Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

резонатора. Уравнения поля (11.11) отличаются от уравнений поля в однородном резонаторе с идеальными зеркалами нали­ чием поверхностного интеграла Па и интегралов по объему неод­ нородности. Последние возникли вследствие того, что собствен­ ные функции идеального резонатора, ортонормированные во всем объеме идеального резонатора V0, не ортонормированы в уменьшенном объеме У0— SV. Однако интегралами по объему 6У можно пренебречь в случае встречных волн одной моды (|&а| = |&ь|). так как они п0 сравнению с другими членами

содержат дополнительно малый множитель J (E*aEb)dV. Ана-

6V

логично можно пренебречь интегралом по 6У от поляризации Р. Поверхностный интеграл Па определяет «вытекание» поля как через зеркала резонатора вследствие неполного отражения [пЕ] ф 0, так и через открытую поверхность резонатора вслед­ ствие ограниченной апертуры зеркал. Различные моды связаны между собой за счет нелинейного взаимодействия в активной среде (через поляризацию Ра) и линейно связаны вследствие рассеяния на зеркалах и на неоднородностях (через поверхно­

стный интеграл ГТа).

Величины таь определяют линейную связь а-й и Ь-й мод вследствие неидеальностн зеркал и неоднородности внутри ре­ зонатора. Подставив (11.13) в (11.11), получим уравнение для комплексных амплитуд мод

где Qa = Qai/maa— добротность резонатора.

§ 2. Влияние локальной неоднородности на добротность и связь мод

Модель сильно отражающей пылинки. Предположим, что пылинка сильно отражает, так что амплитуда преломленной волны значительно меньше амплитуды отраженной. Тогда при рассмотрении поля на поверхности пылинки можно пренебречь проходящей волной и учесть только отраженную. Коэффициенты отражения на каждой грани можно найти по формулам Фре­ неля, если известна диэлектрическая проницаемость пылинки.

§ 2] ВЛИЯНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ 147

Пусть «пылинка» представляет собой цилиндр с непарал* дельными основаниями и объемом 6Г. Образующая цилиндра

Найдем величину поверхностного интеграла Па (11.12). Для этого надо вычислить подынтегральное выражение Аа. Так как пылинка находится внутри резонатора, то на поверхности пы­ линки значения собственных функций резонатора связаны обыч­

ным соотношением для бегущих волн Ва = -^-г[егЕа] (в отли-

I Ьа I

ось г) лежит в плоскости падения, ось £ — перпендикулярна плоскости падения волны на первую грань пылинки. Значение вектора В на границе получим, используя связь между компо­ нентами электрического и магнитного векторов в плоских вол­ нах (11.8):

^ B 6„ = [e,£oh(l +/■„,), Tk[nB]in = [n[ezE0]]i(i + r 8l).

Здесь Eoi, E0i)— компоненты поля падающей волны. Подставим поле на пылинке Е — Еп, В = Вп в формулу (11.12) для Аа, используя выражения для связи Еп, Вп с Е0, а также выражения для связи собственных функций резонатора Ва с Еа. Тогда, поль­ зуясь разложением поля Е0 по собственным типам колебаний резонатора (11.9), (11.10), получим

нии для Аа} (11.15) ведется суммирование по всем волнам Ь, идущим в положительном направлении оси Oz. Волны, идущие в противоположном направлении, отражаются на второй грани пылинки и до первой грани не доходят.

Зависимость связи волн от их поляризаций. Из выражения

ортогональные поляризации либо правый и левый круг). Для таких волн из (11.16а) получим Ааъ= 0. Таким образом, нали­ чие сильно отражающей неоднородности внутри резонатора не вносит связи между волнами, поляризованными во взаимно пер­ пендикулярных плоскостях и распространяющимися в одном на­

Здесь коэффициент Ааь показывает, какая часть энергии вол­ ны, испытавшей отражение, попадает в волну, идущую в про­ тивоположном направлении. Для волн, поляризованных парал­ лельно (еа = еь),

A{$, = {\e%f n + \ e j r ^ ,

для волн, поляризованных ортогонально друг другу,

АаЪ~ еа\еЪ\ (Г|1 rril)'

Таким образом, связь встречных волн ортогональной поля­ ризации пропорциональна разности коэффициентов отражения неоднородности в плоскости падения и перпендикулярно пло­ скости падения г\.

Интересно оценить отношение связи встречных волн ортого­ нальных круговых поляризаций («разного происхождения») к связи встречных волн параллельной поляризации («одного про-

Коэффициенты связи волн на пылинке. Мы получили зна­ чение подынтегрального выражения Аа в поверхностном инте­

грале Па (11.14). Подставив значение Аа (11.12) вПа= M a dS==

кающей при отражении на первой грани пылинки

При вычислении поверхностного интеграла будем считать, что размер пылинки гораздо меньше масштаба изменения поля, так что на пылинке можно считать амплитуду волны постоянной, а меняющейся — только фазу.

Для распространяющихся в одном направлении волн разность

плексные амплитуды мод, зависящие от координат пылинки (см.

гл. XIV).

Таким образом, неоднородность в резонаторе вносит связь ме­ жду распространяющимися в одном направлении разными про­ дольными и разными поперечными модами одной поляризации.

Наличие связи отражает тот факт, что поле в генераторе не является чистой модой резонатора, а есть суперпозиция мод, отличающихся как продольными, так и поперечными индексами.

В случае а = Ь выражение (11.17а) определяет изменение добротности вследствие отражения на неоднородности (см. (11.14), (11.16а))

Как видно отсюда, потери определяются потоком энергии, па­ дающим на пылинку. Моды с разными поперечными распределе­ ниями Еа(гп) имеют разную добротность (в зависимости от того, на узел или на пучность попала пылинка).

Рассмотрим волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. В этом случае разность фаз встречных волн

сильно меняется на поверхности пылинки (ka— kb)z = ~ z .

Если угол нормали к первой грани пылинки с осью Oz есть ai, то на пылинке продольные (г) и поперечные (т]) координаты