Файл: Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
ным способом решение учитывает совместность деформаций и ди намическое взаимодействие пролетных строений и опор, выражен
ные в граничных условиях (11.37), (11.38), поэтому частоты <р?
ифункции Xir представляют спектр собственных колебаний системы
вцелом
Это подтверждает существование нормальных колебаний опор
ипролетных строений моста как единой совместной системы.
Сцелью дополнительной проверки этого положения были про ведены эксперименты, описанные в § III.4. Испытания П-образной решетки показали, что даже при разных материалах пролетного и
опорных стержней существует частота собственных колебаний (основного тона) системы в целом, не совпадающая с собственны ми частотами его элементов.
На основе приведенных данных в дальнейшем мы исходим из предположения, что существует бесконечная последовательность собственных частот ср? и совокупность собственных функций
Xir(xr) (г—1, 2, ..., 2п+1, г=1, 2, ...), определяющих формы собст венных. поперечных колебаний рассматриваемой системы в целом (совместных колебаний пролетных строений и опор). Нетрудно
убедиться, что условия ортогональности собственных |
функций в |
|
данном случае имеют вид: |
|
|
2л+1 1г |
|
|
2 |
j mr{x ) X i(x r)Xk{xr)d x r= О { i ^ k ) . |
(П.44) |
г=1 |
6 |
|
Для каждой собственной частоты ср;° уравнение (11.42) вместе с начальными условиями (11.40) определяет функцию gj(f), описыва ющую закон затухающих гармонических колебаний соответству ющей нормальной составляющей.
За ненадобностью мы выражения этих функций здесь ие при водим.
Вернемся теперь к задаче сейсмических колебаний. Решение системы уравнений (11.38) (при условии уг=у) представим в виде:
у'л*п о = 2 * / г ( * , ) й ( о , |
(п-45) |
1=1 |
|
где Х^ — известные собственные функции. |
Следуя методу |
А. Н. Крылова, нетрудно получить следующие нормальные урав
нения для определения функций |
Ь • |
2л + 1 |
|
Ш + ( 1 + У Л ) < Й 0 = ----- V 2 |
С*Л* ( / - 1 , 2 , . . . ) . (11.46) |
1 Частоты ср? не учитывают рассеяния энергии. Как указывалось в § II.1, этот фактор практически не влияет на частоты и можно принять <рр= ф<.
60
Здесь коэффициенты Cir, D°. имеют значения:
h |
Ь |
*а |
С д = f |
( m 2X i o d x 2 |
" ^ ш 2х 2Х i 2d |
6 |
о |
“ о |
1г |
1г + 1 |
|
C ; r = ^ т тХ ird x r -\- |
J /nr+ iAr ; , r+idA:r+i + |
|
оо
'г-1
|
-|---------- ^ |
tiir —iX f —i X |
j tr —\ d x r —i |
|
|
||
|
l r - l |
J |
|
|
|
|
|
*r+l |
|
|
|
|
(11.47) |
||
-------------Г |
ш г i,\ X r-\ -iX [j.y\ dX r+ \ |
3,• ••> |
1), |
||||
|
|||||||
l r + l |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
г2л+ 1 |
|
|
|
||
|
C ; , 2/1+1= |
^ |
/ ^ n + lA ’f^n + l r f ^ n + l - f - |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l2n |
|
|
|
|
|
-) - |
|
\ 1П2ПХоп^С!,2:id-^2n' |
|
|
||
|
‘ O. |
•' |
|
|
|
||
2/i + l |
|
|
|
|
|
|
|
D ? = 2 |
m X ~ ird x r . |
■ |
|
|
|
|
|
r = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решения дифференциальных уравнений (11.46), соответствующие иулевым начальным условиям,- в действительной форме имеют вид i[90]:
|
2/i-t-l |
7 |
|
ь« — ^ 7 |
S Ч |
?' м *' 2 |
sin ®. (if—t)afT. (IL48) |
|Т |
г = 1,3 ... |
О |
|
Тогда на основе (11.45) общее решение задачи сейсмических колебаний рассматриваемой схемы можно записать в виде:
2//4-1
Уг(Хг, 0 =
1 -1 |
f t = l , 3 . . . |
о |
79‘ |
_ |
2 |
(< ^ sin <p; (£—x)dx |
( г = 1 , 2 , . . . , 2лф-1). |
(11.49) |
Эти выражения определяют закон поперечных сейсмических ко лебаний балочного моста при общем предположении, что сейсмиче ские смещения оснований под различными опорами отличаются друг от друга.
