ки нелинейного элемента и амплитуды сигнала А, действующе го на его входе.
Рассмотрим некоторые типы нелинейных характеристик и со ответствующие нм зависимости ф(4).
Если на вход идеального нелинейного элемента (рис. 8.27,а) действует гармонический сигнал а' = і4 зіпшЛ то на его выходе
^ y ip(f) ^ |
F(Asincöt) |
I |
\ |
I |
L |
|
и |
ъ |
|
І |
” |
S) |
|
ФЩ |
|
|
|
|
|
■4В. |
О) |
0 |
|
1К |
|
А |
|
|
Ь) |
Рис . 8.27. Идеальный релейный элемент: |
а — характеристика и |
зависимость |
х = А sin coif; |
б — периодический несинусоидальный сигнал ре
лейного элемента |
F{A sin о> t) |
и закон |
изменения |
амплитуды |
первой |
гармоники |
ф(.Л) во |
времени; |
в |
— зависимость ф(4) |
|
получим 'Последовательность |
знакопеременных |
импульсов |
(рис. 8.27,6). Амплитуда первой гармоники такой |
периодиче |
ской функции постоянна и не |
зависит от А (рис. |
8.27,в). Она |
равна: |
|
|
|
45 |
АI ) |
ФИ) = |
(8 |
ТС |
|
Для нелинейного элемента с зоной нечувствительности (рис. 8.28,а) выходной сигнал представляет собой серию прямоуголь ных импульсов, следующих с паузой друг за другом (рис. 8.28,6). Амплитуда первой гармоники в этом случае зависит от амплитуды входного сигнала:
45 |
(8.42) |
ф(А) = — V А 2- я2- |
itА |
|
Характеристика ф(А) приведена на рис. 8.28,в.
/Ф(А |
|
/ F(AsLTi(Ot) |
1 Л |
/ |
/ ' |
' |
" Т |
|
|
|
|
Р и с. 8.28. Релейный элемент с зоной нечувствитель ности:
а — характеристика н зависимость х = А sin ш і\ б — периодический несииусоидальный сигнал релейного элемента F (А sin ші) и закон изменения амплиту ды первой гармоники ф (Л> во времени; в — зави
симость ф
Для получения основных зависимостей, с помощью которых могут быть определены А и ш, вводится понятие о передаточ ной функции нелинейного элемента.
Если входной сигнал нелинейного элемента запишем в комплексной форме
x = A e Jmt, |
(8.43) |
26* |
403 |
а амплитуду первой гармоники нелинейного элемента предста вим как
3> = ф ( Л ) е Уо,<, |
( 8 . 4 4 'і |
то отношение указанных комплексных величин и будет назы ваться передаточной функцией нелинейного элемента
|
V |
Ф(Л) |
|
|
|
|
= |
. |
( 8 . 4 5 ) |
или |
X |
А |
|
|
|
|
|
|
|
У = |
Л |
|
( 8 . 4 6 ) |
|
|
|
|
Понятие |
передаточной функции |
^ „(4 ) |
позволяет |
заменить |
данное нелинейное звено для |
периодического режима и по |
стоянной |
амплитуды А некото*рым линейным эвеном |
с коэффи |
циентом усиления W H(A), так как нелинейное уравнение (8.33) заменяется линейным (8.46). Такой процесс сведения нелиней ной зависимости к линейной носит название гармонической ли неаризации нелинейных зависимостей. Это название вытекает из разложения нелинейных колебаний на гармонические состав ляющие (гармоники) и пренебрежения высшими гармониками на выходе нелинейного элемента и линейной части системы. В результате гармонической линеаризации мы получаем своеоб разное линейное звено, коэффициент усиления которого ІУДА) зависит от амплитуды входного сигнала А.
Передаточные функции нелинейных звеньев с однозначными характеристиками (см. рис. 8.2,а, б, в) представляют собой дей
ствительные числа, так как они не |
создают фазовых сдвигов |
при прохождении гармонических сигналов и ф(А) |
для них чис |
ло вещественное. |
|
характеристиками |
(типа |
|
Для звеньев с неоднозначными |
рис. 8.3,а, б, в) гармонический выходной сигнал |
нелинейного |
элемента (первая гармоника) имеет |
сдвиг |
фазы по отношению |
к сигналу на входе |
|
|
|
|
|
|
у=Ъ(А) еЛш,- 9,Д)1 = |
ф(А)еМ/|) |
= ф (/А) e/W , |
(8.47) |
где |
ф(/А) — комплексная |
амплитуда первой гармоники; |
|
ср (А) — сдвиг фаз между выходным и входным |
сигна |
|
лами. |
|
|
|
|
|
та |
Следовательно, передаточная функция нелинейного элемен |
с неоднозначной характеристикой |
есть |
число |
кташлекеное |
|
|
Фи А) |
|
|
(8.48) |
|
W H( j A ) = Z - |
А |
|
|
|
|
X |
|
|
|
Как и для нелинейных элементов с однозначными |
характери |
стиками, выражение (8.48) |
можно |
рассматривать |
как |
комп |
лексный коэффициент усиления некоторой линейной системы и, следовательно, в данном случае имеет место гармоническая линеаризация нелинейной зависимости.
Гармоническая линеаризация нелинейных элементов дает возможность исследовать устойчивость нелинейных систем, вы явить автоколебательные режимы, оценить их устойчивость.
Понятие о передаточной функции нелинейного элемента по зволяет представить структурную схему в виде последователь ного соединения W H(jA) и W (jus) (рис. 8.29).
Р и с. 8.29. К пояснению метода гармо нической. линеаризации. Представление нелинейной системы в виде последова тельного соединения Wn{jA) и W (/шj
По правилу встречно-параллельного соединения звеньев пе редаточная функция для замкнутой системы есть выражение
Ф ( і А М) |
W » U A ) W U * ) |
W ( j A , * ) |
(8.49) |
|
\ + W B ( j A ) W ( M |
. 1 + IF ( / Л , со) ’ |
а характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:
|
I + WUA, Ш) = 0, |
|
где |
W {j А, со) = W H(JA) W{Ja>) — передаточная |
функция ра |
|
зомкнутого контура нелиней |
В |
ной системы. |
амплитуды |
общем случае W (j A , со) является функцией |
входных колебаний и частоты. При постоянном значении А и изменении со от 0 до оо вектор W (/А , ш) вычертит на комплекс ной плоскости годограф, аналогичный амплитудно-фазовой ха рактеристике разомкнутой системы W (/со).
Семейство годографов W{jA, со) |
некоторой системы для раз |
личных значений А |
приведено на |
рис. 8.30. |
Если |
годограф |
W{jA,<ü) при .всех А |
не охватывает |
точку — |
1,/0, |
то система |
устойчива, и автоколебаний в ней не возникает. В этом случае
при любых А модуль вектора |
| W{jA, < o j | < 1 . |
Здесь |
— ча |
стота, |
при |
которой со (со, Л) = |
— іг. Физически |
это |
будет |
озна |
чать, |
что |
если в результате действия каких-либо |
возмущений |
в системе возникнут колебания, то после снятия этих возму
щений колебания будут затухать. |
| W [JA, <о_)| > 1, |
Если при некоторых значениях А на частоте |
то система неустойчива, колебания в ней |
будут нарастать. |
