ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 0
194 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНЫХ МОД [ГЛ. XII
где функции |
Z] и Z2 определены формулами (12.8а) |
и зависят |
|||
от переменных Ь = уаЬ/Г, |
|
|
|
|
|
h = i V |
T T l - f o , |
1з = * У ( 1 — W |
(1 — if + П |
— fo> |
|
h = i V T + i + f o , |
V u - m |
v - t f + n |
+ |
fo, |
|
|
B = 2 - i f - I ' ( \ „ b / y a- l ) . |
|
(12.23) |
||
Выражения (12.22) справедливы при произвольном |
отноше |
||||
нии Уоь/Г. |
предельного |
неоднородного уширения |
линии при |
||
В случае |
|||||
уаЬ/Т->0 с помощью выражений (12.13) получим более простые формулы
< л > =
(/?фа) :
2/ У~П(1 —if)yab
г (|3 + h) X
x [ i + /
2Уай(® —®о) _ Г2 —
2' / " Уab w Г(?4 + Ы А
г_ Bf
k+J±X] £. + h )\ ’
(12.24)
|з_+|4_\1
£i + £2/ J "
Выражения (12.24) справедливы в следующей области значений параметров:
У а ь 1 ^ 1 + /< Г , [со — со01<С Г и А < Г, |
(12.25) |
|||
причем величины (Ря), (/>) ~ уаЬ/Г — первого порядка малости, |
||||
в то время как (Еаф), |
(Гфа) ~ |
Yaft |
Ш)- — второго |
порядка |
малости. |
(12.21), |
связывающих среднюю поляри |
||
С помощью формул |
||||
зацию среды и поле, после несложных преобразований уравне ния поля системы (12.18) запишем в виде однородных уравне
ний, связывающих |
амплитудные и фазовые флуктуации поля |
|
д©_ \ -х |
^ |
~ |
(^ Ч-------] б £ а + (© — |
й 9) бЁф = Хо ( ^ а ) ЬЁй + |
Хо ( ^ а ф ) &Ёф, |
(12.26)
I ■— (со — Q9)6 £ a+ ^ 4 --- 2~)&Еф =
= Хо ( ^ ф а ) б ^ а + Хо W |
6 ^ Ф - |
§ 3] |
ВЫВОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ |
195 |
Приравнивая определитель системы (12.26) нулю, получим характеристическое уравнение для инкремента нарастания X
(а + ^ - хо(Л )) (а + - Хо W ) +
+ (® — Q, — Хо^аф» (со - Q, + Хо </>» = 0. (12.27)
Однородную систему (12.26) можно представить в иной форме. С помощью (12.15) перепишем ее в виде уравнений, свя
зывающих амплитуды 6Е] и 6Ё2 боковых предпороговых мод на частотах со — Д и <в + Д:
Г |
Ашп |
(12.28) |
А Н---- |
в— i (о — Q„) 6£, = х 6£, + х12 Щ. |
Аналогичное уравнение можно получить для ЬЕ%. В уравнении (12.28) введены обозначения
X = |
|
№ ) + |
</>> + |
/« /> ) - |
(Fаф»], |
х.2 = |
f |
- № ) - |
</>> + |
|
(12 29) |
/ « / > , > + |
(Л ф ))]. |
Коэффициент Xi2 определяет комбинационное взаимодействие боковых мод 6£i и б£2- Пренебрегая этим взаимодействием, из (12.28) получим следующее характеристическое уравнение:
Дсоп А + - / - / ( с о - 0 <7) -
- f [</=■»> + (ЕФ) + i « /> > - </?аф»] = 0. (12.30)
Пренебрежение комбинационным взаимодействием законно для волны, бегущей «назад» навстречу генерируемой волне (см. § 1). Поэтому уравнение (12.30) справедливо в случае возникновения
(или затухания) бегущей «назад» волны |
на |
частоте со — Д — |
||
— Im X, в то время как уравнение (12.27) |
описывает возникно |
|||
вение (или затухание) |
связанной пары волн, бегущих «вперед» |
|||
в том же направлении, |
что и генерируемая волна. Для таких |
|||
волн |
пренебрежение |
комбинационным |
взаимодействием в |
|
(12.28) |
возможно лишь при условии |X|26Z?J| ^ |
|хб£,|. |
||
Отметим также следующее обстоятельство. Выражения для усредненных поляризуемостей (12.22) для волн, бегущих «впе ред», справедливы как в случае твердотельной, так и газовой среды. Однако для волны, бегущей «назад», выражения (12.22) справедливы при неоднородном уширении линий только для твердотельной среды. Для газа они неверны, так как при вы воде (12.22) не учитывалось, что доплеровский сдвиг частоты перехода атома (12.3) х = kv имеет разные знаки для встречных
7»
