ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 192
Скачиваний: 0
222 |
ОДНОНАПРАВЛЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ |
[ГЛ. XIII |
Рис. 13.4. Границы амплитудной и фазовой устойчивости трехмодовых и одномодовых режимов в зависимости от от
ношения накачек боковых мод к центральной л./Лн
e>Ve= Yfli= V; б) Ye=0,2Yeb.
§ 2] |
ТРЕХМОДОВЫЙ РЕЖИМ ГЕНЕРАЦИИ |
223 |
|
всегда, |
поскольку Еп' < |
Условие (13.21) ограничивает на |
|
качку |
только снизу |
поскольку |
> 1, так что |
т)з/т!1< |
1 < / 7я). В области |
(13.34) необходимое условие фазовой |
|
устойчивости (13.24) выполняется, если отношение интенсивно сти боковых мод к центральным не слишком мало
/Й* sa ■ |
а - |
4цн |
(13.35) |
г (2) + Рз51 |
|||
Величина R(n приведена на рис. |
13.3; |
R(n = 0 |
при | со3— |= |
= УЧаЧаЬ И при - C°3 ~ (°‘ l - > ОО (у = У \ аУаь)-
Для определения границ области накачек, в которой устой чив режим ф = л, выразим накачку (отношение t)3/ t]i ) через значения стационарных интенсивностей г, х в этом режиме (см. (13.17))
я |
Л1 |
„ | 2 |
/2х(1) —Цз51 |
\ |
(13.36) |
||
Тогда из (13.34) |
получим |
X |
\ |
а |
|
) |
|
|
|
|
|
|
(13.37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где D{n определяется из (13.36) |
при zlx = |
R(n. |
|
||||
Отметим, что во всей области |
(13.34) |
условие фазовой устой |
|||||
чивости (13.34) сильнее соответствующего условия амплитудной устойчивости (13.21) так что последнее можно не рассматривать. Действительно, граница амплитудной устойчиво сти (13.21) является границей положительности решения z >• О (х >- 0 всегда при тр > 0 ) , в то время как требование фазовой устойчивости налагает ограничения на величину интенсивности z:
j > R n >0 .
Второе необходимое условие фазовой устойчивости (13.25)
при достаточно малых частотных |
интервалах |
-CDi —(Оч |
<^д & |
|
, |
выполняется при любом |
соотношении |
У YаЧаЬ |
Если |
«4,14 |
энергий. |
|||
частотный интервал велик |
|
|
|
|
|
СО1 — (Оз > g ^ |
4,14, |
(13.38) |
|
|
V YаЧаЬ |
|
|
|
то для выполнения условия (13.25) отношение суммарной энер гии боковых мод к энергии центральной моды должно быть до статочно большим
zjx > R{n\ |
(13.39) |
224 |
|
ОДНОНАПРАВЛЕННАЯ |
ГЕНЕРАЦИЯ |
[ГЛ. XIII |
|
причем это условие сильнее условия |
(13.34) |
(Rn) > R n \ см. |
|||
рис. |
13.3). Из (13.39) следует ограничение на накачку |
||||
|
|
% |
|
|
(13.40) |
В |
узком |
интервале значений |
разности частот резонатора |
||
4 ,1 4 - |
| |
4,70, |
Уа = |
УаЬ, |
|
I ~ |
5,5, |
|
(13.41) |
||
|
|
Yo==®>2Yab> |
|||
режим ф = |
л устойчив еще в одной области значений г/х\ |
||||
|
|
Rn < г/х < |
R f |
|
|
и соответственно в области накачек |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(13.42) |
Rn\ Rn] являются решениями квадратного уравнения (13.25)
при ф = л; £>л)-<3) определяются (13.36) при z/x = R®, /?«*• Однако вся область (13.42) лежит внутри области устойчивости
режима ф = |
0 (рис. 13.4), поэтому в ней осуществляется режим |
||||||||||||
с фазой ф = |
0. Таким образом, окончательно имеем границы об |
||||||||||||
ласти устойчивости режима ф = я |
(см. (13.34), (13.37), (13.40)): |
||||||||||||
| СОз —СО] ] |
_ [ |
1’ |
|
Ya = |
Yab = Y> |
|
____ |
|
|
||||
