Файл: Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1.pdf

В прикладной динамике сооружений одним из основных объек­ тов исследований являются мосты. Однако эти исследования боль­ шей частью связаны с динамическим воздействием подвижного со­ става и рассматривают, как 'правило, вертикальные (или простран­ ственные) колебания пролетных строений независимо* от опор. Анализ совместных колебаний этих элементов встречается очень редко. Мы можем назвать лишь несколько таких работ. Сейсмиче­ ские колебания балочных мостов рассмотрены в работе [186]. В ряде японских работ исследованы сейсмические колебания висячих мос­ тов [197, 198, 199]. Г. К. Гольст, К. К. Якобсон и В. С. Усольцев ис­ следовали поперечные свободные и вынужденные (вызванные под­ вижным составом) колебания балочных мостов [33, 164]. Совместные вертикальные колебания пролетного строения и опор рамного путе­ провода рассматривались А. Ф. Смирновым [128]. Вопросы взаимо­ действия опор и пролетных строений балочных мостов при верти­ кальных колебаниях затронуты в книге В. Колоушека [72].

Ниже рассмотрены общая постановка задачи сейсмических коле­ баний мостов и возможные методы ее решения. Они основаны иа исследованиях, выполненных в Грузинском политехническом инсти­ туте имени В. И. Ленина в связи с разработкой методики динами­ ческого расчета мостовых сооружений на сейсмические воздействия [58, 60, 31]. Здесь приведены только основные результаты исследо­ ваний, используемые для обоснования практической расчетной ме­ тодики (см. главы VI, VII). Подробнее эти исследования освещены в соответствующих публикациях.

Более всего поддаются аналитическому исследованию сейсмиче­ ские колебания балочных, а также рамных мостов. Мы, в первую очередь, рассмотрим поперечные сейсмические колебания балочных мостов Г Предполагаем, что деформации конструкций не выходят за пределы упругости и колебания носят линейный характер.

Рассмотрим схему /г-пролетного балочного моста с опорами и пролетными строениями произвольной конструкции. Предполагает­ ся, что основания опор испытывают колебания поперек его осп.

Для установления динамической расчетной схемы моста предва­ рительно выясним характер деформаций его элементов. Статиче­ ские поперечные деформации и пространственные поперечные колебания стальных пролетных строений железнодорожных и сов­ мещенных мостов экспериментально исследованы в натуре и на мо­

Б. Ф. Лесохина, В. П. Тарасенко и других [15, 11, 24], показывают следующее: поперечные колебания стальных пролетных строений

и поперек оси моста общепринято в теории сейсмостойкости и узаконено нормами. В данном случае это не вносит особых погрешностей.

54

Рис. 11.6. Расчетная схема балочного моста при поперечных колебаниях

искажением контура поперечного сечения пролетного строения за счет деформаций порталов и поперечных связей. Однако основной формой колебаний, отвечающей наинизшей собственной частоте, яв­ ляются горизонтальные поперечные колебания (близкие к колеба­ ниям типа «Балдахин») [15]. Преобладающая роль этих колебаний непосредственно выявляется при натурных испытаниях мостов [80]. В отношении железобетонных пролетных строений эксперименталь­ ных данных нет; однако вследствие относительно малой высоты и

•большой крутильной жесткости и для них влияние крутильных форм колебаний должно быть незначительным.

Опоры мостов могут испытывать как смещения поперек оси моста, вызванные деформациями изгиба и сдвига их конструкций и податливостью основания, так и крутильные деформации (пово­ роты сечения в горизонтальной плоскости). Очевидно, крутильные деформации возникают только в редких случаях и не имеют суще­ ственного значения.

На основе вышесказанного при исследовании сейсмических колебаний балочных мостов в первом приближении можно ограни­ читься рассмотрением только поперечных деформаций пролетных

•строений и опор. Это тем более приемлемо, что именно поперечные деформации играют решающую роль в формировании горизонталь­ ных сейсмических сил.

Для анализа поперечных сейсмических колебаний /г-пролетного балочного моста используем динамическую расчетную схему с распределенными параметрами, изображенную на рис. II.6 [60]. Она представляет собой плоскую решетку, состоящую из горизонталь­ ных (пролетные строения) и вертикальных (опоры) стержней пере­ менного сечения, испытывающих деформаций произвольного вида (изгиб, сдвиг) поперек плоскости решетки. Натурные испытания стальных пролетных строений на действие горизонтальной попереч­ ной статической нагрузки показали, что опорные части не создают сколь-либо существенного защемления их опорных сечений в гори­ зонтальной плоскости [80]. Поэтому соединения горизонтальных и вертикальных стержней решетки в расчетной схеме приняты в виде шарниров с вертикальной осью вращения. Считается, что в вер­ тикальном направлении соединения обеспечивают неразрывную связь пролетных строений с опорами. Опорные стержни заделаны в основании упруго. Затухание учитывается по гипотезе Е. С. Соро-

55

Рис. 11.7. Системы координат и обозначения перемещений элементов моста

кина. Для общности предполагаем, что коэффициенты неупругого сопротивления элементов решетки различны.

Опоры и пролетные строения в расчетной схеме занумерованы последовательно слева направо индексом r ( r = 1, 2, ..., 2п + 1). При этом опоры имеют нечетные, а пролетные строения — четные номера (рис. II.6). С целью описания деформаций решетки для каждой ее опоры и каждого пролета вводятся самостоятельные системы коор­ динат, связанные с неподвижным телом отсчета (рис. 11.7).

