ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
150 |
УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИ И |
[ГЛ. XI |
связаны соотношением z —zni = T]tgai, где za\ — средняя про дольная координата пылинки. Интегрируя (11.17) и полагая комплексные амплитуды Еа(г), Еь(г) постоянными на пылинке в силу малости ее размеров, получим
О) |
. 2с |
sin kD tg ai |
(E'a(rn)Eb(r n)), (11.176) |
таъ= |
i ■ |
kD tg ai |
|
|
V в |
|
|
где Лай определяется |
выражением (11.166), 5 — площадь сече |
||
ния пучка, |
перекрываемого пылинкой, D — размер перекрывае |
||
мого пучка в направлении оси ц, лежащей в плоскости падения. Таким образом, взаимодействие встречных волн при рассеянии на пылинке носит дифракционный характер. Отношение связи встречных волн к связи волн, распространяющихся в одном на
правлении для |
волн |
одной поляризации еа II е*, равно |
по мо- |
|||
дулю величине |
I sin kD tg ai■'] • |
|
|
|||
Из соображений симметрии следует, |
что интеграл по второй |
|||||
грани пылинки |
( 2) |
имеет тот же вид, |
что и по первой грани |
|||
Па |
||||||
(см. |
(11.16) —(11.17)), |
с заменой везде угла ai нормали |
к пер |
|||
вой |
грани пылинки |
с |
Oz углом я — аг |
нормали второй |
грани |
|
с отрицательным направлением Oz. |
в противоположных на |
|||||
Отметим, что связь |
волн, бегущих |
|||||
правлениях, возникающая при отражении на пылинке, несим метрична, т. е т аЬФ — т'Ьа. В то же время неидеальность зер
кала при вещественном коэффициенте отражения приводит к симметричной связи т^- — т'ьа (см- § 3, 4 гл. XI) вследствие
того, что угол падения на зеркало одинаков для встречных волн. Пылинка же ориентирована к встречным волнам разными от
ражающими |
гранями. Эти |
грани составляют |
разные |
углы |
а \ ф п — ос2 с осью Oz. |
т 12 и — т'2, при |
разных |
углах |
|
Различие |
коэффициентов |
|||
падения на первую и вторую грани пылинки определяется двумя факторами: во-первых, различием дифракционной связи отра женной волны со встречной волной (см. (11.176)), во-вторых, различием амплитуд отраженных волн, так как коэффициенты отражения г^ и гп зависят от углов. Второй фактор мы здесь не рассматриваем, так как обычно он играет гораздо меньшую роль, чем дифракционный фактор.
Рассмотрим пример. Пусть одна из граней пылинки (первая) расположена перпендикулярно оси Oz (a1= 0), а вторая грань — под углом аг> 7 ,/(2 лЕ>) (X— длина волны). Тогда первая волна испытывает на пылинке лобовое отражение и отраженная волна идет в направлении, противоположном оси Oz. Конечно, в этом случае отраженная волна будет сильно взаимодейство-
§ 3] |
ЗАВИСИМ ОСТЬ СВЯЗИ ВОЛН ОТ ПАРАМЕТРОВ |
[51 |
вать с волной, идущей в отрицательном направлении оси. Вто рая волна отражается на второй грани пылинки, расположен ной под углом к оси Oz, и отраженная волна уходит из резона тора. Влияние ее на встречную волну носит дифракционный ха рактер ( | fri\21 гораздо меньше, чем |/n2i|, см. (11.176)):
_ «»L « |
___*___sin /i5 £ i£ M |
е«и |
||
т 21 |
2яD tg а 2 |
\ |
А |
I |
|
I = Zn2 |
Z„i. |
|
|
Коэффициенты т12 и — т\, |
отличаются |
как по модулю, |
||
так и по фазе. Различие фаз вызвано тем, что отражения первой и второй волн происходят в разных местах zni Ф zn2, вследствие этого разность фаз между т 12 и — т'2Х равна 2kl (/— расстоя
ние между отражающими гранями пылинки).
В добротности встречных волн отражение на пылинке (так же как и отражение на зеркале) несимметрии не вносит (по тери при отражении вообще не зависят от угла падения на пылинку, а только зависят от сечения пучка и от плотности энер гии поля волны).