61
• В настоящее время эти выражения нельзя использовать для практических расчетов, так как нет достаточного количества инст рументальных акселерограмм для обоснованного представления
функций Yr (t) |
с учетом различия |
грунтовых условий |
под отдель |
ными опорами. |
Однако выражения |
(11.49) открывают |
некоторые |
возможности в отношении исследования эффекта «бегущей» сейс мической волны, распространяющейся вдоль моста с конечной ско ростью. Действительно, примем, что грунтовые условия под всеми
опорами одинаковы. Тогда различие функций У,, обусловлено толь ко разновременностью подхода волны к отдельным опорам. Допус тим, что вдоль оси моста от опоры 1 к опоре 2п+1 движется попе речная сейсмическая волна со скоростью Сп. При обычных длинах мостов форму волны, движущейся в их пределах, можно считать не
изменной1. В этих предположениях функции У,-, описывающие сейс мические ускорения оснований под опорами, можно представить в виде:
Уг (*) = |
У0 (* — |
пРн |
|
Уг (0 = |
0 |
при t < - ^ \ |
(11.50) |
|
|||
( г = 1 , 3,. .. , |
2/г+1). |
) |
|
Здесь L r — расстояние от первой до r-й опоры-
В качестве функции У0 можно принять участок, соответствующий поперечным волнам из какой-либо характерной осциллограммы. Тогда по формулам (11.49), (11.50) может быть получено численное решение задачи колебаний и оценено влияние распространяющейся волны. Такие исследования, требующие весьма трудоемких 'вычис лений, сейчас начаты на кафедре мостов и железобетонных конст рукций Грузинского политехнического института имени В. И. Ле нина.
Решение задачи поперечных сейсмических колебаний балочных мостов значительно упрощается, если предположить, что основание под всеми опорами колеблется по одинаковому закону. При одно родных грунтовых условиях и не очень большой протяженности моста такое допущение нужно считать приемлемым.
Примем в формулах (11.49) Yr(t) = Y0(t) ( r=l , 3, ..., 2/г+1) и,
кроме того, заменим собственные частоты срг собственными перио дами 7\ = 2я/ф<.
Тогда после некоторых преобразований решение (11.49) задачи поперечных сейсмических колебаний балочного моста можно запи сать в виде:
1 Отмеченные в § 1.1 дисперсионные и другие явления, вызывающие измене ние формы сейсмических волн, существенно проявляются только па значительных расстояниях. '
62
y r( x rJ ) = - ^ -g - 7’tA',r (A'r ) f V Q(X) n (11.51)
( r = l , 2 , . . . , 2й+ 1).
Здесь коэффициенты разложения Di определяются выражени ями:
2л + 1
^ mr ( x r ) X i r ( x r)d x r |
|
( i = l , 2, ... ). |
(11.52) |
2 mr{x r ) X 2,r {x r) d x r
Нетрудно видеть, что эти формулы вполне аналогичны соответ ствующим выражениям, полученным в § II.1 для обычных расчет ных схем с распределенными параметрами. Это позволяет непосред ственно распространить на рассматриваемую схему балочного моста все расчетные формулы метода спектральных кривых. Оче видно, если доказано существование собственных форм совместных колебаний пролетных строений и опор, на равных условиях могут быть применены и схемы дискретного типа.
Выше мы не учитывали наличие на мосту временной нагрузки от 'подвижного состава. Подробно этот вопрос рассмотрен в следу ющем параграфе. Там показано, что нагрузка от колонн автомоби лей при .землетрясениях не может «скользить» по проезжей части и таким образом ее можно рассматривать как жестко скрепленную с пролетным строением. Ввиду наличия колесных реборд такое предположение при поперечных колебаниях справедливо и в отно шении временной нагрузки от подвижного состава железнодорож ных мостов. Поэтому учет временной нагрузки при поперечных ко лебаниях не вносит каких-либо осложнений в приведенную расчет
ную методику — достаточно при |
вычислении масс пролетных |
строений добавить к постоянной |
нагрузке соответствующую вре |
менную нагрузку.
Изложенная расчетная методика без труда распространяется на задачу поперечных колебаний рамных мостов. Практические ука зания по расчету изложены в гл. VII.
§ 11.4. ПРОДОЛЬНЫЕ СЕЙСМИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ МОСТОВ. УЧЕТ СЕЙСМИЧЕСКИХ СИЛ ОТ ВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ
Совместные колебания опор и пролетных строений балочных мостов при продольном сейсмическом воздействии носят весьма сложный характер. Это вызвано следующими основными причи нами:
а) наличием фрикционных связей (связей трения) в подвижных опорных частях пролетных строений; ■
63