Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

зДесь коэффициент теплопроводности вдоль оси у обо­ значен Ху и аналогичен принятому ранее коэффициенту

Хг.

В случае исполнения катушки, при котором допусти­ мо предположение об изотропности обмотки по всем на­ правлениям, т. е. при

где под Х*о понимают эквивалентный коэффициент теп­ лопроводности обмотки, уравнение (2-105) преобразует­ ся к виду

или в стационарном режиме

В практике работы силовых электромагнитных меха­ низмов наиболее часто встречаются задачи, связанные с изучением стационарных двухмерных плоских или плоскомеридианных полей при наличии анизотропии по двум главным направлениям, т. е. задачи, описываемые уравнениями:

д

здесь, как и ранее, принято постоянство коэффициентов теплопроводности вдоль направлений главных осей ко­ ординатной системы; рекомендации по их расчету см. в § 2-3 и [Л. 53].

Решение уравнений (2-109) существенно затрудняет­ ся из-за зависимости от температуры удельной произво­ дительности элементарных источников нагрева, распре­ деленных по объему обмотки. Укажем на некоторые особенности расчета удельной производительности для

189

Здесь в правой части равенства числйтель и знаме­ натель умножены на /срш (/ср— длина среднего витка обмотки и ш — число витков). Следовательно,

в этом случае ток в катушке определяется сопротивле­ нием обмотки, отнесенным к усредненной температуре по ее сечению

Яо (I Ч- “о^ср) ’

то по (2-102)

и] 2 Ро (1 + « о Э ) W

и после аналогичного преобразования получим:

где средняя температура по сечению принята равной5

( 5 )

Son-—сечение окна обмотки.

Подстановка полученных зависимостей q (•ft) в (2-109) усложняет решение последних, особенно для случая ка­ тушек напряжения. Как известно, дифференциальные уравнения типа (2-109), устанавливающие связь между временными и пространственными изменениями темпе­ ратуры тела, математически описывают перенос тепла внутри катушки. Для того чтобы найти температурное поле внутри катушки в любой момент времени, т. е. что­ бы решить указанные дифференциальные уравнения, должны быть определены условия однозначности, при

1 9 0

этом необходимо знать геометрическую форму и разме­ ры намагничивающей катушки; начальные условия за­ дачи— распределение температуры внутри обмотки в на­

модействия между окружающей средой и поверхностью тела.

Граничные условия наиболее часто принято описы­ вать условиями трех родов.

теплового потока для каждой точки поверхности обмот­ ки в любой момент времени.

Условия третьего рода характеризуют закон конвек­ тивного теплообмена между поверхностью обмотки и окружающей средой с температурой Ф0.с

-яп^=/г(&-&°.с)и,

здесь Кп — коэффициент теплопроводности вдоль направ­ ления п, перпендикулярного к поверхности обмотки; /г-—приведенный коэффициент теплоотдачи с поверхно­ сти обмотки при перепаде температур Ф—Ф0.о в рассмат­ риваемой точке поверхности в зоне выбранного направ­ ления.

Классическим методом решения указанных уравне­ ний с частными производными второго порядка являет­ ся метод разделения переменных—метод Фурье [Л. 35,77]. Решения этим методом получаются в виде рядов Фурье или Фурье — Бесселя, причем суммирование производит­ ся по корням систем трансцендентных уравнений.

Опыт решения задач нагрева намагничивающих ка­ тушек с использованием уравнения теплопроводности и

получаются чрезвычайно громоздкие и малоудобные, особенно с целью практического их использования при синтезе силовых электромагнитных механизмов.

Расчетные зависимости значительно усложняются при решении задач для случая неквадратного сечения окна

191

обмотки, несимметричных условий охлаждения и нали­ чия анизотропии. При этом получается система транс­ цендентных уравнений, которая в ряде случаев не мо­ жет быть решена в общем виде.

