ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 0
130 |
СИН ХРОНИ ЗАЦИ Я И БИ ЕНИЯ (ЭКСПЕРИ М ЕН Т) |
[ГЛ. IX |
одной из волн от разности фаз отраженных лучей. Эта кривая, полученная одновременно с кривой а, сдвинута относительно нее по фазе на Дф я/5. Величину сдвига фаз Дф между де виацией частоты биений и изменением постоянной составляю щей интенсивностей при варьировании разности фаз коэффи циентов связи нетрудно оценить на основе формул (9.2) и (9.6):
|
|
tg Дф = (а — Р)/й. |
|
(9.7) |
Для естественной смеси изотопов неона, использовавшейся в |
||||
работе |
[4], вблизи |
максимума усиления ( а — $)/Ь х 0,7, |
что |
|
хорошо |
согласуется |
с наблюдавшейся |
экспериментально |
раз |
ностью фаз Дф « я/5. |
постоянной составляю |
|||
Была измерена |
также зависимость |
|||
щей разности интенсивностей встречных волн от частоты бие ний. Кривая, изображенная на рис. 9.9, хорошо соответствует гиперболической зависимости разности интенсивностей от рас стройки Q (см. формулы (9.6)).
Ч А С ТЬ 2
МНОГОМОДОВАЯ ГЕНЕРАЦИЯ В ГАЗОВЫХ ЛАЗЕРАХ
Г Л А В А X
КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОД
Вгл. II—IX рассматривалась генерация кольцевого лазера
водномодовом режиме. Если в лазере не применяют диафраг мирование, то дифракционные потери нескольких поперечных мод (с «низкими поперечными индексами») малы, так что для
таких мод выполнено пороговое условие генерации. Кроме того, в кольцевом резонаторе существует много продольных мод, от личающихся числом q длин волн, укладывающихся на длине кольцевого резонатора L = qk. В том случае, если на ширину доплеровской линии -усиления ku попадает несколько частот продольных мод (2лc/L < ku), то при достаточной накачке по роговое условие генерации выполнено сразу для нескольких продольных мод. Однако это еще не означает, что все эти моды будут генерироваться вместе. Действительно, как только начнет генерироваться какая-либо мода, уменьшится инверсная насе ленность атомов из-за вынужденного излучения. Вследствие этого уменьшиться эффективное усиление не только генерируе мой моды, но и всех других мод — моды взаимодействуют.
§ 1. Взаимодействие двух мод в кольцевом лазере
Рассмотрим более подробно, какой физический механизм оп ределяет взаимодействие мод в кольцевом лазере. Для этого найдем средний коэффициент усиления га-й моды gn в двухмодо вом режиме.
Поле в лазере разложим по собственным типам колебаний идеального кольцевого резонатора (модам)
E(r,t) = ^ ^ E n(r) Ea(t)e-‘ I V + ^ - V + ^ M ] + к. с. (ЮЛ)
П
Здесь En(t), и„, ср„(/)— амплитуда, частота и фаза моды. Функция Еп(г) описывает поперечное распределение амплитуды моды, kn — волновое число, положительное или отрицательное, в зависимости от направления распространения волны, ф„(г)
зависит от поперечных индексов моды и описывает дополнитель
5*
132 |
КА ЧЕСТВЕН Н О Е РАССМ ОТРЕНИЕ |
[ГЛ. X |
ный к knz набег фазы волны за счет того, что волна неплоская. Полный набег фазы волны на замкнутом пути в кольцевом ре зонаторе кратен 2л
kL — фп (-у) + |
Фп(— -у) = 2я<7„, |
(10.2) |
|
где L — периметр |
кольцевого |
резонатора, qn — большое |
целое |
число. Из условия |
(10.2) определяются собственные частоты |
||
резонатора ш„. Конкретный вид собственных функций £,„(г)Х Х е1(й*г-фи(г)) и выражения для собственных частот для кольце вых резонаторов со сферическими и плоскими зеркалами при ведены в § 1 и 3 гл. XIV.
Собственные типы колебаний обладают свойством ортого
нальности и нормированы в объеме резонатора: |
|
| {En(r)E]{r))ei ^ ~ k^ z~^^z)~<f!{z)^dV = bnj. |
(10.3) |
Полная мощность вынужденого излучения S определяется вы ражением *)
где Р — поляризация среды на выделенном переходе (средний дипольный момент единицы объема), интегрирование произво дится по объему активной среды в резонаторе. Это излучение
распределено по модам резонатора S = 2 Sn, где
S„ = i - £ „ ( 0 X
x j [^ -iE n(r)e-‘ [V+*n<0+<pn<*>-*„*1+К- c.))dV = |£ £ * (0 (10.4)
— излучение в п-ю моду. Выражение (10.4) является опреде лением эффективного коэффициента усиления gn п-й моды в единицу времени. Он зависит от интенсивностей обеих мод. Вы числим его.
