Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

а условия (3-165а) могут быть записаны в виде

В дальнейшем с целью упрощения написания иссле­ дуемых зависимостей целевая функция и ограничения при указанных выше особенностях обозначаются как

один экстремум, либо несколько экстремумов, либо во­ обще не иметь их. Экстремумы, если они существуют, являются абсолютными (глобальными) или местными (локальными), минимальными или максимальными зна­ чениями функции. Экстремумы отсутствуют только тог­ да, когда целевая функция растет или уменьшается мо­ нотонно при неограниченном изменении какого-либо аргумента (параметра). Практически в этих случаях ограничивают значение варьируемого параметра (3-166), и наибольшим или наименьшим значением функции мо­ жет оказаться ее величина при предельном значении пара­ метра Zj. Если существует несколько местных экстрему­ мов, то определению подлежит наибольший или соответ­ ственно наименьший из них. Это можно осуществить пу­

возможным, поэтому для поиска экстремума применя­ ются специально разработанные численные методы (гра­ диентные методы, напскорейшего спуска и др.), широко используемые в задачах линейного, нелинейного и дина­ мического программирования. К сожалению, в задачах синтеза СЭММ и эти методы не всегда могут быть прак­ тически реализованы из-за весьма существенной слож­ ности целевых функций и функций ограничения, а так­ же большого числа варьируемых параметров; кроме того, указанные методы позволяют найти локальный экстремум и не дают представления о поведении целевой функции в рассматриваемой области, что в ряде случаев синтеза СЭММ исключает оценку и принятие решения о допустимом рациональном выборе варьируемых пара­ метров, целесообразном по условиям конструктивно-тех­ нологической разработки проектируемых образцов.

•308

Исходя из сказанного, учитываем возможности не­ посредственного введения некоторых ограничений в це­ левую функцию через значение определяющего размера, полученного при использовании принципа соответствия н. с., а также понижения числа переменных при прямом

Рис. 3-11.

309

синтезе СЭММ. Наряду с классическими методами ма­ тематического программирования ниже рекомендуется метод перебора основных параметров проектирования и оценки их рациональных значений по условиям приня­ тых квазиоптимальных значений целевой функции и при допустимых дополнительных ограничениях с учетом корректирующих функций.

Метод перебора параметров проектирования эффек­ тивен, если их число может быть сведено к минимуму, например кратностям ядра электромагнитной системы п, mfp], e[v\ и углу конусности со, характерному в ис­ полнениях втяжных систем. Если в качестве примера

рассматривать число варьируемых параметров, равное двум (я, /77<[р]), то, используя возможности ЦВМ и схему алгоритма программы, приведенной на рис. 3-11, методом полного перебора последовательных значений

Zi= n и z2 = р[/н] (при положении ключа № 1 «выключе­ но») можно определить значения целевых функций Э = Э (z) во всех узлах сетки, дискретизирующей прост­ ранство варьируемых параметров (рис. 3-12,а) . При этом для определения функции 5 (г) для каждого узла сетки Эа, Эь, Эс и Эа выполняется промежуточная операция в виде прямого синтеза СЭММ, в результате чего осу­ ществляется расчет всех величин, необходимых для оп­ ределения целевой функции.

Приведенная ранее методика прямого синтеза СЭММ (§ 3-1) дает возможность выполнить указанный расчет достаточно точно с учетом значений соответству­ ющих корректирующих функций, условий насыщения стали, заполнения окна намотки катушки и т. п.

Последующая интерполяция значений целевой функ­ ции между узлами сетки делается в предположении, что функция Э(г) непрерывная и гладкая. В результате оп­ ределяется семейство линий уровня Э(г)= const, напри­ мер так, как это показано на рис. 3-12,а, где отмечен также глобальный экстремум Эо и указана квазиоптимальная область П(г) изменения функции Э(г), отли­ чающейся от экстремального значения в заданных (на­ пример в процентах) границах ее отклонения Э 1(о. Ука­ занная квазиоптимальная область П(г) ограничена на рисунке пунктиром. Она определяет возможность раци­ онального выбора совокупности принадлежащих ей варьируемых параметров Zoj^II(z),

31Q

Рис. 3-12.

311

Если, кроме ограничений, вошедших в целевую функ­ цию, имеются дополнительные ограничения типа равен­

В плоскости параметров zi п z2 наносят линии условий ограничения (рис. 3-12,6) Dl(z )= D oi и D2{z) =£>02. Най­

вующие точки (Э01, Э02) условного экстремума. Опреде­ лив заданную (например, в процентах) величину квазноптимального отклонения (3Ko)i и (Эк0)2 целевой функции, можно выделить соответствующие квазиоптимальные зоны П1 и П2 рационального изменения пара­ метра z2 (заштрихованы на рисунке) и перекрывающуюся область П(г) квазпоптимального изменения целевой функции Э(г) при наложенных двух ограничениях в виде равенств и соответствующие ей рациональные значения параметров Z02. Укажем также, что аналогичная оценка параметров z02 по области II(z) может быть произведе­ на так, как показано на рис. 3-12,а, при наличии одного ограничения D(z)=D0 и ряда, например двух, показа­ телей качества /7K(z), не обобщенных в одну целевую функцию.

При областных ограничениях, заданных в виде нера­

выделение квазиоптимальной области II(z) производит­ ся так, как это, например, показано на рис. 3-12,6—э/с. В этих случаях в плоскости переменных zi и z2 на линии уровней целевой функции 3(z) наложены линии до­ полнительных условий, построенных по уравнениям ог­

при двух областных ограничениях возможны варианты, когда оба ограничения неэффективны (рис. 3-12,6). При этом определяется глобальный экстремум функции 3 0(z) и квазиоптимальное значение ее Эк0. В этом слу­ чае в зависимости от принятого процентного отклонения также может быть выделена область II(z) (заштрихо­ ванная на рис. 3-12,6), в некоторых случаях ограничен-

312