Файл: Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1.pdf

в колебательных системах, — необратимое поглощение (рассеяние) энергии колебаний. Детальное рассмотрение закономерностей это­ го сложного явления и методов его описания не входят в наши за­ дачи [101, 137]. Некоторые данные о рассеянии энергии в мостах приведены в гл. III, здесь же мы только изложим способ учета это­ го фактора в уравнениях колебаний.

В зарубежных работах по теории сейсмостойкости рассеяние энергии обычно учитывается по теории вязкого сопротивления (тео­ рия Фохта). С этой целью в дифференциальные уравнения сейсми­ ческих колебаний вводятся дополнительные диссипативные силы, пропорциональные скоростям колебаний и направленные в обрат­ ную сторону [65]; количественной характеристикой меры рассеяния энергии служат коэффициенты пропорциональности, именуемые ко­ эффициентами вязкого сопротивления. Теория Фохта имеет ряд недостатков [137]- В СССР за последние годы наибольшее распро­ странение получила теория Е. С. Сорокина, основанная на рас­ смотрении неупругой работы материала. Мы используем первона­ чальный, более простой вариант этой теории, где в качестве меры рассеяния энергии принят коэффициент неупругого сопротивления у, смысл которого будет пояснен ниже. Для учета рассеяния энер­ гии по теории Сорокина в дифференциальных уравнениях колеба­ ний все смещения и силы представляются комплексными функция­ ми и к силам вводится дополнительный комплексный множитель

(1 + Y/)> гДе / — мнимая единица [137].

Учет рассеяния энергии по обоим вышеуказанным методам в задаче сейсмических колебаний приводит к тому, что в подынте­ гральных выражениях решений (II.4), (И.10) возникают дополни­ тельные экспоненциальные множители. Мы будем придерживаться

1 Порядок составления и решения дифференциальных уравнений сейсмических колебаний по теории Е. С. Сорокина мы здесь не приводим, так как этот вопрос детально изложен в работе [46].

44

Нужно отметить, что учет рассеяния энергии по теории Соро­ кина (так же, как и по теории Фохта) не отражается на формах собственных колебаний, т. е. на коэффициентах X,-;t и функциях Х{(х). При обычных значениях коэффициента, у, характерных для строительных конструкций, периоды (частоты) колебаний также практически не меняются, поэтому все эти величины, а также ко­ эффициенты Di в формулах (11.12), (11.13) имеют тот же смысл, что и раньше.

Выражения (11.12), (11.13) полностью определяют закон сейс­ мических колебаний сооружения при заданном законе движения основания. Как видим, структура этих выражений в обоМх случаях одинакова: смещения точек сооружения представлены в виде сово­ купности однотипных членов; при схеме с распределенными пара­ метрами число этих членов бесконечно и они образуют сходящий­ ся ряд. При дискретной схеме имеем конечную сумму членов, число которых равно числу степеней свободы системы. Каждый член в формулах (11.12), (IL13) описывает так называемое нормальное колебание (нормальную составляющую колебаний), п.ри котором все точки сооружения смещаются синхронно и форма колебания не меняется во времени. Для г'-го нормального колебания эта фор­

(11.14)

О

Относительная роль отдельных нормальных составляющих в сумме (11.12) или ряде (11.13) определяется соотношением произ­ ведений DiTi и интегралов h ( t ) . Как правило, основное значение имеют первые несколько членов.

Таким образом, формулы (II.12), (II.13) представляют смеще­ ния точек сооружения в процессе сейсмических колебаний в виде разложения (ряда или суммы) по нормальным составляющим. В та­ ком же виде представляются и другие факторы сейсмических коле­ баний. Приводим без вывода выражения для сил инерции [46]. При дискретной схеме сосредоточенные силы инерции, приложенные в точках 6, выражаются формулой

ип

(6 = 1 , 2,. .. , п).

45

Из определения сейсмической силы, как силы инерции, следует, что в этой формуле множитель при массе tn есть ускорение осцил­ лятора с периодом Т и коэффициентом неупругого сопротивле­ ния у относительно неподвижной системы координат. Обозначим его следующим образом:

Это обозначение, наглядно показывающее зависимость ускоре­ ния от параметров Т, у осциллятора, нам потребуется в даль­ нейшем.

В приведенных решениях динамические свойства сооружений представлены периодами и формами собственных колебаний и ко­ эффициентом неупругого сопротивления у.

Укажем принципиальный путь определения и некоторые свой­ ства этих факторов.

При дискретных системах для определения периодов и форм колебаний служит квадратная матрица, определяемая как произ­ ведение упомянутой выше матрицы единичных перемещений 6 и диагональной матрицы масс с элементами гпь:

46

Амплитудные коэффициенты Хщ, описывающие формы собст­ венных колебаний, являются* координатами собственных векторов этой матрицы; круговые частоты колебании (без учета рассеяния энергии) определяются ее собственными значениями Xf.

