Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§1] ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ 35

Разделив обе части уравнения (3.12) на Dn, получим

Ап =

{Вп()хп+2 + Вп( Iхп)

 

при

п >

2,

 

УаЪ

 

 

 

 

 

 

 

(3.17)

Ап =

-р - (Вп} Iх„ +

 

 

при

/г <

 

 

— 2.

 

raft

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая эти уравнения

методом итераций,

находим

х2=

«2

V

 

 

Я<2)

 

 

(3.18)

 

 

 

B^Bf1

 

А.

YaJ

Л2+ “2

 

 

 

 

 

 

 

 

о(1)в(2)

 

 

 

УаЬ

A i +

У

 

£>4 £>6

 

 

 

 

+

 

 

 

 

х_2 =

дг2.

 

Yab

 

(3.19)

 

 

 

 

 

 

 

Для определения

D0 запишем

уравнение (3.12) при п = О,

выразив D2 и Д_2 через лг2 и лг_2. Учитывая условие (3.19),

получаем

 

 

п(0)

 

 

 

 

 

 

А> =

 

 

 

 

 

 

---------V

 

,

(1)

, •

 

(3-2°)

 

 

 

Ао+ 2

 

 

*а}

 

 

Подставим теперь выражения (3.18) и (3.20) в (3.11). По­ лагая распределение атомов по скоростям максвелловским, т. е.

где и — средняя тепловая скорость, получим следующие выра­ жения для составляющих вектора поляризации еРи2:

ePi.a(t) =

со

 

 

 

(kv?

 

 

 

 

(£,.« + хг,

,) g

'

 

 

 

 

 

+Ф)- е ~

d(kv).

(3.21)

 

 

 

1А° + 2 i

^

’^з}] ( й ? Ь + iyab)

 

 

— 00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

,

4я2 1erfaj |2 /iD°

 

 

характеризующий

накач­

Здесь

a =

----^j/~nku------- параметр,

ку, ku — доплеровская ширина линии усиления.

Величина еР через параметры a n d зависит от направления вектора йаь- Усреднение по направлениям этого вектора при про­ извольных значениях поля в общем случае выполнить не удается. Ниже рассматривается приближение, когда тензор

(dab)i{dlb)j диагоналей, т. е.

(d a b )i (d ab ) f = -g* б /у I d ab р ,

8 *

36

РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ АКТИВНОЙ СРЕДЫ

[ГЛ. Ш

В этом приближении параметры a n d определяются выра­ жениями

д _ \dab Р

^ 4я2| dab I2 пР°

Зй2у2 ’

ЗЙ У п ku

Выражение (3.21) справедливо при любых значениях пара­ метров уа, уь, \а ъ , и — (Оаб, ku и произвольных значениях полей встречных волн. Однако в общем виде оно является весьма сложным (так как величина лг2 представляется в виде бесконеч­ ной дроби) и едва ли применимо для конкретных исследований.

В связи с этим возникает задача аппроксимации выражения для векторов поляризации более простыми приближенными формулами.

§ 2. Выражение для вектора поляризации при пренебрежении пространственной модуляцией населенностей рабочих уровней

Существенные усложнения в формулах (3.21) связаны с уче­ том пространственной неоднородности разности населенностей в поле стоячей волны. Попытаемся выяснить, к каким погреш­ ностям приводит пренебрежение неоднородностью разности на­ селенностей D.

Анализ выражений (3.18) —(3.21) показывает, что в случае неоднородного уширения линии, когда

- А - ( 1 + а £ * )« !

(3.22)

при условии

 

- ^ - а Е 2 < 1,

(3.23)

YаЬ

 

можно пренебречь пространственной модуляцией разности на­ селенностей.