Рассмотрим среду, состоящую из неподвижных атомов, на ходящихся в одинаковых условиях (модель однородного уширения линии усиления). Будем считать также, что направление вектора электрического поля задано в резонаторе (лазер с брюстеровскими окнами). Тогда в оптически изотропной среде направление вектора поляризации совпадает с направлением поля и знак вектора можно опустить. Поляризация среды Р про
*) Следующий ниже вывод коэффициента усиления i-й моды gi с по
мощью разделения мощности вынужденного излучения по модам (10.4), (10.5) принадлежит С. Г. Зейгер.
§ 1] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ МОД В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ 133
порциональна произведению поля Е на разность заселенностей генерирующих уровней N, так что
^ ^ \ N Y l BE^ E^ r)e' 1 |
+ |
с.), |
(Ю.5) |
N |
|
|
|
где В — коэффициент Эйнштейна *). |
при генерации |
поля |
|
Инверсная разность заселенностей |
|||
уменьшается вследствие вынужденных переходов. При генера ции одной п-й моды уменьшение пропорционально энергии моды и при слабом поле моды инверсная заселенность может быть записана в виде
N = N0\ l - o E l ( t ) \ E 2n (г)| ],
где а — коэффициент нелинейности.
Можно ожидать, что при генерации двух мод заселенность будет уменьшаться пропорционально суммарной энергии обеих
мод |
|E(r, t) |2. В двухмодовом режиме |
энергия поля |
|
| Е (г, |
0 |2 = - } [Ei (01Еу (г) |2 + |
Е\ (t) | Е2 |
(г ) |2+ |
|
+ |
2Еу (0 Е2(0 Re [{Еу (г) Е2* (г)) в-*»}], |
|
где <р,2 = (<В| — <в2) / + ф, (0 — ф2 (t) — (ky — k2)z + ф, (г) — ф2(г) —
разность фаз волн, она характеризует временную и простран ственную модуляцию энергии поля.
Так как энергия поля модулирована в пространстве, то и за селенность должна быть модулирована в пространстве. Дейст вительно, в тех местах, где энергия поля меньше, меньше и вынужденное излучение, следовательно, меньше атомов уходит с верхнего уровня на нижний и больше инверсная заселенность. Энергия поля модулирована не только в пространстве, но и во времени. Однако изменение заселенности с изменением поля происходит с запаздыванием. Поэтому пространственно-времен- н&я модуляция заселенности N сдвинута по фазе относительно модуляции энергии поля на величину ф)2. Сдвиг фаз i|h2 постоя нен в пространстве и во времени. Он растет с разностью частот
(o)i — (02)/у: гр12(0) = 0 , г|>12(° о )= я . Таким образом, инверсия заселенностей при генерации двух мод вблизи порога
ЛГ = No {1 — а [| Еу (г) |2 Е\ (t) + 1Е2 (г) |2 Е\ (t) +
+ 2Dl2Ey(t)E2(t)Re(Ey(r)E’2(r)e-l{,f' +,w)]). (10.6)
*) При этом качественном описании мы не рассматриваем сдвиг фазы поляризации среды относительно фазы поля (pjf1, появляющейся вследствие
дисперсии tg (р(^ = — (со — ш0)/уай, где со0 — центральная частота перехода, Уаъ — ширина линии. Строгая теория развита в § 2 гл. XI.
134 |
КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ |
[ГЛ. X |
Амплитуда модуляции заселенности Di2 уменьшается с увели чением разности частот (оц — сог)/у; ^>12(0) = 1, 0 < Di2 < 1. Подставив (10.5) и (10.6) в (10.4) и проинтегрировав по объему резонатора, получим выражение для коэффициента уси ления п-й моды. Выпишем gi\
«. = г» 11 — “ [£ i W < I£ , (ч) Г> + |
|
|
|
+ Е \ И ( |Е, (г) р|Е г (г) р> (I + cos ф|г)|| + Л и, |
(10.7) |
где go— 2nBNa— линейный коэффициент усиления, |
|
|
A(t) = |
— g0a Re {| ^ - (| E2 (r) p (£, (r) E2(r )) e~»») + |
|
+ |
Ex (t)E2(t)(I Ex (r) p (Ex (r) El(r)) e~*»)(l + Dl2e~‘*n) + |
|
|
+ Е*2У)Охге-1*1'(\(Ех (r) E'2(r))f e~m “) }. |
(10.8) |
Здесь угловые скобки означают интегрирование по объему ре зонатора. Функция A(t) изменяется со временем с разностной и удвоенной разностной частотами. Наиболее простая картина взаимодействия мод имеет место в случае А (t) = 0.