196 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНЫХ МОД [ГЛ. XII
волн. Это приводит к различию коэффициентов нелинейного взаимодействия встречных и однонаправленных волн для
ансамбля атомов, движущихся |
с |
тепловыми |
скоростями (см. |
|
§ 8 гл. XI). |
характеристических |
уравнений |
||
Продолжим обсуждение |
||||
(12.27) и (12.30). Оба уравнения |
являются |
либо |
алгебраиче |
|
скими уравнениями высокого порядка, либо трансцендентными уравнениями относительно комплексного инкремента нараста ния X (от X зависит параметр / = (А + 1Х)1уаь, входящий в ус редненные поляризуемости {Fa), (/>), и другие). Это отражает тот факт, что вопрос об устойчивости стационарного режима ге нерации решается на основе полной системы уравнений (12.18).
Из уравнений |
этой системы видно, |
что при выполнении нера |
||||
венств |
|
IR e^ K V a . Уаь, |
I Im А | <С А |
(12.31) |
||
|
|
|||||
можно пренебречь X в этих уравнениях |
и найти 6 Р а и 8Рф, |
не |
||||
зависящие от |
X. В характеристических |
уравнениях |
(12.27) |
и |
||
(12.30) |
в этом случае нужно считать, что параметр / |
не зависит |
||||
от X, т. |
е. / = |
А/уаь- Физический смысл приближения |
(12.31) |
со |
||
стоит в том, что амплитуда поля мало меняется за время жизни атома. Тот же результат может быть получен, если интегриро вать уравнения (12.6) для поляризации и заселенности, пола гая, что поле имеет вид (12.16) при X = 0. Это означает, что амплитуда поля считается постоянной при интегрировании, при этом поляризация и заселенность «следят» за полем. Таким об разом, приближение (12.31) эквивалентно пренебрежению за паздывания поляризации и заселенности относительно поля. Вопрос о том, при каких условиях неравенства (12.31) выпол няются, будет рассмотрен в дальнейшем.
Интегрирование уравнений для поляризации и заселенности в приближении (12.31) дает возможность рассчитать коэффи циенты усиления слабых полей в присутствии сильной волны.
Такие коэффициенты |
усиления |
могут быть использованы |
для |
||||
решения задач распространения |
волн в активной ( N 0 > 0) |
или |
|||||
пассивной |
( N 0 < |
0) |
среде |
без |
резонатора. Так, коэффициент |
||
R e/ (см. |
(12.29) |
при / = |
Д/'уа&) |
является |
коэффициентом |
уси |
|
ления слабой волны |
на частоте |
to — А в |
присутствии сильной |
||||
волны на частоте со. Область применимости выражения (12.29) для х совпадает с установленной ранее областью применимости формул (12.22). В линейном по интенсивности приближении вы ражение (12.29) для х согласуется с формулой (11.69а).
Строго говоря, понятие коэффициента усиления можно ввести лишь для собственного типа колебаний, когда не про исходит перекачки энергии в колебания других типов. Посколь ку система уравнений (12.26) (или (12.28)) линейна, можно
§ 4] ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ. ОДНОРОДНОЕ УШИРЕНИЕ 197
всегда найти собственные типы колебаний. Так, при пренебре жении комбинационным взаимодействием в уравнении (12.28) собственным типом колебаний с коэффициентом усиления Re х является сама бегущая волна. Учет комбинационного взаимо действия приводит к тому, что собственными типами колебаний становятся пары жестко связанных по фазе бегущих волн. Соответствующие коэффициенты усиления могут быть найдены из уравнений (12.26). Например, если частота сильной волны м совпадает с центром линии соо, то {Fa$) — (/> a) = 0 и уравне ния (12.26) распадаются. Собственными типами колебаний в этом случае являются поля амплитудной и фазовой модуляции сильной волны с коэффициентами усиления XoRe (^a) и
%оRe {Ft ).
