ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 191
Скачиваний: 0
218
1P
ОДНОНАПРАВЛЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ [ГЛ. XIII
t |
_л. |
fi |
|
afd + ’к) |
&351 |
u > |
5115 |
5113 |
и О + f ) (l + /2/х2) ’ |
|
|
2a |
P'351 |
1+ P/*2 * |
|
|
ДГnop |
i “ |
|
No |
|
$kl = P |
7 « ) |
|
____a (f —x)
P l I 3 — P l l 5 :
*0 + П 0 + f7*2) ’
®ab\2 __ (fflnop ' • ®ab)2 — (O p — И д б )2 (13.16)
7 |
|
{ku)2 |
|
a |
m ; |
°>k + ®J ~ 2®aft |
|
> |
|||
|
CO3 —со1 |
||
I + (mf/2)2 ' |
|
Ф'Ф3511 = [(®з — ®i) — (®i — ш5)] * + (Фз — Ф1) — (Ф1 — ф5).
Здесь ф — разность фаз биений с частотой соз — ом = со^— ю5. Поскольку частоты волн 1 и 5 симметричны относительно центра
линии, |
то амплитуды «боковых» волн равны £3 = |
Е5, |
равны |
также |
и частоты биений юз — coi и оц — а>5 — режим |
генерации |
|
самосинхронизован. |
|
|
|
Стационарное решение амплитудных уравнений (13.15) опи |
|||
сывается формулами |
|
|
|
а£? = |
Til (а + %(2)) —Т)з(2% (1) + Ц351 cos <р) |
’ |
|
а (а + %(2)) —(2/ (1) + Ц3В1cos<р) (%(1) + (х116 cosqp) |
|
||
aEl = |
аЕ\ = |
|
(13.17) |
___________ Лз« —Hi (x (0 + P115 cosф)_________ |
|
|
|
|
a (a + X(2)) —(2/(1) + p35i cos qp) (x(l) + Hubcosqp)’ |
|
|
|
sia qp = 0. |
|
|
Фазовое уравнение имеет два стационарных решения: |
ср = О |
||
и ф = я. |
|
|
|
Рассмотрим устойчивость этих решений относительно малых флуктуаций амплитуд генерируемых волн и фазы биений ф. Вве
дем новые переменные х = |
аЕ\, у — а{Ё1— El), z = а (е \ + |
£ 5). |
||
Линеаризуя систему уравнений (13.15) для |
флуктуаций |
вблизи |
||
стационарного состояния |
(13.17), получим |
уравнения |
для |
бх, |
6у, бz, 6ф: |
|
|
|
|
I d 6л:
2х dt
1 d 6z
2z dt
соd [— a 6x — (x (1) + cos ф| 62],
(13.18)
[— (%(1) + Pi 15 cos ф) бх — j (a + %(2)) 62] ,
Т у ч г = |
(% ~ |
*(*)* ~ |
+ |
XZ%115cos фбф1’ |
|
|
|
|
(13.19) |
^ЕГ — ~^§~\у (рз + |
^53 + 2Я15 |
|
Ill5 ~ СОЭф) + |
|
|
|
|
+ |
(2Pll5* + P351Z) СОЗфвф]. |
§ 2] ТРЕХМОДОВЫП РЕЖИМ ГЕНЕРАЦИИ 219
Из этих уравнений видно, что флуктуации энергии центральной моды 6х и суммарной энергии боковых мод 8z не зависят от флуктуаций фазы бф и разности энергий боковых мод у. Система уравнений для флуктуаций распадается на две несвязанные си стемы (13.18) и (13.19).
Устойчивость системы (13.18) означает внутреннюю устойчи вость относительно гашения генерируемых волн (центральной х или боковых г); условие внутренней устойчивости имеет вид:
Лф = <х(а + х(2)) — (2х(1) + P-35I cosф ) (х (О + М ш вС О Э ф ) > 0 (13.20)
(ф = 0, я).