Y |
— |
я |
\ |
1, 2, |
Ya = |
0,2Yab> |
Y=/YaYaft. |
|
(13.43) |
||||
Лз/Л, |
|
D*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее |
условие — на |
накачку — можно |
записать |
в |
явном |
||||||||
виде, пользуясь |
(13.32): |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
®пор |
шаЬ |
|
^ |
max |
|
|
|
|
|
|
(13.44) |
|
|
Ш3 — СО, |
|
|
/1 |
-о<2) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исследование устойчивости режима генерации одной бегущей |
|||||||||||||
волны на центральной частоте при |
а£'2 = |
^ - , |
Еъ — Еь = 0 было |
||||||||||
проведено в гл. XII. Условие устойчивости |
относительно |
флук- |
|||||||||||
г |
|
|
0,я |
1 |
^ ^ |
|
|
|
ВИД |
(см. |
(13.15)) |
||
туаций с фазойф = |
Y6z~dt~<'® имеет |
||||||||||||
|
|
Х(1) + ц115С°— |
|
(ф = 0, |
я) |
|
(13.45) |
||||||
или (см. (13.32)) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
©пор “* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
СОз — (0| |
|
Vi |
|
* |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 2] |
|
т р е х м о д о в ы й |
р е ж и м |
Ге н е р а ц и и |
225 |
Если разность частот мод |
|юз— coi | меньше однородной ши |
||||
рины у = |
УУаУаь то режим генерации одной центральной моды |
||||
устойчив |
при |
любых накачках |
(так как /•’о,я > 0). |
При |
|
| coi — соз| |
> у |
режим генерации одной центральной моды |
ста |
||
новится неустойчивым при достаточно высокой накачке, причем неустойчивость относительно флуктуаций с фазой <р = 0 возни кает при меньших накачках, чем неустойчивость относительно
флуктуаций с фазой <р = я (/7о1)<^'я><1)* Условие (13.45) выпол няется тогда, когда не выполнено одно из условий существова ния устойчивого трехмодового режима с фазой ср = 0, а также режима с фазой ср = я (13.21). Поэтому там, где существует хотя бы один трехмодовый режим, режим генерации одной цен тральной моды неустойчив.
Условие устойчивости режима генерации обеих боковых волн
аЕз = аЕ\ = а |
^ |
, £'1= 0 относительно возникновения цен |
||||||
тральной волны имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||
|
Чз |
•-> |
а |
+ |
%(2) |
_ р(2 ) |
(13.46) |
|
|
тр |
2 х (1) |
+ |
р 361 cos ф |
° 'я ' |
|||
|
|
|||||||
Так как F® > |
1 (см. |
(13.23) |
и рис. |
13.4)), |
г]з/г)1 ^ 1, то режим |
|||
генерации двух боковых волн неустойчив (при всех частотных интервалах резонатора |с о з — c o i | и любой накачке) относительно флуктуаций центральной моды с фазой биений я.
Режим генерации одной из боковых волн Ех= 0, Е3 — 0, Е $ ф 0 устойчив относительно флуктуаций второй боковой моды,
т. е. |
d({f3 < 0> если Х(2) < |
Р, что выполняется при малых |
|||
частотных интервалах резонатора |
1тз ~ |
Ю| I ^ Л, где |
|||
|
А = |
0,5, |
Уа = УаЬ=У> |
____ |
|
|
0,55, |
Уа== 0,2Ya&, |
У=УУаУаЬ- |
||
|
|
||||
Устойчивость относительно флуктуаций центральной моды имеет место при достаточно высокой накачке (см. рис. 13.4)
т)з ^ |
а _ |
(13.47) |
|
Ш |
%(1) |
||
|
Эта область лежит внутри области устойчивости режима генера ции одной центральной моды. Какая из мод генерируется, зави сит от предыстории. Если положение мод в контуре усиления стабильно, то генерироваться будет центральная мода, так как она возникает при меньших накачках.
