Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

204 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНЫХ МОД [ГЛ. XII

Условия внешней устойчивости. Для того чтобы решить вопрос о внешней устойчивости стационарного режима генера­ ции (12.12), нужно найти корни Яь Яг, Я3 алгебраического урав­ нения третьей степени (12.45) с комплексными коэффициентами для Д =й= 0. Область значений параметров Д и / (см. (12.7) и (12.17)), при которых R eX j< 0 (i = 1, 2, 3), является областью устойчивости решения (12.12).

Так как для алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами не существует общего рецепта определения знака вещественной части корней уравнения, то поступим сле­ дующим образом. В характеристическом уравнении (12.45) по­ ложим Яа = 1 1тЯа = —iQ и разделим в нем вещественные и мнимые части. Получим два уравнения с вещественными коэф­ фициентами, справедливых на границе устойчивости:

Если из соотношений (12.48) исключить переменную Q, то по­ лучим одно уравнение, связывающее между собой интенсив­ ность I и разность резонаторных частот мод Д. Это уравнение в переменных / и Д = к2/(уаУаъ) имеет вид

быть разрывной). На этой линии выполняется условие Re Я{ = = 0, где Яг — один из трех корней характеристического урав­ нения (12.45). Переменная Л в уравнении (12.49) является ве­ щественной и положительной величиной, если выполняется ус­

о выполнении этих неравенств необходимы дополнительные све­

линия 3) является границей области устойчивости. На верхней ветви этой кривой (пунктирная линия 3) не выполняются нера­ венства Re К2, з < 0. Это можно заключить из исследования устойчивости при А = 0 (см. (12.46)).

Эволюция границы устойчивости с ростом отношения Асор/(2уаь) хорошо прослеживается на рис. 12.2. Область неустой­

206 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНЫХ МОД [ГЛ. XII

В области неустойчивости возникает многомодовый режим генерации — кроме генерируемой волны возбуждается одна или несколько пар волн, бегущих в ту сторону, что и генерируемая волна, на боковых модах, отстоящих от центральной на вели­ чину пАо (п — 1, 2, 3, ...). Так как До = 2яc/L, то число пар мод и какие именно моды будут возбуждаться при данном уровне накачки — зависит от длины кольцевого резонатора.

Сравним два вывода выражения для границы устойчивости (12.35). Здесь мы получили это выражение из общего уравнения для границы области устойчивости, пригодного для произволь­ ных параметров уа, уаь, Д ю р / 2 в предположении Д с й р / ( 2 у 0 г,) = 0. Это подтверждает, что определение области устойчивости моно­ хроматической генерации на центре линии со = м0, проведенное

в§ 4 в приближении (12.31), законно при единственном усло­ вии (12.38).

§6. Области устойчивости

вслучае неоднородного уширения линии

Как и в § 4, рассмотрим устойчивость стационарной генера­ ции на центре линии относительно волн, бегущих «вперед». Ком­ плексные инкременты нарастания для амплитудной и фазовой модуляций генерируемой волны определяются уравнениями (12.32). В случае предельного неоднородного уширения линии коэффициенты {Fa) и (/%},) определяются выражениями (12.24). В приближении (12.31) эти величины не зависят от инкремента нарастания X, т. е. в (12.24) нужно подставить / = A/уаь-

Рассмотрим сначала случай уа = уаъ- Запишем выражение для Re Я и 1шДдля амплитудной и фазовой модуляций. Из фор­ мул (12.32), (12.24) с учетом (12.14) следует

(12.51)

§ 6] ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ. НЕОДНОРОДНОЕ УШ ИРЕНИЕ 207

Выражения для Re Аа, Re Аф написаны с учетом поправки на ко­ нечность неоднородной ширины линии Г.

Рис. 12.3. Области неустойчивости (заштрихованы^ стационарного режима генерации бегущей волны

Из формул (12.51) найдем разность частот между компонен­ тами амплитудной и фазовой модуляций (см. рис. 12.1)

£У = £2а — £2ф = Im Аф — Im Аа =