Файл: Кутателадзе, С. С. Пристенная турбулентность.pdf

дЕ д Г " Л ,

Г ди{

i г ÔÎ>, до,

дѵ.

виям и требованию неразрывности

= 0. Такое поле при

лиза является

определение

того наименьшего

числа

Рей­

нольдса Rej „

при котором

для некоторого

пробного

по­

то пробное поле, для которого

— 0, то

условие

строгой

монотонности будет

нарушено

при t=Q.

Таким

образом,

требуется найти минимальное Re, при котором

™ а х

~§f —• и-

При напорных течениях в трубах и каналах

теоретический

диапазон перехода Re3

< Re<jRej,

оказывается

слишком ве­

лик

для сколько-нибудь точной оценки критических парамет­

ров.

Так,

при плоском

течении

Пуазейля Rel y = 50,

К е л = 5772,экспериментальные значения

Re* порядка

тыся­

чи

(число

Рейнольдса здесь

строится

по

полуширине

канала

нитных числах Рейнольдса Rem

в случае течения

Гартмана

при Н а > 1 0

получено Re3 =1 9,5 - На, в то время как линейная

теория дает

Р е л > =50000 - На

(здесь На — число

Гартма-

где

ѴІ — полное

поле скоростей, Я,- — магнитное поле, р —•

полное давление. Пренебрегая возмущениями магнитного по­

ля,

умножим уравнения для возмущений ѵ{ скалярно на и(

и проинтегрируем

по объему:

Г

ди,

1

f Г до,

дѵ;

Ç

\

-щ

* -

h

IJ

-ei

• #

^

+ Ha3J

W

* / -

Отсюда видно, что минимальное число

Рейнольдса

(' дѵ,

до,

f

+

_>

->.„->.

D

min

)дГ

'IT

d x + Ha*\

, £

, l 2

|

я ' а

s i n 3

{ v Hï

d x

R S l - " ^

1

с

d u { j

_

J V i V l '

dxj~

будет возрастать с ростом На.

В рассмотренных

примерах

вязкость

не только

приводит

к диссипации

энергии,

но и

способствует

возникновению

неустойчивости.

Диапазон

Re^, Re ^

значительно

сужается,

когда неустойчивость связана с дестабилизирующим

влияни­

ем

определенных

массовых сил. Так,

в случае

конвективной

неустойчивости жидкости, подогреваемой снизу, Rel Ä того же

порядка,

что

и Re.v

Джозеф

и Мунсон

[280] исследовали

тейлоровскую неустойчивость течений между вращающимися

соосными

цилиндрами

и

для

некоторых

течений

вообще

не

получили

различия

между

Rex^ и

Re^.

Разница

между

результатами

энергетического

и

линейного

анализов для

течений,

неустойчивость

которых

обусловливается

наличием

точки перегиба

в профиле

скорости,

невелика. Для

течения

в канале с профилем скорости, имеющим вид антисимметрич­

ной

кубической

параболы

(такие

течения возникают

при сво­

бодной конвекции

в вертикальном

слое), А. М. Сагалаковым

и

автором [207]

установлено,

что Re^

превосходит

Re^

примерно в три раза, а для

плоских

струйных

течений

в

два

раза.

13

193

но

должны быть стационарными и

все остальные

моменты,

из

уравнений Фридмана — Келлера

можно получить

сколько

дить третьи и

более

старшие моменты, то

уравнения

Эйле­

р а — Лагранжа

для

вариационной задачи

перестанут

быть

ничных условий

и уравнения

неразрывности

можно

получить

W}^~dr=

_ j 0 ( 0 , _ L

dx - ± j

-

dx,

(ULI)

где и; и Q,- — завихренности поля возмущений

и

стационарно­

щений левая

часть

( I I I . 1 ) должна равняться нулю.

Условие

равенства нулю правой части ( I I I . 1 )

может

повысить

оценки

критического

числа

Рейнольдса. При

течениях

в плоском ка­

дольном

направлении

возмущениям, поведение

которых

в линейном приближении

можно изучать

независимо друг

от друга. При этом, однако,

оказывается,

что взаимодействие

потока

с длинноволновыми

и коротковолновыми

возмуще-

Ф ( ± 1 ) = Ф ' ( ± 1 ) = 0 .

Если предположить, что

| с | ^ > | м | ,

то, пренебрегая

в пер­

вом

приближении

в

(1.6.8)

членами,

содержащими

и

и и",

получим, что длинноволновые и коротковолновые

возмуще­

ния

развиваются

в

потоке

независимо от формы

профиля

пазоне (при Re>100) 10/Re<cc<Re/10.

Этот

диапазон

мож­

но назвать зоной влияния гидродинамики.

Рассмотрим поведение длинноволновых возмущений а<СІ.

Разлагая

по малым а

с = с 0 / а + с і + а с 2 + . • • .

(ПІ.2)

найдем,

что коэффициенты в (III.2)

зависят

от и (у)

инте­

грально.

окрестности

критической

точки

ус[и(ус)

= с г ] ,

получим, сог­

ласно [148], что два

фундаментальных

решения («вязких»)

качественно представляются соотношениями

у

Фі,2 — exp | ±

j i / / a R e ( u — с)

cf//j,

(ІІІ.З)

Ус

а два определяются «невязким»

уравнением

(ІІІ.4)

Если а

достаточно

велико,

то решения

(III.4) можно

качественно представить

в виде

Фз,4~

ехр

{±а{у—Ус)}

(III.5)

13*

195

Пусть одна из

граничных точек г/г р достаточно

удалена от

ус, так что вблизи

г/Гр фундаментальные решения

удовлетво­

примера возьмем # r p

= — 1, тогда, выполняя условия прили­

пания, получим

Ф = Л[ехр

+ j ß d i /

\-Ч^ехр{а(у-\-\}

2г

— l

X exp { - а (у +

1)}] +

В [exp j

-

j ß d / / | +

Ц ^ е х р

{а (у + 1)}~

- ^

е х р [ - а (у - ! - ! } ) ] ,

где ß = Kt'aRe((7 — с),

ß r > 0 .

Это выражение качественно отражает поведение собствен­

ной функции вплоть до малой

окрестности уй. Нетрудно

убедиться, что

если

ß r ^ O , то

при любом

выборе

констант

А и В собственная функция по

амплитуде

экспоненциально

нарастает от

у г р к критической

точке

ус.

Другими

словами,

вне малой окрестности ус амплитуда

ç(y)

экспоненциально

убывает при удалении от критической точки.

Быстрота

затухания собственной

функции определяется

затухания

может

определять

«вязкий» компонент собствен­

ной функции, а

при умеренных

и малых — «невязкий». В

последнем

случае

диапазон,

вне

которого собственная функ­

Собственное

значение

с выражается

через

интегралы

от

собственной

функции ц>(у)

[148] и поэтому

в условиях, когда

ф(у)

практически

отлична

от

нуля только

в

окрестности

ус,

величина с

будет

зависеть

от

значений

и (у)

и

ее производ­

ных

только

в малой окрестности г/с ине зависеть

от характера

профиля скорости вне этой окрестности.

Отметим,

кроме того, что

в результате

экспоненциального

затухания q(y)

при удалении

от критической

точки в дальней