Заметим, что условия (3.22), (3.23) не совпадают с условием применимости теории возмущений аЕ2 ■С 1, поскольку в газовом лазере при обычных давлениях смеси отношения \ 2/уаЬ2 и

уab/(ku)2 являются малыми. Действительно, взяв значения уа, уь

иуаь из работы Форка и Поллака [1], получим, что при измене­

нии давления гелия от 1 до 3 мм рт. ст. У2!уаЬ2 убывает от 0,18 до 0,06, а у2аЬ I(ku)2 (при ku = 1000 Мгц) возрастает от 0,005

до 0,04. Таким образом, условия (3.22), (3.23) могут выпол­ няться в достаточно сильных полях (аЕ2 ^ ,1 ).

Следует отметить, что условия (3.22), (3.23) являются доста­ точными, но не необходимыми для справедливости пренебреже­ ния пространственной модуляцией населенностей. Действитель­ но, как будет показано ниже, при точном решении в частном

§ 2]

ПРЕНЕБРЕЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

37

случае нулевой расстройки и — ааь и уа = уь = Уаь = у про­ странственная модуляция может быть несущественной даже при

у2аЕ2/уаЬ2 > 1.

Рассчитаем вначале поляризацию среды, полностью прене­ брегая пространственной модуляцией. В этом случае из выра­ жений (3.4), (3.20) и (3.13) следует

R==Rm V- дюч.2ь ^ ? [ ^ + fet,)2+Vab]+a£2 f(^ - M 2+vL1 >

D = от [(ix -fe ^ + v ^ n ^ + fe^ + vL] _

 

 

(3>24)

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

Г4 =

[(и - kv)2+

Y*6] [(|i + kvf + y2ab] +

 

 

 

 

 

+

ч\ь {аЕ\ [О* + kvf

+ -y2»] +

aEl [(р — kv)2 +

y2J}•

Подставляя

(3.24) в выражения для раь±1, в соответствии с

(3.9)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

ft. . , -

^

д . О - ^ -

' Ч М

^

+

А ! Е к „

,3.25,

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

ePxAt) =

 

 

 

 

 

kV

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

(р Т fep - /уаЬ) [(ц ±

kv)2+

у аЬ2 ] е

<*“>’

 

 

I

(3.26)

 

 

Т*

 

 

 

d (kv).

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что выражение (3.26) является приближенным лишь для режима генерации двух встречных волн. В режиме генерации одной бегущей волны (£, = Е, Е2 = 0) оно является точным, так как в этом случае пространственная модуляция на­ селенностей вообще отсутствует.

Интеграл, входящий в выражение (3.26), в общем случае не берется. Вычислим его в двух частных случаях: 1) для режима бегущей волны и 2) для режима двух встречных волн при усло­

вии а\Ё\ — Е\\ 1. Второй случай соответствует как режиму стоячей волны в линейном лазере, так и режиму двух встречных волн в кольцевом лазере в слабом поле или же при состояниях, далеких от границы области неустойчивости двухволнового ре­ жима (см. гл. IV). В случае одной бегущей волны (Е\ = Е, Е2 = 0) получим следующие выражения для действительной и мнимой частей комплексной поляризуемости х:

х' = 0, х"

(Р = (х'-\-Ы")Е). (3.27)

4л

У1+ аЕ?

38

 

 

РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ АКТИВНОЙ СРЕДЫ

1ГЛ. III

Для простоты формулы (3.27) записаны в нулевом прибли­

жении по параметрам уаъ1(ки)

и (м — юаь)/(ки). Это оправдано

при выполнении неравенств

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ю ~ юаь)2 <

1,

Vgft 0 + аЕ2)

< 1.

(3.28)

 

 

 

(*«)*

 

 

 

 

т 2

 

 

 

Во

втором случае

при

а\Е\ — Е\\

<С 1,

полагая

выполнен­

ными неравенства (3.28),

имеем

 

 

 

 

 

 

 

4я

YaS< r

*

tl f2 Г

 

 

 

 

 

 

2) >

 

'

Р [ 1 - ( 1 - 2 ^ ) Я а ( ^ .

