Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

140 КАЧЕСТВЕННОЕ р а с с м о т р е н и е [ГЛ. X

с комбинационными тонами. Две волны с волновыми вектора­ ми kn, km вследствие вынужденного излучения приводят к про­ странственной модуляции инверсной заселенности с характерным волновым вектором ± (/г„ — km). При взаимодействии п-и волны с пространственно модулированной частью заселенности возни­

спектр частот резонатора эквидистантен. Поэтому комбинацион­ ная частота двух мод весьма близка к частоте генерации

Наличие комбинационных тонов двух мод изменяет взаимо­ действие самих этих мод. Это объясняется тем, что простран­ ственное распределение комбинационного тона, вообще говоря, не ортогонально модам, его породившим. Его вклад в усиление

Г Л А В А XI

УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ

Уравнения поля для случая генерации двух встречных волн приведены в гл. II—IV. В этой главе мы выведем уравнения поля в случае многомодовой генерации, но ограничимся при­ ближением слабого поля. Все рассмотрение проводится для по­ коящегося лазера, поскольку, как показано в гл. II, вращение лазера проявляется лишь в изменении частот встречных волн.

При решении материальных уравнений предполагается, что амплитуды и частоты мод меняются незначительно за время жизни атома у-1, т. е. у ^ Аюр. На этом основании при выводе материальных уравнений амплитуды и частоты мод поля, как и в гл. III, считаются постоянными. Это позволяет получить за­ висимость поляризации среды от амплитуд и частот мод, не ре­ шая пока уравнений Максвелла. Полагая поле слабым, мы вы­ числяем поляризацию Р при наличии многих мод с точностью до членов третьего порядка по полю. Подставив затем поля­ ризацию среды Р в уравнение Максвелла, получим систему уравнений для амплитуд и частот мод, решение которых дает решение поставленной задачи определения спектра генерации и распределения поля в резонаторе. Нелинейная зависимость по­ ляризации от амплитуд полей мод делает активную среду опти­ чески неоднородной. Из-за этого распределение поля в лазере отличается от распределения поля в пустом резонаторе (нели­ нейная деформация поля моды).

Основная часть рассмотрения будет проводиться для газо­ вого лазера. Мы предположим, как и в первой части, что рас­ пределение атомов газа по скоростям — максвелловское, со

средней квадратичной скоростью Общая теория, изло­ женная в этом разделе, справедлива при произвольном отно­ шении доплеровской ширины линии ku к ширине уровня у.

Все конкретные расчеты будут сделаны для двух предельных случаев: 1) когда доплеровская ширина линии ku пренебрежимо мала по сравнению с шириной уровня у (однородное уширение линии излучения); 2) когда доплеровская ширина гораздо больше у (неоднородное уширение).

§ 1. Вывод системы временных дифференциальных уравнений для амплитуд и фаз полей мод в неидеальном резонаторе

Постановка задачи. Для получения распределения поля в лазере необходимо решить уравнения Максвелла для поля вну­ три открытого резонатора

ro t£ = — — 1 div В = div D — О,

С01

( I M )

rotB = l ^ - + ^ / , D = eE + 4nP

с граничными условиями, определяющими неполное отражение

инверсно заселенного перехода, магнитную проницаемость р

волны в плоскости падения на зеркало гу и перпендикулярно плоскости падения гх. Коэффициенты отражения гх и гу опреде­ ляются из решения специальной задачи о наклонном паде­ нии плоской волны на плоское зеркало с учетом интерферен­ ции лучей, отраженных от передней и задней поверхностей зеркала.