Рассмотрим генерацию в кольцевом резонаторе с плоскими зеркалами либо в резонаторе со сферическими зеркалами в слу чае, когда радиусы сферических зеркал много больше расстоя ний между зеркалами. В этом случае поперечное распределение
поля Еп(г) |
мало меняется вдоль оси резонатора г. Волновое |
||
число kn « |
2nq„/L, где qn — целое |
число, продольный |
индекс |
моды. Для |
разных продольных мод |
(<71 ф q2) разность |
фаз ццг |
меняется вдоль оси резонатора так, что если среда целиком за полняет резонатор, то среднее значение (ег<рч) = 0. Поэтому для таких мод A{t) « 0, при этом коэффициент усиления мод не зависит от времени:
£, = Sol1- |
fl£i< lEi ИР> + |
|
+ Е\ < | £, (г) р | Е2 (г ) р> (1 + Dl2cos ф12)} (10.9) |
(Ei sssEi(t), |
Ez = Ez(t)). Из выражения (10.9) видно, что уси |
ление первой моды зависит от энергии обеих мод. Это отражает тот факт, что моды взаимодействуют.
Покажем, к каким физическим эффектам приводит взаимо действие мод. Прежде всего рассмотрим возможность генера ции второй моды в присутствии первой. Условием начала гене
рации является превышение усиления g2 при Е\ Ф 0, Е2 = |
0 над |
|
потерями: |
|
|
ё3- So (1 - |
| (г) р | Ег (г) р> (1 + D cos ф12)} ^ g2пор, |
(10.10) |
§21 |
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ АТОМОВ |
135 |
|
где gi пор — потери для i-й моды. Стационарное значение интен сивности Е\ определяется из условия генерации одной первой
моды
£ , = g 0 ( l - < | Е , (г) |«» = 8l пор, £ 2 = 0 . ( 1 0 . 1 1 )
Подставив решение уравнения (10.11) в (10.10), получим усло вие совместной генерации мод
(a |
- a |
iN |
{\ЕЛг)?\Ег (г)\>) |
|
|
|
|||
\ 8о |
g 1пор/ |
1 |
I Е, lr\ I' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
82 пор |
пор* |
(1 0 .1 2 ) |
В случае одинаковой добротности мод (^2 пор = |
gi пор) |
оно при |
|||||||
нимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
---- 1 > Dl2cos ф)2, |
|
|
(10.13) |
||
где |
|
|
|
M'l2 |
|
|
|
|
|
|
|
Мт = |
(1 Ei (г) Г), |
lil k ^ ( I E t (r) |
p| E k (r) P). |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
Из (10.13) видно, что возможность одновременной генера |
||||||||
ции двух мод определяется: |
1) |
пространственным перекрытием |
|||||||
мод iWpi, |
|
2) разностью частот |
мод (coi — 0)2)/у, которая опре |
||||||
деляет фазовый сдвиг ф12. Если пространственное перекрытие
мало (iWpi |
1/2), |
то моды могут генерироваться |
одновре |
|
менно при любой разности частот («1 — (йг)/у- |
Для М°Д с °ДИ" |
|||
наковым поперечным |
распределением Ei(r) = |
E2(r), |
utz/^i = 1 |
|
и возможность одновременной генерации определяется только
фазой модуляции заселенности, т. е. |
знаком cos |
cos Ф12 < |
< 0 * ) . При близких частотах мод ( |
(coi — co2)Jy < |
1) это усло |
вие не выполнено. Таким образом, моды одинакового попереч ного распределения сильно конкурируют, так что они не могут
одновременно |
генерироваться, если их частоты близки. Знак |
|||
COS Ф12 меняется при |
COI — (02| ~ |
УаУаЬ, |
где Ya — ширина уровня, |
|
уаь— ширина |
линии |
излучения |
атома. |
Следовательно, при до |
статочно большой разности частот волны могут генерироваться совместно (см. § 2 гл. XVI).
§ 2. Влияние теплового движения излучающих атомов на нелинейное взаимодействие бегущих волн
Рассмотрим газовый лазер с широким доплеровским конту ром ku^yab (|6 | = ы/с). Активная среда в таком лазере пред ставляет собой ансамбль атомов, участвующих в тепловом
*) При учете сдвига фазы поляризации среды относительно фазы поля область двухволнового режима увеличивается. Условие возможности одно
временной генерации мод имеет вид cos^xJ)i2 -р ф2р)) < 0, т. е. j -р ф]Р) |> я /2.