1.2'

J L f { \ + F [ \ + 2 { \ - 2 ) F a ( E ] - .

 

(3.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь обозначено

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УаЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(® ~ ®аЬ?+ У1ь

 

 

 

 

f =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1/2

(3.30)

 

( /

2l 2 'aE+ l

- 1

+ 2 2

+

З ’аЕ2)

 

 

 

2

 

 

 

 

F =

 

 

1

 

 

E2 __E\ + E\

 

 

 

 

V 1 +

2Z a E l

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности,

 

при со =

соа& (S£ = \ )

из

формул (3.29),

(3.30) для

режима стоячей волны получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: 0,

 

к"

 

d

 

 

1

 

(3.29а)

 

 

 

 

 

4л

V 1 + 2аЕ\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражения

(3.29а)

по форме совпадают с соответствующими вы­

ражениями (3.27) для режима одной бегущей волны.

 

Рассмотрим формулы (3.27), (3.29) для предельных случаев

слабого (аЕ2 «С 1)

и сильного

(аЕ2 >

 

1)

полей. В приближении

слабого поля для режима одной бегущей волны получаем

 

 

 

 

 

 

* ' = - - £ ( 1 —

 

 

(3-31)

а для

режима двух встречных волн

 

 

 

 

 

 

«1. 2 =

'

d

с о

—

 

а > а »

УаЬ

 

2

аЕ2' ,,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4я

 

2

 

(® —ыаь)

+ УаЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.32)

 

у! ' _

 

 

 

 

1

 

 

 

 

У2аЬ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

------- I 1 ------ аЕ2 2------

 

 

2

 

 

*1.2 —

4Я

V

2

 

 

( ф•

~ а аЬуг + Уаь

 

 

 

 

 

 

 

§ 3]

 

УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ м о д у л я ц и и

39

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае сильных полей для режима

одной бегущей волны

 

 

 

■0,

%"=

d

 

 

(3.33)

 

 

 

4я VTE2

’ '

а для режима двух встречных волн

 

 

 

 

 

 

_

d

со —соаЬ

1

 

 

 

. (3.34)

 

и, 2

4я

YаЪ

V2аЕп ’

и 1,2 =

—

4я V 2аЕ\

 

 

 

 

 

§ 3.

Расчет поляризуемости

 

 

 

 

с учетом пространственной модуляции населенностей

 

для частного случая Ya = Y6 = Ya6, ® —

 

 

 

Чтобы выяснить влияние пространственной модуляции насе­ ленностей, решим теперь задачу точно, в частном случае, когда Ei = Е%= Ео, уа = уь = уаь — у, © = соаь. При этом точное вы­ ражение для вектора поляризации может быть получено в бо­ лее простой форме, чем (3.21).

В рассматриваемом

случае уравнения (3.4)

можно записать

в виде

 

 

 

 

V l l r + yD + 2i т

Е° sin (kz) (dbaPab— dabPba) =

Y^(0).

v-^§L + ypab + i ^

E 0sin(kz)D =

0,

(3.35)

 

Pba ~

Pay

 

 

Составляющая вектора поляризации P(t) выражается через pab

следующим образом:

ОО L

 

 

P(t) =

20*iB.

J | fsa6 sip kz dzdv.

 

(3.36)

 

 

 

 

 

— oo 0

 

 

Установившееся

решение

системы уравнений

(3.35) имеет вид

D = = VD(°)X

 

 

 

 

 

 

X

ш

2'

{

2 v lfaE%

z')]jdz'f

(3.37)

 

co s I ---- kv---- [cos * Z — C0S ^ (z +

edbaPab

2 \ v \ f 3

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

e 1v1

sin | —

[cos kz — cos k (z + z')] ] dz\

(3.38)

Верхний знак в формулах (3,37), (3,38) соответствует v >,0, нижний — v <С 0.

Смотрите также файлы