ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
§ 11 ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЕЙ 263
мущение (дифракция, нелинейная деформация поля и т. д.) при
водит к |
неодинаковости полей встречных волн Ex{x,y,z) и |
Е2(х, у, z) |
в трубке с активной средой. В силу этого нелинейные |
сдвиги частот генерации встречных волн, которые зависят от взаимодействия полей волн с активной средой, оказываются раз личными, т. е. возникает расщепление частот coi — to2- •
Для исследования столь тонкого эффекта приходится отка заться от метода заданных форм поля, развитого в гл. II, и ре шать самосогласованную задачу по одновременному определе нию пространственных распределений комплексных амплитуд
встречных волн Es(x,y,z) и частот генерации ю3 |
(s = 1, 2). |
В соответствии с экспериментом будем считать, |
что в каждом |
направлении генерируется монохроматическая волна, т. е. счи тать, что резонаторные частоты встречных волн одинаковы, а в идеальном резонаторе без потерь совпадают и поперечные рас пределения полей встречных волн (одномодовая задача):
Е (х, у, z, t) = |
(V -V )£ , (х, у, г) + e~l <V+V) X |
|
|
|
X Е2{х, у, |
z) + к. с., |
(15.1) |
где kq = ^ - , |
L — периметр резонатора, |
q — большое |
целое |
число — продольный индекс волн Е\{х, у, |
z) и Е2(х, у, |
z). |
|
В приближениях квазиоптики (14.6) частоты генерации и поля встречных ТЕМ волн в стационарном режиме могут быть найдены из решения системы двух связанных нелинейных урав
нений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(4& - + |
дгЕ |
|
dEi |
|
|
|
|
ду Г*) + |
ic d z |
|
||||
|
|
|
— ^ |
( — Л!— Г а |£, ? — На\Е2?) Еи |
||||
|
|
|
2Nпор |
|
|
|
(15.2) |
|
, |
„и \ п I |
с |
( дгЕ2 |
, |
д2Е2\ |
. |
дЕ2 |
|
(©2 |
Ckq) Е2+ |
2k у дх2 |
+ |
ду2 ) |
1C |
дг |
— |
|
|
|
|
— ^ |
|
( _ м — Ha\El f — Wa\ Е2?) Е2. |
|||
|
|
|
2Nпор |
|
|
|
|
|
Комплексные коэффициенты усиления — М, насыщения W и не линейного взаимодействия встречных волн Н даны формулами
(11.66)
М = — а— х(л |
= —Гр=+ //?а, Н = 2 = — т+ /р. |
Параметр No(х, у, z) описывает распределение инверсной засе ленности в резонаторе,
264 |
НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ |
[ТЛ. XV |
Отражение от наклонного /-го зеркала (угол падения а) свя зывает волну, распространяющуюся в /-м плече, с волной в
(/гЬ1)-м плече (см. рис. 14.2, формулы (14.10) —(14.14)). При отражении светового пучка от зеркала с неоднородным коэффи циентом отражения либо от зеркала ограниченной апертуры не которая часть пучка уходит из резонатора, а небольшая его часть рассеивается «назад» в направлении встречной волны. Пре небрегая обратным рассеянием можно написать условия отра жения излучения от зеркала в следующем виде:
expj ik cos а ( + |
°) } е 1ш/+1 (х, |
у, z) = |
|
|
|||
= R,(x, |
у, z) exp | — ik cos а ( - - + y^ |
co&2 a ) j Eu, (x, y, |
z), |
||||
|
|
|
2R |
|
(15.3) |
||
R/(x, у, |
г) exp | — ik cos а |
x2+ f/2/cos2 a |
|
||||
У, |
z) = |
||||||
2R |
) } £ 2,/+ i (*. |
||||||
|
|
= |
exp| ik cosa^ x2 + y2lcos2 a |
)}**■'* |
|||
|
|
|
|
W |
|||
Равенства (15.3) осуществляются на поверхности сферического зеркала
|
z = z, + y tga- |
х2+ у2!cos2 a |
|
|
|
|
2R cos о |
’ |
|
||
|
|
|
|
||
где x, у, |
г — координаты, связанные с /-м |
плечом |
резонатора |
||
(см. § 1 |
гл. XIV), Zj — координата точки пересечения оси резо |
||||
натора с /-м зеркалом. |
Функция Rj{x, у, z) описывает простран |
||||
ственную |
зависимость |
комплексного коэффициента |
отражения |
||
с учетом |
дифракции на ограниченной апертуре /-го зеркала. |
||||
В случае идеального отражения от «бесконечного» зеркала Rj = = —1 для ТЕ волны и Rj = 1 для ТМ волны.
В любом сечении кольцевого резонатора поля бегущих волн
удовлетворяют также условию периодичности |
|
Еи2(х, У, z + £) = £,, 2(х, у , z) |
(15.3а) |
Если в резонаторе имеется диафрагма, то, пренебрегая обратным рассеянием, прохождение излучения через диафрагму, стоящую в сечении z', можно описать следующими условиями пропу скания:
Т(х, у)Е1{х, у, z' — 0) = El (x, у, z' + 0),
Е2(х, у, z' — 0) = T (х, у) Е2(х, у, z' + 0). ( '
Вид комплексной функции пропускания Т(х, у) определяется формой диафрагмы.
Вследствие дифракции и неоднородности коэффициента от ражения условие непрерывности поля, связывающее отраженную
266 |
НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ |
[ГЛ, XV |
и вещественности частот coi и аг получим |
|
|
со, — со2 = — |
a Re (H — W) v |
|
|
V |
(15.5) |
|
|
|
Im |
= 0. |
(15.5а) |
v
Из выражения (15.5) видно, что разность частот «и — ю2 воз никает из-за нелинейного взаимодействия поля со средой. Она отлична от нуля, если пространственные распределения плотно сти энергии встречных волн в среде |£ i( r ) |2 и | £^2 (/") |2 различ ны. Такое различие существует в пустом резонаторе, либо воз никает из-за нелинейного взаимодействия поля со средой.
» Причиной различия полей в пустом резонаторе является ди фракция. Если в резонаторе имеется только одна диафрагма, то распределения полей встречных волн на апертуре диафрагмы одинаковы. Поле на диафрагме можно представить в виде раз ложения по функциям (14.1)— поперечным модам идеального резонатора. Однако фазовые скорости разных мод (14.1) раз личны. В силу этого поперечное распределение поля волны при распространении ее в резонаторе в отличие от мод (14.1) ме няется неподобным образом. Поперечное распределение волны в данном сечении зависит от оптического пути по ходу волны между рассматриваемым сечением г и диафрагмой г'. Для одной волны путь равен z — z' . Для встречной волны это расстояние равно L — \г — г'\. Следовательно, *различие поперечных рас пределений встречных волн определяется разностью длин их пробегов от диафрагмы до рассматриваемого сечения
L — 212 — z' | .
В |
соответствии с |
этим разность полей встречных волн |
Е\ (х, у, z) — Е2(х, у, г) |
меняет знак дважды: при переходе z че |
|
рез г' |
и при переходе г |
через точку z = z' — L/2. |
При наличии в резонаторе двух и более ограниченных апер тур поперечные распределения полей на самих апертурах раз личны. Это приводит к различию дифракционных потерь встреч ных волн на каждой апертуре в отдельности. Однако суммарные потери и полные набеги фаз встречных волн за проход по зам кнутому пути в резонаторе остаются одинаковыми. Последнее определяет равенство резонаторных частот встречных волн. При