При большой протяженности моста сейсмические волны подхо­ дят к различным опорам в разных фазах; характер колебаний ос­ нований отдельных опор может отличаться и вследствие заложения их фундаментов на разных грунтах. Для общности предполагается, что сейсмические колебания оснований под опорами различны.

Введем обозначения:

1Т— длина г-го элемента (длина пролета или высота опоры от уровня заделки до центра шарнира опорной части);

56

Выведем дифференциальные уравнения совместных сейсмиче­ ских (поперечных) колебаний опор и пролетных строений рассмат­ риваемой схемы. Как усматривается из рис. 11.7, полные смещения относительно неподвижной системы для точек опор равны:

Интенсивности распределенных сил инерции от масс опор и пролетных строений соответственно выразятся так:

sr (xr, t ) = — mr \yr {xn t ) + Y r- l {t) + ^ l Y r+x( t ) - Y r__l {t)'^.

Выразим зависимость между силами инерции sr и соответствующнм'И смещениями уг с помощью операторов L r:

Lr[yr {x n ^] = sr (xr, t).

После подстановки значений сил инерции получим:

^ЛУг\= — тЛУг + УЛ { г = \ , 3, . . . , 2 л + 1);

Lr [yT\ = - m r ^yr+ r r-x + ^ \ r r+i - Y r - ^ (г = 2, 4 , . . . , 2л).

Для учета рассеяния энергии по гипотезе Е- С. Сорокина перей­ дем к комплексным функциям смещений г/.*, У* и умножим левые

части полученных выражений на (1+уг/), где j — мнимая единица (см. § II.1). После переноса известных членов в правую часть окон­ чательно получим:

( 1 + Y r j)L r [yr]-\-tnryr= — tnrYr

(г==1, 3 , . . . , 2л-{-1);

(1 + уrj) Lr [ ^ ] + тгу * = — тг |k *_i - } - [K*+i —Y*-i ]}

( r = 2 , 4 , . . . , 2л).

Это и есть система дифференциальных уравнений поперечных сейсмических колебаний балочного разрезного моста.

Начальные условия задачи, как условия покоя системы в момент начала землетрясения, запишутся в виде:

уг (хп 0) = 0; уг (хп 0) = 0 ( г = 1 , 2, 3 , . . . , 2л+ 1). (11.36)

57

yr {ln i) = ijr-x{lr-u t) = yr+i (0, t) ( r = 1, 3, . . . , 2й+ 1). (11.37)

С другой стороны, поперечные силы н моменты в верхнем сече­ нии каждой опоры должны равняться передаваемым пролетными строениями динамическим реакциям и моментам; последние вызва­ ны наличием эксцентриситетов етмежду уровнями центров тяжести пролетных строений п центров шарниров опорных частей (рис. II.8). Эти условия можно записать так:

Здесь Qr, Mr— моменты и поперечные силы в сечениях г-го эле­ мента. ,

Нетрудно видеть, что указанные выше начальные и граничные условия обеспечивают однозначную определенность задачи и кор­ ректность ее постановки.

Таким образом, задача поперечных сейсмических колебаний балочных мостов сводится к нахождению комплексных функций y*{xr, t), которые являются решениями системы (11.35) неоднород­

ных дифференциальных уравнений в частных производных и имеют действительные части, удовлетворяющие сформулированным выше начальным и граничным условиям.

В дальнейшем нас будет интересовать решение этой задачи, до­ пускающее использование метода спектральных кривых, т. е. реше­ ние в виде разложения по нормальным координатам (собственным функциям). Такое решение предусматривает существование в сис­ теме в целом собственных колебаний типа «стоячих волн». В отно­ шении «стоячих волн» диссипативные свойства системы определя­ ются не энергетическими потерями в. отдельных элементах, а осредненным поглощением энергии по совокупности всех элементов. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать уравнения (11.35)

58

при условиях у,-=у (/'= 1, 2, 3, 2 п + \ ), где у — некоторое среднее значение коэффициента иеупругого сопротивления для системы в целом Отметим, что такое допущение не является необычным: оно принимается (явно или не явно) во многих задачах прикладной динамики сооружений1.2 Данные экспериментов по этому вопросу приведены ниже.

Для решения задачи сейсмических колебаний рассматриваемой системы предварительно исследуем ее свободные колебания. Диф­ ференциальные уравнения последних можно получить из уравнений (11-35) при правых частях, тождественно равных нулю. Будем иметь:

0 + Yj ) L r [ifr{xr, t)]+ тг {хг) у*г {хп t) = О

Сформулированные выше граничные условия остаются в силе. Система уравнений (11.39) может быть решена методом разде­

ления переменных. Представим ее решение в виде:

где Хт— действительная, а — комплексная функция. Подставляя эти 'Выражения в систему (11.39), после обычных выкладок ме­ тода Фурье получим дифференциальные уравнения с разделен­ ными переменными [60]:

Нетрудно видеть, что решение системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (П.43) вместе с граничными условия­ ми приводит к трансцендентному уравнению, определяющему бес­ конечную последовательность характеристических чисел. Каждому

из них соответствует собственная частота ЧР? и совокупность собст­ венных функций XiT(xr). Очевидно следующее: полученное указаи-

1 Численное значение этого коэффициента должно быть установлено по мате­ риалам натурных испытаний сооружений.

2 В дискретных системах с рассеянием энергии для обеспечения существова­ ния собственных решении специальным образом подбирается диссипативная функ­ ция [6]. В сложных сооружениях энергия в основном рассеивается на определен­ ных локальных участках (сопряжения элементов, трущиеся поверхности), однако в расчет вводится, как правило, единый осреднеиный показатель поглощения.

59