§ 4. Области устойчивости стационарного режима генерации бегущей волны в случае однородного уширения линии усиления
Область устойчивости относительно волн, бегущих «вперед». Рассмотрим случай стационарной генерации на центре линии усиления со = coo = В этом случае {Faф) == (/\{>а) = 0 и уравнение (12.27) распадается на два несвязанных уравнения для амплитудной и фазовой модуляций генерируемой волны:
К = Х Л Р .)-^ ?-, Ц - X o W - ^ . |
02.32) |
В приближении (12.31) правые части уравнений (12.32) не за висят от К. При однородном уширении линии (Fа) и (Fф) опре деляются выражениями (12.20) при х — 0. Используя выраже ние для интенсивности генерации (12.12), можно комплексные инкременты нарастания представить в виде
где |
^ |
= |
|
|
|
( 1 2 - 3 3 > |
|
|
1- |
«7/2 |
|
|
|
||
|
|
|
f = A/Yab> * = |
yjyab- |
|||
|
|
(1 —if) (1 - if/*) . |
|||||
Из (12.33) находим |
частоты |
предпороговых |
волн соо±Па и |
||||
(Оо ± |
Оф: |
|
|
|
|
|
|
Q. |
= |
Л — 1шЯа = |
Д — Д |
Д ю р |
иг —х (к + 2) / + f2 |
||
2yab (н + х / - / 2)2 + (х+1)2^ ’ (12.34) |
|||||||
|
|
|
|
||||
Q, |
= |
Д — 1шЯф = |
Д — Д |
Д ш р |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
2 У аь ! + / * •
198 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНЫХ МОД [ГЛ. XII
Из (12.34) следует, что компоненты при амплитудной и фазо вой модуляциях расщеплены на частотный интервал Я' =
=Я —а Яф (рис. 12.1).
Д«У |
2 + х (3 + /) + |
“A 2yab0+P) х(1 + / - Р / х ) 2 + Р(1 +х)2/х '
Расщепление частот объясняется следующим образом. Компо ненты фазовой модуляции затянуты к центру линии на вели чину Im Яф, не зависящую от интенсивности генерации /, в то
Сif q ф! al
J V |
|
o0 |
М У |
|
||
|
|
|
|
|
||
■<— Ц» —^ |
|
|
|
|
||
-- |
1 >■ |
|
|
|
|
|
Рис. 12.1. Положение компонент амплитудной и фазовой |
|
|||||
модуляций в пр$дпороговом режиме. |
Ширины |
линий |
|
|||
равны Re Аа для компонент а 1, а2 и Re |
для компонент |
|
||||
|
ф1, ф2 (см. (12.33)). |
Ф |
|
|
||
время как положение |
компонент |
амплитудной |
модуляции |
ме- |
||
няется в зависимости от интенсивности. При |
S2J_ х2 |
|||||
I < 10= — — |
|
|||||
компоненты затягиваются, |
а при |
/ > |
/о — отталкиваются |
от |
||
центра линии. При / = |
/0 |
1тЯа = |
0 и частота амплитудной мо |
|||
дуляции совпадает с резонаторной частотой предпороговой мо ды. В соответствии с этим величина расщепления Я' с ростом I сначала плавно растет от нуля, а затем, достигнув максимума
в точке /тах = /0 + 01 + D)'12, где
п _ Р + Р О + и2 + 2/х) + х (2+ Зх)
к(х + 2)
уменьшается до величины 1тЯф (1тЯа -»0 при / —►оо). Вернемся к вопросу об устойчивости. Из выражений (12.33)
следует, что Re Яф < 0 при / ф 0, т. е. относительно фазовой модуляции режим генерации (12.12) устойчив. Равенство нулю Яф при / = 0 соответствует тому факту, что начальная фаза стационарного решения (12.5), (12.12) может быть выбрана произвольно.
Условие устойчивости относительно амплитудной модуляции ReXa sS;0, где Яа определен формулой (12.33), приводит к не равенству
( з /- - - -Щ а — 2 / ( 1 + |
/) — А 2 < 0 , |
А = — |
. |
||
\ |
Yab) |
' |
^ |
УаУаЬ |
’ |