ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
§ 2] КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПЕРЕКРЫТИЯ 2-19
продольного перекрытия волн равен
г,+Ц2
dz
hjKQN— Z .-I//2 |
L?Px (z) Py (2) |
|
(14.26) |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
ФУКОЛГ ( * ) = ( k j + k K — k 0 — |
k N) Z — |
ф у — ф * + |
ф о |
+ ф л г , |
20 и / — центр и длина трубки с активной средой |
(см. рис. 11.1); |
|||
фаза cpj и масштабы px(z) и |
ру(г) |
определены |
формулами |
|
(14.4) и (14.5). |
|
|
|
|
Вычислим коэффициенты cijkgn■Из вида собственных функ ций (14.2) и (14.3) следует, что в кольцевом резонаторе инте гралы по координатам х и у разделяются:
a iKON ~ a /KQN ' a jyKGN'
где |
|
|
|
|
|
|
д(*) |
= |
П |
f Ч Ч (S) |
|
(g) ^mQ(g) 4mN(|) d%, |
|
UJKON |
HIjtTl[(Mq Mn |
K |
(14.27) |
|||
|
|
|
i |
° |
||
a(?KON= |
anjnKnQnN- |
|
|
|
|
|
Функции \Pm(g) определены формулой (14.3). Приведем выражения для коэффициентов взаимодействия основной моды с индексом тп = 0 с другими модами с индексами т, п и k:
amnkо— |
Л - J е -2*//* (I) Нпft) Hk(I) dl = |
|
|
|||
|
- 0 0 |
|
|
|
|
|
Г(р —m + Ч2) Г (р —п+ '/2) Г (р —к + у2) |
2р — четное |
число, |
||||
= |
я’ КТ/тЫ /г! |
|
||||
|
2р — нечетное число, |
|||||
|
|
О, |
|
|||
где р — >/2 {т + п + |
k). |
|
|
(14.27а) |
||
четное), которые |
исполь |
|||||
Для |
коэффициентов атпоо (т'+п |
|||||
зуются для расчетов в гл. XV, формулу |
(14.27а) можно упро |
|||||
стить, |
используя |
соотношение Г(V2 + |
s)Г(*/2 — $ ) = ( —1)8я, |
|||
s — целое число, |
|
|
|
|
||
*тп00 |
r ( m + n + I |
|
|
(14.276) |
||
л У2 VтШ |
2 |
Y т1п\л |
||||
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|||
250 |
СПЕКТР |
ЧАСТОТ КОЛЬЦЕВОГО |
РЕЗОНАТОРА |
[ГЛ. XIV |
Коэффициенты |
конкуренции и |
насыщения amNmNmjtnj^= |
||
==ат |
т для mN, mj = 0 -j-7 приведены в табл. |
14.1. Коэффи |
||
циенты деформации атттп отличны от нуля для мод одинако вой четности, т. е. если т + п четное. Коэффициенты деформа ции основной моды йооот рассчитываются по формуле (14.276).
Т а б л и ц а 14.1
Значение коэффициента a.mNmj (см. (14.27))
т д г
mj
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
0.339 |
0,199 |
0,150 |
0,125 |
0,109 |
0,098 |
0,090 |
0,083 |
1 |
|
0,299 |
0,175 |
0,137 |
0,117 |
0,104 |
0,094 |
0,087 |
2 |
|
|
0,256 |
0,159 |
0,128 |
0,111 |
0,099 |
0,091 |
3 |
|
|
|
0,229 |
0,148 |
0,121 |
0,106 |
0,095 |
4 |
|
|
|
|
0,211 |
0,139 |
0,116 |
0,102 |
5 |
|
|
|
|
|
0,199 |
0,132 |
0.111 |
6 |
|
|
|
|
|
|
0,186 |
0,127 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
0,177 |
Выражение для коэффициентов деформации моды 2т нулевой модой следует из формулы (14.27а):
„ |
_ I /r(m + 72)Y> |
|
02т.2т.Ш.О — y j n t [ |
) |
|
(2от - 1)11 Vh |
1 |
(14.27в) |
|
ml23т I |
f W ' |
||
|
Оценим величину коэффициентов продольного перекрытия
бегущих волн Hj k g n . Интеграл (14.26) |
максимален, если |
фаза |
|||||
(pjkgn = |
0. Это условие выполняется |
всегда |
для |
Iijggn = |
hje |
||
и hjjjj = |
hj, определяющих |
конкуренцию |
и |
насыщение |
мод. |
||
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zo+ I/2 |
dz |
|
|
|
|
|
hjQ — hj — h.Q |
|
|
|
(14.28) |
||
|
I L 2P x (2) |
P y (2) |
|||||
|
|
za- l l 2 |
|
|
|
|
|