При выполнении условия (13.20) стационарное трехмодовое ре шение (13.17) существует при определенных накачках, отвечаю
щих условию положительности решений £ 2, Е\ (13.17):
|
Ф = |
0, |
F{0" < ^ < Ff>, |
|||
где |
Ф= |
я, |
F{n |
< |
-jjy- < |
, |
|
|
|
|
|
|
|
p(l> _ |
X(l) + Hii5COS<p |
|
|
о + X ( 2) |
||
t o , я = |
-------- |
|
Г 0 , Я ------ |
|||
|
|
|
|
|
2 / |
( 1) + Ц 3 5 1 COS ф |
|
|
|
(ф = |
0, |
я). |
|
(13.21)
(13.22)
Нетрудно проверить, что при выполнении условий (13.21) усло
вие (13.20) |
выполняется автоматически (поскольку при этом |
||
Fo!n < Fo2>я, |
откуда следует Д0, „ > 0). |
|
|
Так как линейное усиление ц3 боковых мод меньше линейного |
|||
усиления r|i |
центральной моды, то из условия |
(13.21) |
следует |
необходимое условие для коэффициентов |
|
|
|
|
= _х.(1) + йпбс<мФ^ , (ф = 0) |
л) |
(13.23) |
Из рассмотрения системы уравнений для флуктуаций фазы и разности энергий боковых мод (13.19) получим условия фазовой устойчивости
2 (а — X (2) — М-351 cos ф) — 4ащП5 cos ф> 0, |
(13.24) |
где |
|
cos ф (Az2-+- 2Bxz + Сх2) ^ |
0, |
(13.25) |
|
|
|
|
|
Л = |
^ 1 135! (— а + |
Х (2)), |
|
|
В = |
~2[М-115 ( а "Ь X (2) + Цз51cos ф) — gU5 (р3 |
+ Я53 + 2А,15)], |
(13.26) |
|
С = |
2 cos ф(Ццз + |
|]15). |
|
|
220 ОДНОНАПРАВЛЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ [ГЛ. XIII
Уравнения (13.24) и (13.25) независимы. Первое является ли
нейным, а второе — квадратным уравнением для отношения |
ин |
|||||
тенсивностей z/x. |
|
|
(13.20) —(13.26). Все |
чис |
||
Исследуем условия устойчивости |
||||||
ленные оценки |
приведем |
для двух |
соотношений |
параметров: |
||
Уа — Уь = УаЬ и |
уа = уь = |
0,2уаЬ. Первый |
случай |
Ya = Уаь |
СО- |
|
ответствует очень низким давлениям р ~ 0. |
С ростом давления |
|||||
уаь растет быстрее, чем уа, уь, поскольку имеются дефазирующие столкновения, увеличивающие уаь, но не влияющие на уа, уь-
Для Не—Ne-лазера и X = |
0,63 мкм случай уа — 0,2уаъ осуществ |
|
ляется при давлении р ~ |
1 тор [7]. |
|
Рассмотрим устойчивость режима ф = 0. Необходимое усло |
||
вие устойчивости по х, z |
(13.20) выполняется, если частотный |
|
интервал резонатора достаточно велик |
||
|
Ю| —(03 >С, |
|
где |
УУаУаЬ |
|
|
|
|
J |
!.37, |
Уа = УаЬ, |
I |
1,48, |
(13.27) |
Уа= 0>2УаЬ- |
||
Условия фазовой устойчивости (13.25), (13.26) выполняются, если накачка не слишком велика, так что отношение энергии бо ковых мод к энергии центральной моды z/x меньше величины R0,
зависящей от расстройки: |
(13.28) |
z / x ^ R 0. |
|
Ro является решением квадратного уравнения (13.25) |
(условие |
(13.24) в области (13.27) выполняется при любых z/x, |
поскольку |
в нем коэффициенты и при z, и при х положительны). Величина
Ro, а также |
являющиеся решениями уравнений (13.24) — |
(13.25) для ф = |
п, приведены на рис. 13.3. |
Выразив отношение амплитуд в стационарном режиме через накачку (13.17) и подставив в условие (13.28), получим, что
режим ф = 0 устойчив по фазе, если накачка |
не слишком ве |
||
лика (рис. 13.4) |
Лз/Т11<А>, |
|
(13.29) |
где |
|
||
х(1) + Ши |
|
|
|
|
|
(13.30) |
|
Da = |
! + #о^ 2%(1) + М-зв! |
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
Отметим, что F^^-Do^F®, так что окончательно из условий (13.21) и (13.29) получим область накачек, в которой устойчив режим ф = 0:
%
F o ^ - z r ^ D , (13.31)
Л*
§ 2] |
ТРЕХМОДОВЫЙ РЕЖИМ ГЕНЕРАЦИИ |
221 |
Кривые F, D, характеризующие границы устойчивости режи мов, приведены на рис. 13.4. Строчными латинскими буквами обозначены абсциссы точек пересечения этих кривых. Восполь-
Рис. 13.3. Отношение интенсивности боковых волн к центральной на границе устойчивого трехмодового режима, До—верхняя границы режима с фазой 0.
— границы режима с фазой я. а) va=va6=v; 6) Ye =0.2vey
зовавшись явным видом t]3/tii в газовом лазере с широким доп леровским контуром (см. (13.16))
Т)3 _ j |
/ Сй3 — (01 |
\2 |
(13.32) |
|
’ll |
\ ® п о р - “ а Ь / |
' |
||
|
получим область накачек (<йПОр — (Оаь). в которой устойчив ре жим <р = 0:
|
wnop —®ab |
(13.33) |
|
V T - W |
©ч —©. |
||
V \ ~ D 0 |
|||
Рассмотрим устойчивость режима (р = |
л. |
||
Необходимое условие существования |
и устойчивости по х, г |
||
(13.23) выполняется, если частотный интервал резонатора до
статочно велик |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
3~ <°аг’1 > Ь Я |
(13.34) |
||
(y = |
V YaYab). |
см- (11-60); |
|
ьл < с , |
см. рис. 13.4; |
b „ = 1 при |
Y = |
Y «ь> К = |
1 > 2ПРИ Y o |
= |
0 |
. Условие2 Y e i - (13.20) |
выполняется |