Для строительных конструкций значения у не превосходят 0,20. Поэтому учет .рассеяния энергии практически не изменяет частот

и можно принять <Р/= <Р/; сообразно с этим для периодов колебаний будем иметь

<Р/

При схемах с распределенными параметрами собственные функции Xi(x), описывающие формы собственных колебаний, полу­ чаются решением (при соответствующих граничных условиях) сле­ дующего обыкновенного дифференциального уравнения:1

том рассеяния энергии) и периоды Ti вычисляются по приведенным выше формулам.

Порядок определения периодов и форм собственных колебаний и техника соответствующих вычислений более подробно рассмотре­ ны в гл. VI.

Отметим, что амплитудные коэффициенты Xik и собственные функции А (х ), как решения однородных задач собственных зна.- чений, определяются с точностью до постоянного множителя. Од­ нако, как нетрудно усмотреть из формул (II.15), (II.5) или (П.16), (11.11), это не отражается на однозначности полученных решений.

47

Рис. 11.4. Формы собственных колебаний:

я — дискретная система; и — система с распределенными параметрами

Представляет интерес следующая зависимость периодов собст­ венных колебаний от массы и жесткости системы: при увеличении массы системы собственные периоды, как правило, возрастают и лишь некоторые из них могут не изменяться. При увеличении-жест­ кости системы собственные периоды, как правило, уменьшаются и лишь некоторые могут не изменяться [6]. В частности, 'период

принимают в качестве мерила динамической жесткости соору­ жения.

Формы собственных колебаний отличаются друг от друга чис­ лом полуволн (экстремумов, нулевых точек). Наиболее простая форма с минимальным числом полуволн соответствует первой (ос­ новной) нормальной составляющей (г = 1). С ростом номера i чис­ ло полуволн возрастает. На рис. 11.4 для примера показаны первые три формы собственных колебаний дискретной и континуальной систем, изображенных на рис. II.1, 11.2.

Для форм собственных колебаний справедливы условия орто­ гональности, выражающие свойство независимости нормальных ко­ лебаний [44, 46]. Для дискретных и континуальных систем эти усло­ вия соответственно имеют вид:

Понятие коэффициента неупругого сопротивления у> характе­ ризующего рассеяние энергии в приведенных формулах, базируется на рассмотрении внутреннего трения в материале и исходит из гистерезисной зависимости между усилиями и смещениями (рис. II.5). Такая зависимость присуща реальным (не вполне упру­ гим) телам при циклических нагрузках. Обозначим через АП коли­ чество энергии, рассеянное за один цикл колебания (площадь пет­ ли гистерезиса на рис. II.5), а через П — максимальную упругую энергию цикла (площадь треугольника ОАБ).

48

Тогда коэффициент у определяется выражением

_ 1 ДП

(11.24)

2л П

Как показывают опыты, величина у не зависит от частоты колебаний; в диапа­ зоне эксплуатационных напряжений она не зависит и от амплитуды последних. Все предыдущие формулы получены- в предположении y=const.

Численные значения у, обусловленные внутренним трением в материале, уста­

навливаются экспериментальным путем. Однако в сооружениях энергия колебаний рассеивается не только за счет этого фактора, но и вследствие трения в сопряжениях и узлах конструкций, обрат­ ной утечки части энергии в грунт и т. д. Коэффициент у как единст­ венный показатель рассеяния энергии в расчетных формулах дол­ жен отражать все виды энергетических потерь. Поэтому обоснован­ ные численные его значения для реальных сооружений могут быть получены только путем натурных испытаний последних. Соответст­ вующие данные приведены в гл. III.

§ 11.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НА СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ. НОРМИРОВАННАЯ МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ СИЛ И УСИЛИЙ ПО СПЕКТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ

Практическое применение описанного в предыдущем параграфе расчетного аппарата встречает значительные трудности. При совре­ менном уровне развития счетной техники сравнительно легко пре­ одолеваются вычислительные трудности, связанные с определением периодов и форм собственных колебаний. Основные затруднения принципиального характера обусловлены сложностью адэкватного описания возбуждающей причины — сейсмических "колебаний грун­

та. Функция WQ{t) = Y^{t), представляющая закон изменения ускорений грунта в расчетных формулах, носит, как отмечалось в § 1.3, нестабильный, случайный характер и не поддается удобному аналитическому описанию. Имеющиеся в настоящее время акселе­ рограммы далеко не достаточны для полной характеристики коле­ баний грунта в различных региональных и местных условиях.

По указанной причине для практического вычисления сейсмиче­ ских сил применяются различные методы. Исторически первой сло­ жилась так называемая статическая теория, которая предполагает, что деформации сооружения пренебрежимо малы и ускорения его точек совпадают с ускорениями грунта (основания). Тогда наиболь­ шие значения сейсмических сил можно непосредственно вычислить

49