Значение h0 определяется только параметрами резонатора и трубки с активной средой и не зависит от индексов мод. Пусть длина трубки не превосходит длины плеча кольцевого резо натора. Тогда интеграл ho может быть выражен через эллипти-
§ 2] КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПЕРЕКРЫТИЯ 251
ческие интегралы первого рода
|
|
|
(2го+t)/by |
|
dr |
|
|
|
|
|
I, |
|
|
||
|
|
|
У(1 +т*)[1 +(Ьу!Ьх)*х*\ |
||||
|
|
|
Р*ъ-1)1Ъу |
|
|
|
|
|
|
- ж / ? |
К - г с . ^ . / м | П - |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(14.29) |
|
|
|
|
О < l z± ± ± |
< 1 . |
|
|
|
Для оценки приведем значение Л0 в разных предельных |
||||||
случаях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Ьх = |
Ьу = Ь, |
|
|
|
|
|
|
|
22о4*/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
Л,0 |
- J L . |
|
Г _ dx |
U |
x ( arctz |
2z0 + l |
arctg^o _ J). (14.30) |
и X |
|
J 1 + т2 |
ь |
||||
|
|
2z0—/ |
|
|
|
|
|
Если центр трубки совпадает с центром распределения поля в плече, то
h0 L2X arc^S ь •
В кольцевом резонаторе с одним сферическим зеркалом или в линейном резонаторе с одинаковыми сферическими зеркалами, если среда целиком заполняет резонатор,
, |
2я |
L L |
(14.31) |
h Q= -m -avdgT . |
|||
б) Ъх » | 220 ± 11,
(2го+1)/ьу
dr
2L- i / |
i 1п |
2z0 + l + |
V (2г0 + /)2 + Ь |
(14.32) |
|
2z0 - l + V ( 2z0 - l ) 2+b' |
|||||
Л У |
Ьг |
|
|||
|
|
|
|||
При ftj/>|2z0± / | значение h0 может быть получено из выра жения (14.32) заменой by-+bx и bx -* b v. Отметим, что Ьх и Ьу входят в формулу для h0 (14.28) совершенно симметрично.
252 СПЕКТР ЧАСТОТ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА [ГЛ. XIV
Несимметрия в формуле (14.32) связана только с условиями, наложенными на Ьх.
Оценим величину коэффициентов продольного перекрытия волн hjKGN в случае короткой трубки:
hJ K Q N = ha sin {К',КаыИ2) oib K Q N (*о)
Kjkgn1/2
где
2л/
K j k g n : |
d ( fJ K G N |
^ |
— kj-\-kh kQ— kN— |
dz |
|
||
|
|
Z — Zq |
2bx
■(nij + mK — mQ — mN)
bl + (2z0)2
(14.33)
(14.34)
2b,,
Выражение (14.33) является результатом интегрирования в (14.26) при следующих приближениях: медленно меняющиеся
масштабы px(z) |
и py(z) считались |
постоянными и равными |
Px{zo) и p y { z o ) , |
а фаза c p j k g n ( z ) раскладывалась в ряд Тейлора |
|
в точке 2о: |
дЬком(го1 (z _ г0). |
|
|
||
t y j K Q N — ФJ K Q N (2о) + ' |
дг |
|
В выражениях (14.33) и (14.34) зависимость от Zo, т. е. от по ложения трубки, сильная для резонаторов, близких к концент рическому (Ьх или by-* 0), и слабая для резонаторов, близких к плоскому (Ьх и by-* оо). Для очень короткой трубки 1-+ 0,
sin (kl/2) |
-> 1 и 11h,jk q n —* ho, |
t . e. при укорочении трубки аб |
klj 2 |
солютные значения различных коэффициентов продольного пе рекрытия волн нарастают и становятся одинаковыми.
Найдем теперь значение коэффициентов продольного пере крытия волн hjKGN в противоположном случае, когда среда пол ностью заполняет резонатор. Будем рассматривать кольцевой резонатор длины L с одним сферическим зеркалом и полагать Ьх = Ьу — b. Как уже отмечалось, такой резонатор эквивален тен линейному резонатору с одинаковыми сферическими зерка лами, у которого расстояние между зеркалами равно L. В этом случае
2п |
№ |
е11^'г - (Л1+Л0 arctg (2г/Ь)] |
|
|
Г |
|
|
||
h j K O N — L*lb |
I |
1+ (2z/6)2 |
dz, |
(14.35) |
-Ь/2