Файл: Кутателадзе, С. С. Пристенная турбулентность.pdf

ц = 4 ( 1 - у 2 ) .

(Ш.6)

Если первая собственная функция имеет по модулю один

порядок

на

всем интервале, то реальная и

мнимая

части

второй

имеют резкий

максимум в районе критической

точки

в полном соответствии со свойством А. В

обоих случаях

собственная

функция

нормирована таким

образом,

чтобы

max <рг = 1.

и

Рис.

111.2. Собственные

функции

р ц с . /// . з . Глобальная и локальная

для

плоского течения Пуазейля:

неустойчивость.

/ — с = 1 , 0 2 ,

Re=3848,

c = 0 , 3 9 6 + î 2 • 1 0 - 3 ,

</c =l>,S5ü;

2 — а=Ж),

Rc=lU < .

с = 0 , П -

- i 0,013,

1/^=0,96.

На рис. Ш.З представлены [54]

критические

точки и со­

ответствующие им мнимые части

собственных

значений ct

для первых четырех спектральных

номеров (Re= 104 ). Па­

тические точки, лежащие

в диапазоне

г/0 — 0,5-f-0,6. С

ростом

а критические точки для

первой пары

спектральных номеров

стремятся к единице, соответствующие

им возмущения

будем

ми. Деление

возмущений

с ростом

а

на

пристенные

и

при-

осевые характерно для всех выпуклых профилей с точкой

мак­

симума внутри

канала.

Кривые /—4отвечают плоскому течению Пуазейля (III.6).

Неустойчивость

(с,->0)

этого

течения при Re=104

связана

с возмущениями с волновыми числами

а~0,7-"-1,І;

эти воз­

мущения носят глобальный характер, и

собственно

функции

имеют вид кривых / на рис. ІІІ.2.

Приосевые возмущения

в течении

Пуазейля

затухают при

всех числах

Re.

Был проведен

расчет

четырех

спектральных

номеров и

для

профиля

" (У) =

Y ( 1 -

У2) + 0,02 ехр { - 2000z/2},

отличающегося

от параболы

небольшой

деформацией

вблизи

оси

канала.

Качественно

характер

этой

деформации

отражен

на

рис.

I I 1.4

(пунктирная

линия). Пристенные

возмущения

при

этом

настолько

слабо

изменили

свое

поведение

по сравнению

с профилем

(III.6),

что

на рис. Ш.З

они

с

графической

точностью

представляются

теми

же

кривыми

1,

2.

Приосе­

вые

же

коротковолновые

возмущения

существенно

изме­

няются

(кривые 3',

4'), и уже при

Re=10 4 среди них есть нараста­

ющие

( С І > 0 ) .

Эта

неустойчи­

\

вость

связана

с

появлением

то­

1

чек

перегиба

в

профиле

скоро­

/ г

сти

и

определяется возмущения­

ми

с

а ~ 1 0 . Таким

образом,

де­

формация профиля у оси канала

существенно

влияет

только

на

приосевые возмущения в

полном

соответствии

со свойством В.

2Л

\

Рис.

Ш.З

хорошо

иллюстри­

Ь'2

Ус

У,

рует

и

свойство

Б.

Для

при­

стенных возмущений с ростом а

Рис.

ША.

Профили

скоростей,

различие

в

характере

условий

ным

ф(г/), при больших

а сливаются.

Свойства локальности позволяют снести однородные гра­

ничные условия с границы, удаленной от ус,

во внутреннюю

точку

интервала

ближе к

ус без

ущерба для

точности вычис­

ления

е е

ствениого

значения,

что

эквивалентно

решению

задачи на

собственные значения

не

на интервале

— 1 ^ 1 / ^ 1 ,

а на

интервале

У і ^ у ^ І

(в случае

пристенных возмущений)

(см. рис.

ІІІ.4).

В

точке

у=у\

будем выполнять

те же гра-

1

•—- 1

1

> ~^

;

О

I

2

lg«

Puc.

III.5.

Зависимости ДДа)

для пристенных

возмущений.

ничные

условия,

что

ранее ставились

в

точке

у——1.

Обоз­

начим

Д = ( 1 — і / і ) / 2

наименьшую долю интервала, до

кото­

вычислениях как вещественной сг , так и мнимой с{

части

соб­

ственного

значения

в

одни

процент

от

значений,

рассчитан­

ный на

полном

интервале

— l s ^ i / s ^ l .

В случае

приосевых

возмущений эту долю будем обозначать Ді (см. рис. III.4).

На

рис.

III.5

и

III.6

представлены

зависимо-

ти Д и Ді от а для воз­

мущений

с

наибольшим

с,-. Кривые 1 на обоих ри­

сунках

относятся к

тече­

—

нию Пуазейля (III.6). Кри­

-і.о

вые 2 и 3 построены

для

N.

профилей

скорости

из се­

мейства, подробно

описан­

о

:

^

ного в

работе

[57];

они

-'

обладают

характерными

Р а с _ ] І 1 6

3 а в и с

н м о с т и

Д і ( а )

д л я п

р и .

свойствами

осреднениых

осевых возмущении.

женному,

чем

экспериментальный,

профилю

при

параметр

pax и = 1, /о=0,35, А =

100, п = 0 , 5 .

Общей особенностью представленных на рис. III.5 иІІІ.6

кривых является то, что вплоть до определенного

значения

волнового числа, которое будем обозначать

а л о к , сокращение

интервала

недопустимо и Д =

Ді =

1. При

а > а л о к

допусти­

мые значения А и Ді

резко уменьшаются

(практически скач­

кообразно),

а

затем

падают

с ростом

а

по

характерным

терных величин:

размером

ö так

называемой

вязкой

зоны,

т. е. области в потоке, где

из-за малости

и — с и

и" уравне­

ние

(1.6.8) перестает быть

уравнением

с

малым

параметром

при

старшей производной

и

представления (Ш.З) и

(III.5)

несправедливы.

Величина

о,

с другой

стороны,

определяет

масштаб, на котором практически

теряет

силу

вязкое

реше­

(III.5). При

умеренных и" и а > 1 этот масштаб определяет­

ся из (III.5)

:

u=ui

+ i(y — yi)\

(ІІІ.8)

где у\ — либо стенка, либо ось; и,\ —

и,(у{).

Введем некий масштаб I и

новую

переменную г= у

1 Уі •

Тогда (1.6.8) преобразуется:

ф'Г — 2a?cpz + а* ф =

іа Re yl2+k [(zk

— c j (<р"г —- а?ф) —

— П(П— 1)26 ~2 ф],

(III.9)

где C{—(c — « i ) / ~ ^ - 1 ;

a\ = al\

индекс z означает, что

диф-