ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 0
§ 2] |
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО |
ПЕРЕКРЫТИЯ |
253 |
||
где |
К' — kj + kK— ka — kM, |
|
|
||
|
|
|
|||
|
М = Ш] + |
тк — та — mN = 0, |
1, 2, |
(14.36) |
|
|
N = пj “I- Пк — ?Iq |
tipj — 0» 1, 2, •* • |
|
||
Из формулы для спектра частот резонатора (14.15) |
в случае |
||||
резонатора с одним плечом г |
= 1 получим следующее соотноше |
||||
ние для параметров К' к M + N, входящих в интеграл |
(14.35): |
||||
|
— (М |
N) arctg -y — nQ, |
(14.37) |
||
где |
Q = Ц] + qK— <7g — Qn — комбинация |
продольных |
индексов |
||
Q = |
0, 1, 2, ... При |
К — О, |
M + N = Q hjKGN максимален и |
||
равен h0 по формуле |
(14.31). |
|
|
|
|
Можно показать, |
что интерес представляют коэффициенты |
||||
hjKGN, у которых М -f- N — 2Р, где Р — целое число, положитель
ное или отрицательное. В случае, |
когда Р — целое положитель |
||||
ное число или |
нуль, Р = 0, |
1, 2........ интеграл |
(14.35) |
можно |
|
представить в виде |
|
|
|
|
|
, |
|
|
Р |
|
|
я , 1ЧВ Г еш (и + i f - 1 л |
(14.38) |
||||
hjKQN — Ux ^ |
J |
(и_ i)p+l |
^и’ |
||
|
|
- Р |
|
|
|
где d = K'b/2, |
р = Ljb. Выделяя интеграл от —оо до ~-(-'оо, кото |
||||
рый можно взять по вычетам, и оценивая остаточный интеграл,
получим следующий результат при K'L |
1: |
lJKQN |
| 2ш |
|
L Л (Я! |
||
|
+ 2 Re ' eidP (fi + i)2P
Jd( 1+ p2
Нш-^-р-[еш { и |
i)p |
’] + |
|
||
u-*i du |
|
|
|
1 |
|
2 |
Р - ф |
+ |
0 |
(14.39) |
|
1 + d |
1+p2 |
L ( K ' L ) 6 |
|||
При p <C 1 и p 1 отброшенный член имеет дополнительную ма
лость, так как коэффициент |
при |
щщз |
в |
случае р •< 1 имеет |
|||||
порядок малости не ниже р3, а |
в случае |
р ^ 1 имеет порядок |
|||||||
малости не ниже р-1. |
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим несколько примеров. |
|
продольные |
моды. |
||||||
а) |
М4-Л/ = |
0, т. |
е. взаимодействуют |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
____ Я |
( |
К'Ь |
ли, |
Sm ( K ' L / 2 ) |
|
|
|
|
1зТ /Г~2~ I |
4bL |
|
|
|
|||||
n J K Q N |
— L.2X |
\ |
‘ |
L 2 + |
Ь 2 |
KL |
|
|
(14-40) |
|
|
|
_ |
|
cos (А ^/2) |
|
|
||
|
|
|
|
К'* |
{L24-Ь2)2 }+°Ш - |
||||
254 СПЕКТР ЧАСТОТ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА [ГЛ. XIV
При |
М + |
ЛГ = 0 |
из |
соотношения |
(14.37) |
получим K' — 2nQ/L, |
||||||
Q = 1, 2, |
... |
В этом |
случае |
|
|
|
|
|
|
|||
и |
— |
|
1 г<г |
JlQ b |
4- (__14Q + 1 |
166^3 |
|
|
|
|
||
я |
L |
|
|
|
|
|||||||
n JKQN — 12^ |
) п е |
|
( I) |
lh2 4_ / : |
(2nQ)* } + ° |
[(«(?)«]* |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(b2 + L2)2 |
|||||
б) |
М |
N — 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
hjKGN = |
|
{пК'Ье-к'Ь12- |
[sin |
|
( £ |
- |
1) + |
|
|
|||
|
|
+ |
* Т cos ( д г 1)] W |
w |
} + |
0 |
[■<k w ] • |
f-14-42) |
||||
в) |
M + N = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
K'b |
|
K ’b |
|
|
|
|
|
|
hjKQN ' |
|
|
e |
2 |
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
U_ |
|
|
|
|
4&5 |
|
|
|
(14.43) |
|
|
|
b2 |
|
|
|
K' (b2+ L2)3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Формулы |
(14.39) —(14.43) |
дают |
оценку |
hJKGN |
при |
K'L ^> 1. |
||||||
В другом предельном случае K'L <£. 1 для оценки коэффициентов |
||||||||||||
hjKGN удобно выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
иг |
пК' |
|
[*'.-,«+*> « |
c |
t |
g (14>44) |
||
|
hjKQN — |
[ |
|
|||||||||
|
L2X (М + |
N) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
-иг |
|
|
|
|
|
|
|||
полученное из (14.35) интегрированием по частям. При этом, используя соотношение (14.37), можно доказать, что внеинтегральный член равен нулю.