Рассмотрим границы применимости полученных результатов. Мы не учитывали возникновения следующих продольных мод
8 Под ред. Ю. Л. Климонтовича
226 |
ОДНОНАПРАВЛЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ |
[ГЛ. ХШ |
(7 и 9), для которых (со7 — coi) = — (соэ — coi) = |
2(to3 — coi). Это |
|
во всяком случае оправдано, если для них не выполнено поро говое условие генерации т]7 < 0. Учитывая взаимодействие сле дующих боковых (7 и 9) мод с основной, получим, что основная мода становится неустойчивой по отношению к 7-й и 9-й моде,
если не выполнено одно |
из условий (13.45) для этих мод, |
||
а именно: |
( 2 (и3 —ап) |
|
|
Ч]_ |
= G |
||
■Hi > F ° 1------v----- |
|||
|
|||
или |
|
2 |
|
и пор а аЬ |
|
||
|
|
(13.48) |
|
С03 — COi
Эта накачка является границей применимости расчета, не учи
тывающего |
взаимодействие с модами 7 |
и 9. |
|
Помимо |
этого, накачка |
ограничена |
условием слабого поля |
Hi -С 1: ^—~^ku—~~) ^ ^ |
Представим |
это условие в следую |
|
щем виде:
м .ю р — Ч>аЬ И>3 — Ц>1 2 < С 2 _ ! k u \ 2
С03 — О)! V V V / *
Зная отношение доплеровской ширины линии ku и естественной,
можно выбрать |
параметр |
С2. Так, |
для |
Не—Ne-лазера ku ~ |
||||||
~ 1000 |
Мгц для |
К = 0,63 |
мкм\ |
при |
р ~ |
0, |
у = уаъ ~ 14 |
Мгц |
||
получим |
ku/y « 7 1 . При |
р ~ |
1 |
тор, |
уаь = |
72 |
Мгц ku/yab = |
14. |
||
Границей можно считать |
С = |
10. |
|
|
|
|
||||
На рис. 13.5 показаны границы областей существования и устойчивости стационарных режимов. По оси абсцисс отложена разность частот мод по отношению к ширине уровня |о»з — coi |/у.
По |
оси |
ординат отложено в логарифмическом масштабе |
||
упор |
®ab |
Границами устойчивости являются кривые- |
1 |
|
С03 —ffli |
|
|
У 1—х |
|
~=g(x), |
где x — Fo\ Do, D{n~{3), Du |
Граница применимости |
||
рассмотрения обозначена кривой со штриховкой. Она состоит из
двух кривых: |
2 |
0 |
10у |
Область устойчиво |
Г------ |
= 2 g(G) |
и -------— |
||
|
/1 |
|
■С01 |
|
сти генерации одной центральной моды обозначена кружками,
одной боковой |
волны — наклонными |
штрихами. Область устой |
||
чивости трехмодовой генерации с фазой ф = |
0 обозначена гори |
|||
зонтальной штриховкой, с фазой я — вертикальной. |
||||
Из рис. 13.4 |
видно, что при |
3,45, |
уа— УаЬI \ |
|
1 |
1Ц>3—(01 I ^ h |
|||
3,2, |
уа ==0,2уй5/ |
|||
|
У |
|||
§ 2] |
|
ТРЕХМОДОВЫИ РЕЖИМ |
ГЕНЕРАЦИИ |
2 2 7 |
|||
и при |
| С03 —(Oi | |
!>/ ж 4,25 |
значение |
шах {.Fo*, А0} |
меньше, чем |
||
шах {А^, А<2>}. Вследствие этого существуют накачки |
|||||||
max |
1 |
■ I____}** |
|
|
|
||
|
о |
к 1 - |
W |
J |
|
1 |
|
|
< юпор |
®аЬ |
< шах |
|
(13.49) |
||
|
|
У \ - d ® |
|||||
|
Юз — Ю1 |
|
У \ - о У( |
J ’ |
|||
при которых неустойчивы все рассмотренные стационарные ре жимы генерации: трехмодовые симметричные режимы Е\ = Е\
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
\°з-»А |
|
|
|
5) |
|
"Г |
|
Рис. 13.5. Границы области устойчивости трехмодового и одномодового режима.
с фазами 0 и я и одномодовый аЕ2 = г\11а. В этой области,
обозначенной на рис. 13.5 волнистыми штрихами, несмотря на симметрию расположения частот мод режим генерации трех мод должен быть несимметричен: Е2 ф Е3. При этом может ока заться, что режим генерации не только несимметричен, но и не стационарен: амплитуды мод Еи Е2, Е3 и фаза биений ср ме няются во времени. При уа = уаЬ область нестационарности
8*