Файл: Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1.pdf

первоначального положения, образование вертикальных или гори­ зонтальных трещин и разрывов в обделке, обрушение отдельных участков сводов или полное разрушение обделки с образованием завалов. Такие повреждения наблюдались при землетрясениях 1923 г. в Японии, 1952 г. в Калифорнии и ряде других [163, 201]. Они вызываются увеличением горного давления в условиях сейсми­ ческого воздействия или общей подвижкой грунтовой толщи на ко­ согорных или других неустойчивых участках. Обычно наиболее интенсивные повреждения такого рода возникают в местах наи­ меньшей толщины налегающего слоя и участках с рыхлыми водо­ насыщенными грунтами. В качестве характерного примера на рис. 1.15 показана деформация поперечного сечения гидротехниче­ ского тоннеля, вызванная увеличением бокового' давления грунта (Чили, 1958 г., [183]). На рис. 1.16 показана интересная деформация двойного (поступательно-возвратного) сдвига секции обделки тон­ неля, вызвавшего искривление пути и заход рельса под стену об­ делки (Южная: Калифорния, 1952 г. [163]).

Тоннели глубокого заложения, пролегающие в коренных поро­ дах, находятся в более благоприятных условиях. Однако и они мо­ гут испытывать повреждения, главным образом от тектонических на­ рушений в окружающем горном массиве [177]. Характерен в этом отношении пример тоннеля Танна (Япония); при землетрясении 1930 г. тектоническое движение по плоскости сброса, пересекающего тоннель, вызвало сдвиг на величину 2,44 м в горизонтальном направ­ лении [140]. При землетрясении 1971 г. в Дагестане в тоннелях были отмечены трещины, смещения постоянной обделки, вывалы породы с анкерами на участках с временной крепью [41].

Трубы под насыпями (бетонные и каменные) испытывают при землетрясениях поперечные трещины разрыва, трещины в местах со­ пряжения сводов со стенками, разрушение оголовков.

36

и тем самым способствуют развитию повреждений от горизонталь­ ных сейсмических нагрузок.

В отношении обоих вышеуказанных факторов важно подчерк­ нуть, что сейсмические силы представляют собой четко выраженную динамическую нагрузку с весьма сложным законом изменения на­ правления и величины во времени.

3.Сейсмическое боковое давление грунта на подпорные соору­ жения. В условиях землетрясений резко возрастает боковое (гори­ зонтальное) давление грунта, что вызывает дополнительные сейс­ мические усилия в сооружениях. Этот фактор играет решающую роль при повреждениях подпорных стен п устоев мостов.

4.Увеличение горного давления на обделки тоннелей в услови­ ях землетрясений.

5.Сейсмическое (гидродинамическое) давление воды на проме­ жуточные опоры мостов.

6.Изменение механических свойств, в частности снижение несу­ щей способности некоторых грунтов в условиях землетрясений. Мно­ гочисленные данные свидетельствуют о том, что в процессе сейсми­ ческих колебаний происходит размягчение, «разжижение» рыхлых водонасыщенных грунтов, переход их в «текучее» состояние. Такие явления в больших масштабах наблюдались в ряде землетрясений последних лет. В работе [178] отмечается, что при чилийском земле­ трясении 1960 г. слабые грунты во многих случаях вели себя как «полужидкие массы». При землетрясении 1964 г. в Ниигата (Япония) уплотнение и подвижность водонасыщенных мелких песков, сопро­ вождающиеся излиянием песчаных «вулканов» на поверхность зем­ ли, вызвали большие осадки зданий. Крупнопанельные здания, кон: струкции которых оставались неповрежденными, погружались в грунт почти на целый этаж, наклонялись или даже опрокидывались; расположенные рядом легкие строения при этом «всплывали» [182].

Указанные явления могут быть основной причиной больших оса­ док мостовых опор на естественном основании или на висячих сваях. Снижение несущей способности грунтов по боковым поверхностям фундаментов опор облегчает их наклон п горизонтальное переме­

38

Г л а в а

II

ТЕОРИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ

§ 11.1. РАСЧЕТНЫЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Сейсмическими называются колебания, испытываемые сооруже­ ниями в процессе землетрясений вследствие колебательных движе­ ний основания. Сейсмические (инерционные) силы, возникающие при этих колебаниях, являются, как отмечалось в предыдущей гла­

ве, основной причиной повреждения сооружений при землетрясе­ ниях.

Сейсмические колебания сооружений носят очень сложный про­ странственный характер. При интенсивном сейсмическом воздейст­ вии, приводящем к повреждениям, деформации сооружения выходят за пределы упругости и колебания, как правило, нелиней­ ны. Однако в целях упрощения задачи нормированная методика определения сейсмических сил базируется на линейной теории и допускает независимое рассмотрение трех взаимно перпендикуляр­ ных (вертикальной и горизонтальных) компонентов колебаний. Ниже кратко изложены основные положения линейной теории сейс­ мических колебаний. Более подробно они рассмотрены в работах

[46, 90, 75, 105].