Из формулы |
(14.44) следует, что hJKGN = 0 при К' — 0 и |
||
М ф N Ф 0. Для |
коэффициента деформации hJJJN имеем К' — |
||
— kj — kN, для |
коэффициента синхронизации мод |
hJJNN К' = |
|
— 2(kj — kN). |
В |
обоих случаях условия К '= 0, |
М + N Ф 0 |
означают, что моды / и N имеют одинаковые резонаторные ча стоты, в то время как их поперечные индексы различны. Таким образом, вырожденные поперечные моды сильно конкурируют друг с другом (hJNNj = h0), а взаимная синхронизация и де формация у таких мод отсутствует (hJJNN = hJJJN = hNNNJ — = 0). Для оценки коэффициентов hJKGN в случае различных по
перечных мод при |
Q = 0 |
в резонаторах |
от конфокального до |
||
плоского (L/b ^ 1) |
используем интеграл (14.44). Тогда получим |
||||
hjKQN —ho {1 - |
(М + |
N? • 4 • K |
r t 6/*6}, |
(14.45) |
|
где |
nKf |
2п |
|
|
|
I. |
|
|
|||
Л ( ) : = L X ( M + N) ~ L 2X ЭГС g Ь •
§ ] |
РЕЗОНАТОР С ПЛОСКИМИ |
ЗЕРКАЛАМИ |
255 |
3 |
|
|
|
Анализ |
формул (14.40) —(14.45) |
показал, что hJKGN/h0^ 1, |
|
в следующих случаях:
а) для поперечных мод в резонаторах, близких к плоскому,
L/6 < 1, |
Q= 0, |
M + N = |
2, 4, 6; |
б) для продольных мод в резонаторах, |
близких к концентри |
||
ческому, |
|
|
|
ЦЬ-> 1, |
Q = 1 , 2 , 3 , М + ЛГ = 0. |
||
В остальных случаях Hjkgn < |
h0. |
|
|
§ 3. Кольцевой резонатор с плоскими зеркалами
Для расчета поля в кольцевом резонаторе с N плоскими зер калами используем модель закрытого резонатора. Решая урав нение Гельмгольца (11.6) с граничными условиями Еа = 0 на боковых поверхностях и условием периодичности вдоль оси z Еа(х, у, z + L) — Еа(х, г/, г), получим выражение для собствен ной функции Еа(х, у, z)
|
|
|
|
|
|
2nq. |
(14.46) |
|
№ |
■Sin |
Т^/Па)- Sin |
^ --- t l X |
|||
|
|
L i |
/ |
\ L 2 cosа |
/ |
|
|
Ось z |
(х = 0, у = |
0) |
расположена на |
границе |
резонатора; |
||
та, па |
= 1, 2, 3, ... |
;V = L\L2L cos а — объем резонатора; L — |
|||||
периметр резонатора; L\ — размер зеркала в направлении оси х, перпендикулярной плоскости резонатора; L2— размер зеркала в направлении оси у, лежащей в плоскости резонатора; 2а — угол между соседними плечами в равностороннем кольцевом резона торе. В резонаторе с плоскими зеркалами масштаб поперечного распределения поля постоянен вдоль оси резонатора. При усло вии L !§> L\, L2 собственные частоты резонатора имеют вид
QW a |
= |
-f{ 2lt \яа + («1 + |
б2)j ] |
+ Я2( ^ - + -^jr) }. |
(14.47) |
|
где |
|
___ |
|
|
___ |
|
|
|
TL ’ |
м *= |
L2Y |
ТС cos«’ |
|
|
|
Го, |
па нечетное, |
|
||
|
|
| 1, |
па четное, |
|
||
62= 1, если |
поле поляризовано по оси |
х, и 62 = 0, если поле |
||||
поляризовано в плоскости резонатора у, z. |
|
|||||
Вычислим коэффициенты пространственного перекрытия бе |
||||||
гущих В |
одну сторону ВОЛН |
PVK = |
llJKKJ, Ц/ = |
IIJJJN и |
||
256 |
СП ЕКТР ЧАСТОТ КО ЛЬЦ ЕВО ГО РЕЗОНАТОРА |
[ГЛ. XIV |
Iijjnn, характеризующие конкуренцию, насыщение, деформацию и синхронизацию двух мод, /, N, для случая, когда среда запол няет весь кольцевой резонатор. Подставив собственные функции
(14.46) в формулу (14.22), получим
а) |
|
— |
2 ) |
~V > |
|
|
|
|
(14.48) |
|
где |
0 |
а ^ 2 — число |
несовпадающих |
поперечных |
индексов |
|||||
мод /, |
К. При mN= |
mj, nN = |
tij (моды с одинаковыми попереч |
|||||||
ными распределениями) а — 0 — перекрытие полное |
= |
|||||||||
= = ^ |
= 9/ (4V). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
MJJJN = -jy |
{бзту. т ^ п }. |
~ |
|
|
|
|
|||
|
|
3 ( 6 3т , т бл п |
+ бщ , т бзя , п )]> |
(14.49) |
||||||
|
|
|
V |
J N |
J N |
J |
N |
J |
N/> |
|
J ф N.
