ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
244 |
СПЕКТР |
ЧАСТОТ |
КОЛЬЦЕВОГО |
РЕЗОНАТОРА |
|
|
|
[ГЛ. XIV |
|||||||||
где Ij — длина /-го |
плеча |
резонатора. Сумма |
длин |
плеч |
равна |
||||||||||||
длине кольцевого резонатора. |
Из условия |
замкнутости |
|
волны |
|||||||||||||
в кольцевом резонаторе следует, что |
(1 -f г):м плечом |
резона |
|||||||||||||||
тора является первое плечо (bX: r+\ = |
bXt ь bv, r+t = |
bVt { и т. д.). |
|||||||||||||||
Таким образом, получим 2г независимых условий |
(14.13). |
|
|
||||||||||||||
2. |
Для описания преобразования фазового фронта волны на |
||||||||||||||||
общем сферическом зеркале в формулы (14.10) подставим вы |
|||||||||||||||||
ражения |
(14.9) |
для |
радиусов |
поверхностей |
постоянной |
фазы |
|||||||||||
R x , jt R x , j + i и R Vtj, R v, j + \ . Учитывая правило знаков в формуле |
|||||||||||||||||
(14.10), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z*. 1 |
|
h+1~ zx, /+i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
ь1,1 + 4гх, / |
bх, 1+1 "Т 4 (zx_j + j |
^/+i) |
2/?у sec ay |
|
|
(14.14) |
|||||||||||
гУ. / |
|
Q+i —zy, j+i |
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Jy. I |
4гу, 1 |
b l , / + 1 + 4 ( z y, |
1+1 - |
l i + |
\ ? |
2 R I |
cos a l |
’ |
|
|
|
|
|||||
где Rj — радиус /-го сферического зеркала. Радиус Rj считается |
|||||||||||||||||
положительным, |
если поверхность |
зеркала |
вогнутой |
стороной |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
обращена |
внутрь |
резонатора. |
||||||||||
|
|
|
|
|
2<Xj — угол |
между |
осями |
резо |
|||||||||
|
|
|
|
|
натора у /-го зеркала. Нуме |
||||||||||||
|
|
|
|
|
рация |
зеркал |
произведена |
в |
|||||||||
|
|
|
|
|
положительном |
|
направлении |
||||||||||
|
|
|
|
|
оси |
z . |
Расстояние |
от |
центра |
||||||||
|
|
|
|
|
распределения поля в /-м пле |
||||||||||||
|
|
|
|
|
че до /-го сферического зерка |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ла |
z X} j ( z Vt |
j ) |
может |
быть как |
||||||||
|
|
|
|
|
положительным, так и отрица |
||||||||||||
|
|
|
|
|
тельным. |
Расстояние |
|
|
z x , |
s |
|||||||
|
|
|
|
|
(zv, j) |
•< 0. |
если центр |
распре |
|||||||||
|
|
|
|
|
деления в /-м плече лежит вне |
||||||||||||
|
|
|
|
|
резонатора |
|
за |
/-м |
зеркалом |
||||||||
|
|
|
|
|
(рис. 14.3). Так как (r -fl)- e |
||||||||||||
|
|
|
|
|
плечо |
кольцевого |
резонатора |
||||||||||
|
|
|
|
|
совпадает с первым плечом, мы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
имеем 2г условий (14.14). Все |
||||||||||||
Рис. 14.3. Каустики в |
кольцевом резона |
го |
4г |
условий |
(14.13), |
(14.14) |
|||||||||||
торе, образованном тремя |
вогнутыми и |
определяют |
|
4г |
параметров |
|
|||||||||||
и выпуклым сферическими зеркалами. |
кольцевого резонатора с г |
сфе |
|||||||||||||||
Изображена плоскость резонатора y,z. |
|||||||||||||||||
Спектр частот кольцевого |
рическими зеркалами. |
из |
ус |
||||||||||||||
резонатора определяется |
|||||||||||||||||
ловия, что полный набег фазы волны на замкнутом пу»ги в ре зонаторе кратен 2л (условия периодичности). Полный набег складывается из набега фазы волны kz — cp(z) и изменений
S п |
РЕЗОНАТОР СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ |
245 |
фазы волны при отражениях на зеркалах резонатора:
&aL ( , |
1) |
ХЗ Г |
, 2Zx,/ |
1\ , / |
2 (// —Zx,/) |
|
|
|||||
- |
(т. + |
j ) | |
[arctg| + |
у ) + arctg ( - \ |
|
+ |
|
|
|
|||
- |
{ |
" • + |
i ) |
2 [arc,e ( т + ) |
+ arc‘s |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— %n [qa+ (б! + |
62) |
, |
(14.15) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
четное, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e, = [l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
na — iнечетное; |
|
|
|
|
|||
ба = 1, если поле линейно поляризовано вдоль оси х, и бг = |
О, |
|||||||||||
если поле линейно поляризовано в плоскости |
резонатора у, |
z\ |
||||||||||
N — полное число сферических и плоских зеркал кольцевого ре |
||||||||||||
зонатора; |
г — число сферических зеркал |
резонатора. |
Чтобы |
|||||||||
частоты Qa определялись однозначно, достаточно в формуле (14.15) брать главные значения периодических функций.
