II, наконец, если j W (jA, <uj | = I, система находится па гра нице устойчивости, в системе будут автоколебания. Это проис ходит при определенных значениях А и ш, которые и являют ся искомыми амплитудой и частотой автоколебаний Аа и ша.
Следует заметить, что при однозначной характеристике не линейного элемента равенство t f ( с о ) г = — л может быть исполь зовано для определения возможной частоты автоколебаний, а
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второе |
соотношение! W ( jA , ш_) | = 1 |
позволяет определить ам |
|
плитуду. Вследствие того, что вектор |
W (JA, со) |
имеет |
зависи |
|
|
|
мость |
не только |
от частоты, |
но |
и от |
|
|
|
амплитуды, |
может иметься |
несколько |
|
|
|
значений А и со, |
при |
которых |
годо |
|
|
|
граф |
W JA , <о) |
проходит |
через |
точ |
|
|
|
ку — 1,/0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это значит, что в системе возмож |
|
|
|
но несколько периодических |
режимов |
|
|
|
или автоколебаний с различными ча |
|
|
|
стотами и амплитудами. Часть из этих |
|
|
|
■режимов действительно может наблю |
|
|
|
даться |
в системе, а |
другая |
часть не |
|
|
|
может. Наблюдаться могут только ус |
|
|
|
тойчивые периодические режимы |
или |
|
|
|
автоколебания. Другая часть периоди |
|
|
|
ческих |
режимов |
является |
неустойчи |
|
|
|
вой и наблюдаться в реальной систе |
|
Рис . |
8.30. Годографы |
ме не |
может. Возникает таким обра |
|
зом задача |
выделить из всех периоди |
|
W [jA, ш)для трех значений |
|
|
|
ческих |
решений |
уравнения |
движения |
системы устойчивые решения, соответствующие устойчивым пе
риодическим движениям |
или автоколебаниям |
системы. |
При |
ближенное рассмотрение этого вопроса будет |
показано |
ниже, |
на примерах |
|
|
|
|
|
|
|
сто |
Для определения амплитуды и частоты автоколебаний вме |
построения |
годографа |
W (jA, |
ш) |
обычно |
используют |
дру |
гой |
графический |
прием, |
связанный |
с |
решением уравнения |
|
|
1 + |
W„ (JA) W (у'ш) |
= 0. |
|
(8.5Ü) |
Это уравнение можно представить в виде |
|
|
|
|
— Ен JA) = W (jui), |
|
(8.51) |
где |
E„(jA)==---- ------ |
—обратная |
передаточная функция не- |
|
WJJA) |
|
линейного элемента. |
|
|
Если на комплексной плоскости построить амплитудно-фа зовую характеристику линейной части системы W (у'ш) и об ратную отрицательную передаточную функцию нелинейного элемента — Ен(/А), то пересечение характеристик будет ука
зывать на наличие в системе автоколебаний. Пересечение ха рактеристик соответствует нахождению системы на границе ус тойчивости или прохождению годографа W ( j A , < s > ) через точку
- і,уо. |
пересечения характеристик дадут искомые значения |
Точки |
ша и Л„. |
Частота автоколебаний при этом отсчитывается по |
W (/со ), |
а амплитуда — по характеристике — Е н (/ А). |
Следует заметить, что если в системе имеются интегрирую щие звенья, то для получения области, охватываемой годогра фом W (/со), его приходится дополнять дугой бесконечно боль шого радиуса. В соответствии с определением передаточной функции нелинейного элемента его обратная передаточная функ- *
|
ция есть отношение |
А |
|
|
1 |
(8.52) |
|
W j j A ) |
У (JA ) |
|
|
Поскольку W„(/'A) и En(jA) являются функциями комплекс ного аргумента, их можно представить в алгебраической и по казательной формах:
W„ (JA) = U„ (А) + jV„ (А) = |
W„ (А) ем*); |
Ен(./ А ) == S„{A) + |
jQ H(А) = |
Ен (А) |
. |
Рассмотрим передаточные |
функции |
некоторых |
нелинейных |
звеньев.