Согласно формулам (14.48), (14.49) все вычисленные коэф фициенты вещественны и, следовательно, не зависят от направ ления хода волн.
§4. Связанные моды в кольцевом резонаторе
В§ 1 и 3 данной главы получен спектр частот и распределе ния полей поперечных мод кольцевого резонатора, помещенного
воднородную среду, при пренебрежении дифракционными эф фектами. В этом параграфе рассмотрим качественную картину тех изменений, которые вносят дифракция и рассеяние на скачке неоднородности показателя преломления среды.
Как показано в § 4 гл. XI, изменение распределения полей волн за счет дифракции на конечной апертуре зеркала можно описать следующим образом. Пусть в идеальном кольцевом ре зонаторе без потерь установилась мода N. При учете дифракции поле бегущей волны моды N будет трансформироваться на зер
кале в поля бегущих в том же направлении волн мод Р. Кроме этого, будет происходить и рассеяние во встречные волны как самой моды N, так и других мод. Однако обратным рассеянием волны мы будем пренебрегать. При определенных условиях, ко торые будут оговорены в дальнейшем, коэффициенты обратного рассеяния будут значительно меньше, чем коэффициенты связи волн различных мод, бегущих в одном направлении.
Аналогичная трансформация волны моды N в волны мод Р, бегущие в том же направлении, происходит также и в неодно родной среде, помещенной в резонатор. В отличие от дифрак
ционной связи мод, |
где трансформация происходит на потерях |
(на неоднородности |
мнимой части диэлектрической постоян |
ной е), межмодовая |
связь в оптически неоднородной среде без |
M l СВЯЗАННЫЙ М оды В КОЛЬЦЕВОМ РЕЗОНАТОРЕ 251
диссипации возникает на неоднородности коэффициентов пре ломления — вещественной части е. Активная среда, помещенная в область, где поле в резонаторе меняется по координатам, яв ляется неоднородной как по мнимой, так и по вещественной ча стям е в силу нелинейного характера поляризации, даже если распределение накачки является однородным*). Именно такой случай мы будем рассматривать.
Благодаря межмодовой связи на зеркале и в неоднородной среде в каждом направлении в кольцевом резонаторе возникает волна Еа(х, y,z,t), которая является суперпозицией бегущих в направлении s волн различных мод идеального резонатора
Es(r, t ) = |
S EPt(r)8Ps(t) + к. с., |
(14.50) |
где s = 1, 2 — индекс |
направления хода бегущей |
волны, |
Ер,(г) — поле волны моды Р идеального резонатора.
Основные качественные результаты можно получить, рас сматривая случай взаимодействия двух мод
Es (г, t) = i Ps(t) EPs (г) + i NS(/) ENs (г) + к. с. (14.51)
Амплитуды мод 8 Ps(t) и #лгД0 связаны уравнениями
—g7a~ |
4" А |
-}- О%1§Ps — Q.PtflSPN&>Ns = |
0, |
1 |
Z |
|
(14.52) |
— |
+ ДсОдг — |
+ Qn&Ns— Qn^INP&Ps = |
0. |
Уравнения типа (14.52) могут быть получены из уравнений (11.43), если в них положить равной нулю поляризацию актив ной среды PNs и пренебречь линейной связью между встречными волнами.
Решение системы двух линейных уравнений (14.52) запишем в виде
8Ps = |
EPse ' |
Дм |
(14.53) |
8 Ns ( 0 — Е Ns? |
|||
Подставив |
(14.53) |
в уравнения (14.52), получим |
систему двух |
однородных алгебраических линейных уравнений для ЕРа и ENa. В приближении высокой добротности мод с близкими часто
тами A cojv/2 |
« |
Д(0р/2 <С fip « £2jv |
можно ожидать, что |
Дю/2 |
Qp » со, |
и |
поэтому отбросить |
в уравнениях члены |
второго |
*) В приближении плоских волн, в котором поле не меняется в попереч ном направлении, активная среда остается однородной в поперечном сечении,
9 Под рад, Ю, Л| Климоитовнча