Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

где Bij, Pi Sj — подлежащие определению постоянные, значения которых находятся с учетом граничных усло­

возможности анализа температурного поля только в од­

ной четверти окна намотки (например, S0h=<Si234 = c6), определяющийся симметрией модели «0П». В этом слу­

чае дополнительные условия по равенству нулю гради­ ента температуры на внутренних поверхностях

grad Q*y |у=(;= 0 и grad 0*z|2=o= O равносильны условию отсутствия теплоотдачи на этих поверхностях и сохра­ нению принятой картины изотерм в сечении. Как видно, в этом случае максимальное превышение температуры 0*м соответствует значению координат уы — с и zM= 0.

Среднее превышение температуры 0*ср по окну на­ мотки при заданной постоянной производительности внутренних источников нагрева qCJ>, учитывая симмет­ рию, сохраняет свое значение для случая рассмотрения температурного поля в половине окна (SOK= Si265i= 2£c), а также всего (полного) окна (S0K==*Si578i=4£'c) обмотки катушки. При этом исходя из принятых условий посто­ янства и равенства температуры 0 П на наружных по-

201

202

где первые приближения (базовые функции) состояния приняты равными

а корректирующие функции, как следует из (2-148), (2-147) и (2-145), (2-144), определяются с учетом (2-146)

следующим образом: для модели «0ц-ИД»

(2-145) при определении корректирующих функций при­ нято i = l.

Укажем дополнительно, что аналогичная задача, од­ нако в более общем виде и в том числе при производи­ тельности источников, зависящей от температуры для различных моделей, рассмотрена нами в (Л. 51—53], там же приведена методика исследования и эксперименталь­ ные данные по температурному полю различных испол­ нений катушек, подтверждающие полученные расчетные результаты. Рассмотренная задача может быть решена и другими методами (Л. 1], в том числе и приближенны­ ми, например, так, как это сделано в [Л. 32].

Из других приближенных методов особое внимание заслуживают методы, связанные с вариационными прин­ ципами, которые, как будет показано, облегчают реше­ ние данной задачи, особенно при граничных условиях третьего рода (модель «/г»), где использование класси­ ческих методов малоэффективно. Применение вариаци-

203

онных методов для рассматриваемой задачи при гранич­ ных условиях первого рода (модель «в») дает возмож­ ность произвести сопоставление с полученными выше решениями с целью их оценки по приближению.

В связи с этим рассмотрим постановку вариационной задачи несколько подробней уже в данном разделе. Из­ вестно, что если функция 0* (у, z) доставляет экстремум функционалу типа (§ 2-3)

где / — функция от функции @*(y,z) \ D — область зна­ чений функции 0*, на границе которой указанная функ­ ция постоянна или равна нулю; р и s — принятое обо­ значение частных производных:

являются полными частными производными функции R соответственно по координатам у и z.

Возможна и обратная постановка задачи, т. е. отыс­ кание решения Q*(y,z) уравнения (2-155), что равно­ сильно нахождению экстремали 0*, доставляющей функ­ ционалу (2-153) оптимальное значение. В рассматривае­ мом случае уравнение Пуассона вида

при граничных условиях первого рода является уравне­ нием Эйлера — Остроградского (2-155) и противопостав­ ляется функционалу (2-153), который имеет вид:

204

где 5 — область интегрирования, в нашем случае — сече­ ние окна намотки.

При необходимости учета анизотропии по теплопро­ водности вдоль координатных осей {'К гф 'ку) и возмож­ ной линейной зависимости удельных источников нагрева от температуры вида <7= £7о.с (1 + ат0*) задача решается при определении экстремали функционала вида

/ = j f [ яг ( ^ - ) 2+ Яу ( ^ " ) 2— 2<7о.с0*—2aTq0C(Q*)2^dy dz.

(S)

(2-159а)

При расчете температурного поля обмотки с учетом кривизны, т. е. при использовании уравнения нагрева в цилиндрических координатах, решение его может быть сведено к отысканию экстремали в* (г, z, ср) функциона­ ла вида

+4^ ) ’ -2<7о,с0 * — 2<7о.са т (9 * )2 г dr dz.

(5)

(2-1596)

Используя так называемые прямые методы в вариа­ ционных задачах, идея которых заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных, можно получить приближенное реше­ ние поставленной выше задачи по отысканию функции

©*{у, г ) .

Из прямых методов наиболее широко используются метод Ритца и метод Канторовича {Л. 34]. При примене­ нии первого метода к функционалам /[0*(xi, х2, ..., хп)], зависящим от функции нескольких переменных, подби­ рается система функций

w i ( x u х2,... , х п), W 2 (X i, Х2,...,Х п ),...

где коэффициенты ак — постоянны.

При использовании второго метода коэффициенты aK(*i) не постоянны и являются неизвестными функци-

205