Для того чтобы кольцевой резонатор был устойчивым, т. е. не имел бы потерь при бесконечной апертуре зеркал, необхо димо и достаточно, чтобы радиусы эквивалентного конфокаль ного резонатора bXtj и bVtj на плоскостях х, z и у, г, найденные из условий (14.13), (14.14), были положительными для всех плеч кольцевого резонатора.
Рассмотрим наиболее простой тип кольцевых сферических резонаторов, у которых радиусы сферических зеркал и углы падения луча на зеркала одинаковы для всех сферических зер кал:
Ri = R2= ... — Rr = R, al — a2= |
... == ar = a, |
|
|
причем все сферические зеркала вогнутой |
стороной |
обращены |
|
внутрь резонатора (R > 0). Будем считать также, |
что |
равны |
|
длины плеч кольцевого резонатора, расположенных через один,
т. е. I, |
= lj+2 (/ = |
1, 2, |
3, |
. .. . г — 1). Если число сферических |
зеркал |
четно (г = |
2п), |
то |
кольцевой резонатор состоит из плеч |
двух типов с длиной li и /2. Если число сферических зеркал не четно (г = 2/1+ 1), то равны длины всех плеч резонатора. В обоих случаях центр распределения поля в каждом плече находится посредине плеча, т. е. z Xj = z Vi j = /,-/2 ( / = 1 , 2 ...
..., г). Поэтому будем называть такие резонаторы симметрич ными кольцевыми резонаторами.
246 СПЕКТР ЧАСТОТ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА [ГЛ. XIV
Для симметричных кольцевых резонаторов условия (14.13) и (14.14) приобретут простой вид
ъ 1 |
4 - |
11 |
b2x 2 + /| |
R sec а |
°х, |
1т |
|
|
А2 |
г |
/2 |
°У, 1 |
+ |
м |
б * . |
1 |
|
6 Ь + / 2 “
н 1
1
R cos а
(14.16)
О,
1 + |
1\ |
ЬХ2, 2 + ‘1 |
|
||
ьу, |
1 |
by, |
2 |
0. |
|
А2 |
Л- /2 |
А2 |
1 / 2 |
||
vy, I |
|
‘I |
"у, 2' |
|
|
Из уравнений (14.16) найдем параметры bXt i и bVii плеч с дли ной U и параметры Ьх>2 и bVi 2 плеч с длиной 12
|
|
|
Ъ\ , = |
[(/, + |
/2) |
sec а - |
Ш Rseca~ h |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R sec a — l2 |
|
|
||
|
|
|
b\, i = |
[(/i + |
h) R cos a — l\h] |
R cos a — l\ |
|
|
|||||
|
|
|
R cos a — /2 |
|
(14.17) |
||||||||
|
|
|
bx. 2 = |
[(^i + |
h) R sec a — /1/2] |
R sec a — /■> |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R sec a — li |
|
|
||||||||
|
|
|
& 2 = |
I(/x + |
h) R cos a - |
/,/2] -I |
Z |
l - t |
’ |
|
|||
Для симметричных кольцевых резонаторов спектр частот |
|||||||||||||
также имеет простой вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ч - - |
К |
+ |
т )'г Н е ( т Ь ) + агс,г Ы Ы ] |
- |
|
|
|||||||
- (п‘ + |
i i ' |
[агс|8 И + ) + |
агс|8 [т + }\ - |
2" (?«+ |
<в| + |
<У т ) . |
|||||||
При l{ = |
l2 = L/r |
|
|
|
|
|
|
|
(14.18) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b2x,i = |
bl,2 = |
^ R |
seca - |
|
ЬУ2, , = ъ\, 2 = |
tfcoscc - |
(у )2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.19) |
Спектр частот в этом случае можно представить в виде |
|||||||||||||
Q,aL |
|
I |
. |
1 \ |
____I , |
A cos a |
|
|
|
|
|
|
|
|
— (ma + jjrarcco s (l |
rR |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ( na + - j) rarccos(l - 73^ г ) = 2я(<7в + (б, + ва)4-). (14.20)
§ 2] КО ЭФФИ ЦИ ЕН ТЫ П РОСТРАНСТВЕННОГО П ЕРЕКРЫ ТИ Я 247
Условия устойчивости таких резонаторов имеют особенно про
стой вид |
2R sec а > L/r, |
27? cos а > |
L/r. |
(14.21) |
||
|
||||||
Приведем несколько примеров простых симметричных коль |
||||||
цевых резонаторов. Кольцевой резонатор длины |
L с одним |
|||||
сферическим зеркалом |
радиуса |
R и |
N — 1 плоскими зеркалами |
|||
описывается формулами (14.19) — (14.21) |
при r = |
1. Формула |
||||
(14.19) при г = |
1 совпадает с формулой (14.12). |
одинаковыми |
||||
Кольцевой резонатор длины |
L |
образован N |
||||
сферическими зеркалами радиуса R, отстоящими друг от друга |
||||||
на расстоянии |
L/N. |
Резонатор |
имеет |
форму |
правильного |
|
TV-угольника. Параметры, определяющие поле в таком резона торе, и спектр частот резонатора определяются формулами
(14.19) — (14.21) при г — N. При N — 3 угол а равен а = я/6, при N — 4 а = я/4.