Необходимость суммирования четырех — шести чле­ нов ряда в решениях (для обеспечения достаточной для практики точности) затрудняет использование прибли­ женных методов расчета трансцендентных уравнений в связи с возникающей проблемой отделения корней ре­ шения указанных систем.

Таким образом, решение поставленной в общем виде задачи — расчета температурного поля с помощью клас­ сического метода (Фурье) представляет весьма сложную задачу даже при возможности использования ЭЦВМ.

Известны другие хорошо разработанные методы с применением ЭЦВМ, например метод сеток и другие методы дискретного характера, которые облегчают про­ цесс расчета, однако малоудобны для аналитического анализа рассматриваемых ттроцессов. Сложность и гро­ моздкость точного решения и невозможность точного определения (задания) ряда исходных параметров рас­ чета намагничивающих катушек из-за неизбежных про­ изводственных отклонений,связанных с технологическими отклонениями при изготовлении промышленных об­ разцов, разбросом технических характеристик, использу­ емых материалов, а также спецификой их конструктив­

катушек и т. п.), определяют стремление к упрощенной постановке задачи, решения которой должны отличать­ ся достаточной для практики точностью.

Укажем в этой связи на конкретные возможности и рекомендации в приложении к широко распространен­ ному в практике стационарному случаю плоскопарал­ лельного температурного поля, характерного для усло­ вий нагрева и охлаждения обмотки намагничивающих катушек электромагнитных элементов и в том числе си­ ловых электромагнитных механизмов.

Сформулируем общую постановку задачи.

Удельная производительность источников нагрева за­ висит от распределения по сечению (объему) темпера­ туры ■&, а следовательно, и превышения температуры 0 над температурой окружающей среды Ф0.с: Я = с1{®)> где

© = '6 '— 'О'о.С*

Нагрев описывается уравнением вида

d-Q , , д2@

мотки соответственно для поверхностей торцов, наруж­ ной и внутренней поверхности принимается зависимость превышения температуры 0 и коэффициента теплоотда­ чи /г от координат, отнесенных к указанным поверхно­ стям катушки:

0v = 9 ( + 4 5- ’ у ) ’ ^ = /г ( + 4 ^ - у ) '

Решение данной задачи применительно к сформули­ рованным условиям в общем виде требует определения:

поля превышения температур

где zM, г/м— соответствующие координаты максимально нагретой точки;

среднего по сечению окна превышения температуры

(S)

Как было показано выше, определение перечислен­ ных величин и зависимостей вызывает практические затруднения. В связи с этим введем приближенные сим­ метричные модели температурного поля, катушек СЭММ, решения задачи для которых значительно упрощаются.

Выводы и рекомендации, обоснование которых при­ водится ниже, дают возможность, используя принцип базовой и корректирующих функций, получить доста-

точно точные аналитические зависимости, описывающие нагрев катушек в общем виде. При этом базовая функ­ ция описывает нагрев катушек, полученный по упрощен­ ным моделям, а корректирующая функция уточняет по­ лученные результаты с учетом возможной практической реализации и в том числе при асимметричных условиях нагрева и охлаждения.

Принятые модели и упрощения

М о д е л ь «/г». Условия данной модели (рис.. 2-15,в) предполагают:

Постоянство коэффициентов теплоотдачи на поверх­ ностях охлаждения

Постоянство удельной производительности внутрен­ них источников нагрева q= const. При этом предполага­ ется (в результате чего уменьшается погрешность допу­ щения), что удельная производительность источников отнесена к средней температуре (■flop) по сечению обмот­ ки катушки = <700= const. В этом случае согласно (2-110)

и (2-111)

температурный коэффициент металла провода, отнесен­ ные к нулевой температуре и к температуре окружаю­ щей среды t>0.c, при этом

С целью удобства изложения в дальнейшем обобщим расчетные формулы, введя обозначение

где для токовых катушек (при / = const)

(2-117а)

1 9 4