§ |
3. Зависимость связи волн |
от |
направлений поляризации |
и |
от коэффициентов отражения |
на |
зеркале |
Вычислим значение подынтегрального выражения интеграла Па (11.12). Поскольку собственные функции Еа удовлетворяют
на зеркале условию |
идеального отражения [Еап] = 0, то |
Аа = |
2 W [пЕ{1)]) = 2 (Е11) [в^п]). |
Значение тангенциальных компонент магнитного поля идеаль
ного резонатора |
на зеркале \B{ati\ равно |
удвоенному значению |
|
тангенциальных |
компонент падающей |
волны [Вап], т. е. |
|
[в%]= 2[Вап]. |
Поле |
на зеркале удовлетворяет условию не |
|
полного отражения (11.2). |
|
||
Подставив В{а и (11.2) в Аа, получим |
|
||
Аа — 4 cos а [ВадЯяО — rx) — B,axEy(1 — гу)], |
|||
где а — угол падения волны на зеркало. Подставив разложение поля падающей волны по собственным функциям резонатора
(11.9), (11.10), получим
А а — 2 cos a - f a 2 АаьЕ'а (г ) Еь (г) 8 Ь (/) ----- г ------ , (11.18)
152 |
УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ |
[ГЛ. XI |
|||
где Еа(г) и Еь{г) характеризуют |
пространственное распределе |
||||
ние а-й и Ь-й моды; |
— комплексная |
амплитуда |
Ь-й моды. |
||
|
На зеркале |
|
|
|
|
|
- V = |
(:1- ' . ) |
+ К л , |
О1- '<)■ |
<11 • W) |
|
На продолжении зеркала отраженной волны нет (гх= г у= 0) |
||||
и выражение для |
имеет вид |
|
|
|
|
|
Лаг,= (еЛ ) |
= |
при гх = гу = 0). |
(11.20) |
|
Суммирование в (11.18) ведется по всем волнам Ь, распростра няющимся в обоих направлениях. Выражения для Ааъ, А'аЬ (11.19), (11.20) справедливы для любых поляризаций волн. По ляризация падающей на зеркало волны b определяется отно шением еьу/еьх■ Если фаза отношения еьу/еьх равна 0, я, то по ляризация линейная; если отличается от 0, я, то эллиптическая.
Рассмотрим |
значения Ааъ, А'аь |
|
(11.19), |
(11.20) |
для |
неко |
|||||
торых частных случаев поляризации. |
|
а, |
b параллельны, |
||||||||
а) |
Пусть |
электрические |
векторы волн |
||||||||
т. е. |
(е’е6) = 1 . |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
\ ь |
- |
(Гу — г*) + |
1 — гу> |
= |
1 ■ |
(11 -21) |
|||
Отсюда, если волны поляризованы |
вдоль оси х, получим |
|
|||||||||
|
|
|
|
АаЬ= \ - г х. |
|
|
(11.21а) |
||||
Если волны поляризованы вдоль оси у, то |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
АаЬ= \ - Г у . |
|
|
(11.216) |
||||
Если волны поляризованы по кругу, |
то |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
А а ь - ^ - Г х ~ Г у ) . |
|
|
(1 1 .2 1 b) |
||||
б) Волны о, b поляризованы во взаимно перпендикулярных |
|||||||||||
плоскостях |
(е*ей) = |
0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
\ ь |
= <хеЬх(гу- г х), |
А'аь = |
0. |
|
|
(11.22) |
||
Выражения |
(11.22) |
справедливы как для линейных, |
так |
и для |
|||||||
круговых или |
эллиптических |
поляризаций. |
Из |
(11.22) |
видно, |
||||||
что волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных на правлениях, не связаны (Ааь = 0) лишь в том случае, если либо 1) направления их поляризаций совпадают с направлениями главных осей лазера, т. е. лежат в плоскости падения и пер пендикулярно плоскости падения на зеркало (при этом еах = 0 или еЬзс = 0), либо 2) коэффициенты отражения зеркала в пло скости падения и перпендикулярно плоскости падения равны
§4] ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ 153
Тот факт, что волны, поляризованные во взаимно перпен дикулярных направлениях, в общем случае являются связан ными, объясняется тем, что при отражении волны, электриче ский вектор которой не лежит в плоскости падения и не перпендикулярен к ней, происходит поворот плоскости поля
ризации волны (если гх ф г у). |
Если направление поляризации |
|
падающей волны |
составляет |
угол 0 с плоскостью падения |
(tg 0 = ех1еу), то |
направление |
поляризации отраженной волны |
составляет угол 0 + 60 (tg(0 + |
60) = exrx/evrv). Таким образом, |
|
при отражении направление поляризации волны поворачивается на угол
6 0 ~ l) = exey (j!- — l) (при | 6 0 | < | 0 | ) .