З в е н о с и д е а л ь н о й р е л е й н о й х а р а к т е р и с т и
кой (см. рис. 8.2,а). |
|
|
|
|
|
|
ф ( 4 ) = — ; |
W„VA)=W„{A) = - ^ ; |
? И ) = |
0; |
ТС |
|
|
|
|
7ГА |
|
|
|
|
|
4В |
|
|
|
(8.53) |
|
|
|
|
|
|
|
Амплитудные зависимости |
W H(Л) |
и |
Ен (А) приведены на |
рис. 8.31. График |
Ен(Л) |
построен |
на |
комплексной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
/®н |
|
|
|
|
|
~Й |
ш |
й=0 |
|
|
|
|
|
|
flz |
/?7 |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
Рис. 8.31. |
Идеальный релейный элемент: |
и |
а — графики амплитудной характеристики WH(A) |
обратной |
амплитудной |
характеристики |
Ен (А)\ б |
— |
годограф обратной отрицательной передаточной функ ции нелинейного элемента £„ (]А)
Однако он построен со знаком минус ( — EH(JA)), что’бы удоб нее было его использовать при расчетах, связанных с опреде
лением амплитуды |
и частоты |
автоколебаний. |
Как |
видно из |
рис. 8.31,6, |
годограф |
— £ и (/А) |
расположен |
вдоль |
отрица |
тельной вещественной оси, так |
как — En {jA) |
в данном случае |
не содержит мнимой части. |
|
|
|
|
З в е н о |
с |
з о н о й |
н е ч у в с т в и т е л ь н о с т и |
(см. рис. |
8.2,6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(А) = ~ |
V A 2 - |
а2; W H(JA)= W H{A) = |
У Ж ^ Г ; |
|
■кА |
|
|
|
|
кА-1 |
|
Ф(А) = 0; |
|
|
|
- л 2 |
I |
(8.54) |
ЕкUА) — £■„ (А) = -—------ = = = = .. |
п ' |
|
н |
|
4 |
’ 4В У А2 — а2 |
|
На рис. 8.32 приведены амплитудные характеристики и годо граф — Е„ (JA ). Условно две сливающиеся ветви показаны раздельно. В действительности они обе располагаются на отри цательной вещественной оси.
а |
|
Рис. 8.32. Релейный элемент |
с зоной |
нечувствительности: |
— амплитудная |
характеристика |
WH(Л); |
б — обратная амплитуд |
ная |
характеристика £„ (Л); |
в — годограф |
обратной |
отрицательной |
|
|
|
передаточной функции нелинейного элемента ЕИ(/А) |
|
Н е л и н е й н ы й э л е м е н т с н е о д н о з н а ч н о й х а р а к |
т е р и с т и к о й |
(см. рис. 8.3,6). |
|
|
|
|
|
Если на вход такого элемента подать синусоидальный сиг |
нал |
(рис. |
8.33), то |
выходная величина |
будет серией |
знакопе |
ременных |
прямоугольных |
импульсов (рис. |
8.33,а). Изменение |
знака |
выходной величины |
будет |
опаздывать |
на |
угол |
<р(А) = |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
входной вели |
= arc sin — по отношению к изменению знака |
чины. |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом этого сдвига |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(У'Л)= — |
|
|
|
|
(8.55) |
|
|
|
|
|
|
TZ |
|
|
|
|
|
где |
|
<р (Al = |
arcsin —— |
фазовый сдвиг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
Передаточные функции нелинейного элемента
W „ U A ) = ^ - e - M A ) -
кА
Е„ (jA) = |
---- е^<А>. |
(8.56) |
1 ' |
4В |
|
Годограф обратной амплитудной характеристики приведен на рис. 8.33,6.
|
|
/Qh |
|
|
|
л |
, а |
~ |
5Н |
|
|
п -а |
|
- |
ш |
' |
|
|
|
|
5) |
|
|
Р и с. 8.33. Релейный элемент с неоднозначной |
|
ха |
рактеристикой типа рис. 8.3,6: |
|
— |
а — графики входного и выходного |
сигналов; б |
годограф характеристики £ н ( / А) |
нелинейного |
эле |
мента |
|
|
|
|
Для уяснения введенных понятий рассмотрим некоторые при меры.
На рис. 8.34 построена амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы W (у'ш) с передаточной функцией
k_____
и обратная |
передаточная функция |
— Еп [JA) |
д.вухлозициоиного поляри- |
зоіванного реле с характеристикой ти па рис. 8.3,6. Пересечение указанных характеристик свидетельствует о том, то в системе существуют автоколеба ния е амплитудой А а и частотой а>а. Амплитуду автоколебаний определяем но характеристике — Еа (JA), а часто ту — по аімплнтудно-фазоівой характе ристике W ( » .
На рис. 8.35,а приведено взаим
|
|
|
|
|
ное |
-расположение |
характеристики |
— Е„ (JA) нелинейного |
элемента |
с зо |
ной |
нечувствительности |
типа |
рис. |
Рис. 8.34. Годографы En(jA) для двухпозиционного ре ле и W(jiä) для последо вательного соединения инерционного и интегри
рующего звеньев