Кольцевой резонатор длины L с двумя одинаковыми сфери ческими зеркалами радиуса R и N — 2 плоскими зеркалами. Кратчайшее расстояние между сферическими зеркалами равно /. Резонатор описывается формулами (14.17), (14.18) при г — 2, U = I, h = L — /. Условия устойчивости резонатора
'i |
' |
] |
Rcos а — / |
V |
|
||
R cos а — / 1 |
L jJ Rcos а —(L — /) |
||
Г |
|||
R sec а — 1(:■ - |
|
1 |
Rsec а — 1 |
я |
J Rsec а —(L —1) |
||
>0 ,
>0 .
§ 2. Расчет коэффициентов пространственного нелинейного перекрытия бегущих волн в лазере
Пространственными характеристиками взаимодействия мод являются коэффициенты нелинейного пространственного пере крытия мод в активной среде (11.71)
= J Ei (г) Ек (г) ЕЬ (г) Е'ы (г) dV, |
(14.22) |
v, |
|
где интегрирование ведется по объему трубки с активной сре дой. Как в кольцевом лазере, так и в линейном лазере стоячей волны взаимодействие мод удобно выражать через взаимодей ствие бегущих волн. Особенно удобно это в газовом лазере, где движение атомов среды приводит к различию взаимодействия встречных волн и волн, бегущих в одном направлении (см. § 8 гл. XI). Поэтому будем считать, что под интегралом (14.22) стоят поля бегущих волн (14.1).
Значение интеграла близко к. нулю, если подынтегральная функция быстро осциллирует. В интеграле (14.22) так будет,
248 |
СПЕКТР ЧАСТОТ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА |
[ГЛ. XIV |
если три волны (например, /, К, G) бегут в одну сторону, а чет вертая (N ) им навстречу. Коэффициент \i j k g m (14.22) отличен от нуля, если \kj-\-kK — kG— kN\<^kN. Считая, что волновые числа kj, kK, kQ и kN одного порядка, получим, что это условие выполняется для волн, бегущих в одном направлении. При взаимодействии встречных волн отличен от нуля коэффициент перекрытия \ij,KGN„ если пара волн J'N' (индексы со штрихами)
бегут в одном направлении, а волны К, G — во встречном на правлении. Согласно определению (14.22) и выражению для поля бегущей волны (14.1)
1l J 'K G N ' Iх АКСУ ^ 1 'G 'K 'N ' |
V n 'K ’ O 'J ' — ^ K N IG > |
(14.23) |
т. е. всегда можно пользоваться |
коэффициентами нелинейного |
|
перекрытия волн, бегущих в одном направлении. При изменении знака направления волны, как видно из (14.23), коэффициенты нелинейного перекрытия волн должны быть заменены на комп лексно сопряженные.
В дальнейшем будем рассматривать коэффициенты взаимо действия волн, бегущих в одном направлении. В случае взаи модействия двух мод имеется шесть различных коэффициентов. Пространственной характеристикой самонасыщения моды яв
ляется коэффициент pj гз |
Коэффициент |
= |
Pjatatj = |
= [ijvj характеризует конкуренцию, а коэффициент |
\x]]NN = |
||
—— синхронизацию волн J и N. Коэффициенты \ijjjn и
Pwawj определяют деформацию волн.
Найдем коэффициенты пространственного перекрытия в ре
зонаторе со сферическими зеркалами. Подставив |
(14.1) в |
|
(14.22), получим |
|
|
V’JKQN == a JKQN^lJKQN< |
|
(14.24) |
где |
|
|
00 |
|
|
a JKQN = J{ X¥»‘j"j4rmKnKXVmanaX]!mNnN |
. |
(14.25) |
Ч*1mjtij — вещественные функции, определенные формулой (14.2).
Интегрирование в (14.25) в бесконечных пределах означает пренебрежение дифракцией на поперечных размерах трубки с активной средой. Для этого диаметр трубки должен быть много больше диаметра светового пятна. aJKGN— вещественное число, характеризует степень перекрытия поперечных распределений полей мод и зависит только от индексов мод. Коэффициент