Поэтому, если падающая 6-волна ортогональна a-волне, то от раженная от зеркала 6-волна будет содержать примесь поля ризации a-волны, пропорциональную углу поворота 60.
§ 4. Дифракционные коэффициенты связи волн различных поперечных мод
Найдем величину интеграла (11.12), обусловленную неидеальностью зеркал. Интегрирование в Па происходит по полной граничной поверхности идеального резонатора, в качестве кото
рой нужно взять поверхность S = 2 (от + сгг)> охватывающую
поверхность зеркал реального резонатора Oj и продолжение по
верхности зеркал |
|
(рис. 11.1): |
|
|
|||
|
|
|
|
<Qa |
|
|
(11.23) |
|
|
|
|
ka |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2с |
f _ |
\ e J |
(k» ~ ka) z dS |
|
||
гп0ь |
|
Ea£ be |
' 6 |
+ |
|
||
Кё |
*ab J |
COSO---------------r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
E - E j ^ a ) * |
dS |
|
|
|
|
|
E E^e ' b |
||
|
|
|
|
+ А'аь j cos a - 2 -£— z |
(11.24) |
||
а Ааь, |
А'аь определяются формулами (11.19) — (11.22). |
||||||
Для простоты мы рассматриваем связь волн на одном зер кале. Легко провести обобщение формул для нескольких не идеальных зеркал.
При вычислении интеграла (11.24) надо учесть, что фаза поля меняется вдоль зеркал вследствие того, что координата
154 |
УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ |
ГГЛ. Xt |
z на зеркале переменна (рис. 11.2)
|
|
|
|
|
2 = 23 + |
у tg а, |
|
|
|
|
|
|
где z3— координата |
пересечения |
зеркала |
с оптической |
осью. |
||||||||
2 |
4 , |
|
|
|
\ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№// |
|
- 1- - - |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
\ * 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 // |
|
V |
|
|
k |
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zoy |
\ 4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Z / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
__'\4f |
* |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.1. Кольцевой лазере активной сре- |
Рис. 11.2. Наклонное падение волны на |
|||||||||||
дой длины I < L, |
где £ —периметр резо* |
зеркало. Ось |
г направлена |
вдоль |
луча, |
|||||||
натора; г0—центр трубки с активной сре* |
Ось у лежит в плоскости падения перпен- |
|||||||||||
дой; 2а3—угол между оптическими осями |
дикулярно лучу; а —угол луча с нормалью |
|||||||||||
|
|
у третьего зеркала. |
|
|
|
к зеркалу п. |
|
|
||||
Собственные функции Еа(г) |
имеют |
следующий |
вид |
(см. |
||||||||
(14. 1) — ( 1 4 . 6 ) ) : |
■/ч>.тапаЧа (г) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Еа(г) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
V p xP y |
и и \ Р х |
£Р)у■ |
|
|
||||
Таким образом, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
fhab = |
/2v0 exp {г [(kb — ka) z3— <p6 (z3) + cpa(z3)]} X |
|
(11.28' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X ( A a b M a b + A ' abM'ab), |
|||||
где v0 = |
c /( |/e L ) — разность частот соседних продольных |
мод |
||||||||||
кольцевого резонатора, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
d cos а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М°Ь= |
j |
J |
^тапа(-^, |
~ ) ХУ>пьпь (-~, |
-*~)Х |
|
|
|
||||
|
—Ъ |
—d cos а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
X е1(кЬ~ка) у tK а |
dx dy , |
(11.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РхРу |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" М К л Ь Я -£)чЧ».Яг £)х |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
\ ' e ‘ {kb~ ka ) y l e a |
d x dy |
|
|
||
^ |
РхРу |