Коэффициенты отражения зависят от материала и толщины зеркала, от угла падения на зеркало. Мы будем полагать гх и гу заданными. Граничные условия, определяющие неполное отражение на l-м зеркале, зададим в виде связи между танген­ циальными компонентами поля на зеркале Е® и компонентами поля падающей волны Е:

где п — нормаль к зеркалу. Условия применимости граничных условий (11.2) к описанию отражения волн на зеркалах резо­ натора заключаются в том, что волна, падающая на зеркало, не должна сильно отличаться от плоской волны, а само зеркало также должно быть близко к плоскому. Поле в оптическом ре­ зонаторе обычно концентрируется около оси. Для применимости условий (11.2) требуется, чтобы поперечные размеры области, в которой концентрируется поле, и радиус фазового фронта

« ч УРАВНЕНИ Я ДЛЯ АМПЛИТУД И ФАЗ 143

были много больше длины волны внутри зеркала. Аналогично радиус самого зеркала также должен быть много больше длины волны внутри зеркала.

Задача нахождения поля генерации в лазере путем решения уравнений Максвелла (11.1) с нелинейной поляризацией и гра­ ничными условиями неполного отражения (11.2) оказывается очень сложной даже в одномерном приближении. Поэтому мы используем метод Слэтера, согласно которому электромагнит­ ное поле в реальном резонаторе разлагается по собственным функциям пустого резонатора без потерь, а затем с учетом ре­ альных граничных условий находятся уравнения для коэффи­ циентов разложения. Такой метод с успехом применялся в тео­ рии СВЧ [5]. Использование такого метода в теории оптических квантовых генераторов дает возможность получить уравнения генерации с любой нужной точностью по степени неидеальности резонатора.

Поле идеального пустого резонатора без потерь с идеально отражающими зеркалами удовлетворяет уравнениям Максвелла

Будем искать решение уравнений (11.4) методом разделения переменных

Б (г, t) = ± E a{r)8a{t),

(11.5)

В (Г, t ) = ± B a(r)# a(t),

где функции Еа(г), Ва(г) зависят только от пространственных

ляются граничными условиями (11.3).

Используя уравнения Максвелла (11.1) для случая пустого

Функции Еа(г) и Ва(г) представляют собой ортонормированные в объеме резонатора системы функций, т. е.

J (Еа (г) Еъ (г)) dV = J (В'а (г) Вь (г)) dV = баб. (U -8)

В обычных приближениях квазиоптики (см. 14.6) в предположе­ нии, что дифракцией на зеркале можно пренебречь, собственные функции идеального кольцевого резонатора представляют со­ бой бегущие поперечные волны (ТЕМ), сосредоточенные около оси лазера

ka положительно или отрицательно в зависимости от того, в по­ ложительном или в отрицательном направлении оси г бежит волна а. Функции Еа(г) ортогональны и нормированы в любом поперечном сечении резонатора. Конкретный вид функций Еа(г) приведен в гл. XIV.

Разложение поля в реальном резонаторе по собственным функциям идеального резонатора. Перейдем теперь к нахож­ дению поля в реальном резонаторе с активной средой, с локаль­ ной неоднородностью и с не полностью отражающими зерка­ лами. Не интересуясь полем внутри пылинки (неоднородности), будем искать поле в той части резонатора, которая не занята

магнитного полей, определяющие интенсивность и частоту ге­ нерации ай моды. Поле E(r,t) (11.10) удовлетворяет уравне­ ниям Максвелла в объеме Ко — 6К. В этой части диэлектриче­ ская проницаемость среды е не зависит от координат. Поля Еа> Ва удовлетворяют уравнениям (11.7) для собственных функций идеального резонатора без неоднородности. Разложения (11.10) по собственным функциям резонатора сходятся внутри объема

Вследствие этого ряды (11.10) нельзя дифференцировать по координате г. Домножим уравнение Максвелла для ro tf на соб­ ственную функцию идеального резонатора Ва и проинтегрируем

где S —граница объема резонатора (зеркала и границы неод­ нородности), п — внешняя нормаль к границе резонатора. От­ сюда видно, что в разложение для rot£ по функциям Ва входит интеграл по поверхности 5 зеркал идеального резонатора и по поверхности неоднородности. Используя уравнение (11.1а) н

ответственно объемное поглощение (ja) и вынужденное излу­