Для аналитического описания сейсмических колебаний сооруже­ ние заменяется динамической расчетной схемой в виде невесомой стержневой системы с закрепленными на ней массами. Применя­ ются дискретные схемы с конечным числом сосредоточенных масс и континуальные схемы (схемы с распределенными параметрами), несущие распределенные массы. Традиционные расчетные схемы дискретного и континуального вида, принятые в теории сейсмостой­ кости для исследования общей задачи, приведены на рис. II.1, а; П.2, а. В общем случае предполагается, что вертикальный стер­ жень, изображающий сооружение на этих схемах, имеет перемен­ ное сечение и может испытывать упругие деформации произволь­ ного вида (изгиб, сдвиг или их сочетание); заделка стержня в ос­ новании может быть упругой.

Для определения сейсмических сил используются дифференци­ альные уравнения сейсмических колебаний. Рассмотрим общий ход составления и решения этих уравнений для вышеуказанных схем. Будем предполагать, что основание сооружения колеблется горизон­

40

тально в плоскости чертежа (рис. II.1, б; II.2, б); закон изменения смещений основания во времени Y0= Y 0(t) считается заданным.

При заданном сейсмическим воздействии поведение сооруже­ ния, как колебательной системы, полностью определяется его инер­ ционными и деформационными свойствами и способностью необра­ тимого поглощения энергии (диссипативные свойства). При дис­ кретной расчетной схеме (см. рис. II.1) инерционные свойства сооружения заданы величинами масс тк и ординатами точек их закрепления хк (/е=1, 2, 3, ..., п).

Деформационные свойства можно описать с помощью единич­ ных перемещений бл v, заданных для точек прикрепления сосредо­ точенных масс; они составляют квадратную симметричную матри­

цу вида 3= [В/.,]ь Диссипативные свойства сооружения будут охарактеризован ы ииже.

Напряженно-деформированное состояние дискретной схемы в каждый момент времени полностью определяется совокупностью относительных смещений yk (t) сосредоточенных масс от состояния

Здесь точки над функциями обозначают дифференцирование по времени. Выражение в прямых скобках в правой части (II.1) есть ускорение точки прикрепления массы тк относительно неподвиж­ ной (инерциальной) системы координат.

Для получения дифференциальных уравнений колебаний запи­ шем смещения точек системы под воздействием сил инерции. Учи-

-f t Я/

-т

41

тывая линейность системы и используя единичные перемещения б получим

Э то и есть дифференциальные уравнения сейсмических колеба­ ний дискретной системы. Здесь они пока записаны без учета рас­ сеяния энергии.

Начальные условия процесса сейсмических колебаний запишем как условия состояния покоя в момент 1= 0 (равенство нулю сме­ щений и скоростей точек системы в момент начала землетрясения):

*/*(0)=0; yk(0) = 0; (k = \, 2 ,..., п). (ИЗ)

Решение системы уравнений (11.2) при начальных условиях (II.3) определяет искомые функции yk{i), описывающие сейсмиче­ ские колебания сооружения. Это решение, согласно теории систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго по­ рядка, может быть представлено в виде:

Пt

( £ = 1 , 2,. . ., п),

где Ti — периоды собственных колебаний системы; X.гщ — амплитуд­ ные коэффициенты, определяющие формы собственных колеба­

Периоды собственных колебаний здесь и в дальнейшем счита­ ются занумерованными в убывающем порядке (Т\>Т2> Т 3 ...).

Рассмотрим теперь схему с распределенными параметрами (см. рис. 11.2). В этом случае система имеет бесконечное число сте­ пеней свободы; ее напряженно-деформированное состояние описы­ вается функцией у{х, t), определяющей относительное смещение точек системы от состояния равновесия (искомый фактор задачи).

42

Инерционные свойства системы определяются функцией т(х), вы­ ражающей закон изменения интенсивности массы. Деформационные свойства системы могут быть заданы с помощью линейного диффе­ ренциального оператора L над функцией у по переменной х, кото­ рый определяет интенсивность статической распределенной на­ грузки q(x), уравновешивающей заданную деформацию у{х) *:

В процессе сейсмических колебаний на систему воздействуют распределенные силы инерции с интенсивностью

Эта инерционная нагрузка в каждый момент времени уравнове­ шивает деформацию у(х, t). Поэтому на основе (II.6) будем иметь

L[y(x, t)]= — m(x)[y(x, t) + Y„(*)].

Отсюда получим следующее дифференциальное уравнение сейс­ мических колебаний континуальной системы (без учета рассеяния энергии):

Начальные условия здесь примут вид:

Решение линейного неоднородного дифференциального уравне­ ния в частных производных (11.8) может быть найдено методом разделения переменных (методом Фурье) с разложением правой части в ряд по собственным функциям. При начальных условиях (II.9) это решение имеет вид:

со t

Здесь X-i(x) — собственные (фундаментальные) функции, опре­ деляющие формы собственных колебаний системы. Коэффициенты разложения Di в данном случае определяются выражением

h

[ т (х ) X i (х ) d x

( т (х ) X? (х) d x

о

. В приведенных решениях не учтен, как уже отмечалось выше, один из основных факторов, определяющих динамический эффект

* Конкретный вид оператора L и граничных условий зависит от характера деформаций стержня и условий его закрепления. Соответствующие примеры рассмотрены ниже.

43