Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

а

—нормированные полиномы Эрмита (т, п = 0, 1, 2, ...). Поперечный индекс моды, как видно из формулы (14.3),

определяет число узлов распределения поля по соответствующей оси. Величина 2яqa равна набегу фазы бегущей волны kaz —

— фа{г) на замкнутом пути в резонаторе. В лазерах qa — боль­ шое целое число (|<7а| — величина порядка 106). Волновое число ka положительно или отрицательно в зависимости от того, бе­ жит волна а в положительном или в отрицательном направле­

Знак фmana (z ) определяется знаком ka. Встречные волны одной

моды (kb = —ka', тъ = та\ пь = па) имеют одинаковое попе­ речное распределение поля и отличаются только знаком фазы kz — ф(2).

Функции Ea(x,y,z) (14.1) являются решениями уравнений Максвелла в следующих приближениях (так называемые при­ ближения квазиоптики):

где d — максимальный поперечный размер зеркал, s — мини­ мальное расстояние между зеркалами. Приближения квазиоп­ тики (14.6) эквивалентны приближениям дифракции Френеля, когда при представлении поля в виде интеграла Кирхгофа в фазе подынтегрального выражения оставляют члены не выше второго порядка по поперечным координатам х и у. Членами более высокого порядка по поперечным координатам, описы­ вающими аберрацию, пренебрегают.

Как следует из формул (14.1) — (14.5), иоле (14.1) харак­ теризуется значениями двух параметров, Ьк и Ьу. Эти параметры определяют масштабы поперечного распределения (14.5) и не­ линейные набеги фазы (14.4) на плоскостях х, z и у, z. Мы будем называть параметры Ьх и Ьу радиусами эквивалентного

240 СПЕКТР ЧАСТОТ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА [ГЛ. XIV

конфокального резонатора на плоскостях х, z и у, z соответ­ ственно.

нии являются гиперболами. Построенные на этих линиях ци­

в лучевой трубке между каустическими поверхностями пред­ ставляет собой совокупность пересекающихся лучей, за каусти­ ческие поверхности лучи не проникают. Согласно волновой оп­ тике поле моды та, па (14.1) — (14.3) внутри лучевой трубки, ограниченной каустическими поверхностями, осциллирует, вне ее — экспоненциально затухает.

линейный набег фазы бегущей волны выбран так, что в центре

В плоскости х , z проведем через точку z окружность произволь­ ного радиуса R x с центром, расположенным на оси z . В при­ ближениях дифракции Френеля (14.6) поле на такой окруж­ ности имеет вид (14.3) с дополнительным множителем

§ 1] РЕЗОНАТОР СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ 241

то такая окружность является линией постоянной фазы на плос­

кости х, г. Аналогично на плоскости у, z линией постоянной фазы

г* + (Ьу!2)2

служит окружность радиуса Ry = --------------. Построенная на

этих линиях поверхность является поверхностью постоянной фазы, пересекающей ось х = у = 0 в точке z. В сечении 2 = 0 Rx(0) = Rv(0) — оо, т. е. поверхность постоянной фазы пре­ вращается в плоскость.

Рассмотрим теперь отражение бегущей волны (14.1) от сфе­ рического зеркала, поставленного наклонно к падающему све­ товому пучку (рис. 14.2). Согласно законам геометрической

Рис. 14.2. Преобразование масштабов поля (а) и линии постоянной фазы (6) в плоскости резоиатора y t z при отражении волны от наклонного сферического зеркала.

оптики при отражении от сферического зеркала 1) угол падения луча равен углу отражения, 2) масштаб поперечного распреде­ ления поля на зеркале одинаков для падающей и отраженной волны (рис. 14.2, а) 3) поверхность постоянной фазы падающей волны на зеркале преобразуется в поверхность постоянной фазы отраженной волны на зеркале по следующим правилам: окружности постоянной фазы радиусов Rx(z3) и Rv(z3) в глав­ ных плоскостях х, z и у, z преобразуются также в окружности

постоянной фазы (рис. 14.2,6), радиусы которых Rx и Ry опрег деляются по формулам тонкой линзы

R — радиус зеркала, z3— координата центра зеркала по оси z (рис. 14.2, а). Для падающей волны радиусы Rx и Rv считаются положительными, если фазовый фронт выпуклый. Для отражен­ ной волны радиусы Rx и Ry считаются положительными, если фазовый фронт вогнутый (рис. 14.2,6). Эти правила не зависят от направления бегущей волны.

Если обозначить через х, у, z декартовы координаты для от­ раженной волны, то при отражении в зеркале х-*х\ у -*■—у (рис. 14.2, а). На зеркале

Е Т (х, у, 2з) = Еатр (х, - у, z,) = einanEVv (х, у, 23).

Поэтому поле моды а (14.1) при отражении приобретает допол­ нительную фазу пап. Поле моды с четным индексом па сохра­ няет свой вид при отражении, в то время как поле моды с не­ четным индексом па приобретает дополнительный множитель

ein — — 1.

В соответствии с граничным условием (11.3) поле волны при отражении приобретает разные знаки в зависимости от направления вектора поляризации. Если электрическое поле на­ правлено перпендикулярно плоскости падения (вдоль оси х), то коэффициент отражения идеального зеркала равен —1, т. е. в этом случае поле отраженной волны приобретает множитель

—1 = ein. Если вектор электрического поля лежит в плоскости падения у, г, то коэффициент отражения идеального зеркала ра­ вен 1.

Поле отраженной волны E°aP( x , y , z ) выражается форму­ лами (14.1) — (14.5), в которые нужно подставить новые па­ раметры Бх, 5У, z3>x и г3) у, где z3tX (z3tV) равен расстоянию от зеркала до минимального сечения в плоскости х, z (y ,z ). Из ус­ ловий равенства масштабов и преобразования фазовых фронтов

Из равенств (14.11) видно, что у отраженной волны в общем слу­ чае различны не только Ьх и Ьу, но и z3iX и г3<у, т. е. минималь-