Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

272

н е л и н е й н о е р а с щ е п л е н и е ча с то т

[ГЛ. XV

Первое приближение для генерируемой моды. Из системы (15.11) с учетом выражений нулевого и первого приближений получим следующие уравнения:

<> +

т г ~ V

е , (v e 'S. +

« а д

= -

Е

-

 

 

 

 

 

b-jbN

 

 

Л'пор

S { ^WVAW

2

^

+ W7 Re (Мадууд/Ям) +

 

 

b+ N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Я Re

 

 

(s, s' = 1,

2,

s Ф s').

 

Решая эти уравнения, получим выражение для сдвига частоты генерации волны ©^

 

тЕ

Р + Т

ДсОддЛ

 

(дО) =

а + Р

2 /

+

S

 

 

 

ЬФЫ

 

 

 

(15.16)

С помощью (15.15) и (15.15а) получим, что со',1’= ©у. Таким

образом, в первом

приближении по коэффициентам распреде­

ления RSpN частоты

генерации ©0 + ©(1) одинаковы для встреч­

ных волн.

 

* Смещение частоты генерации ©(1) состоит из трех членов: линейного а*1», пропорционального интенсивности ©у* и пропор­

ционального квадрату интенсивности ©^>.'

• Первый член в а*,1’ связан со смещением резонаторной ча­

стоты Qn из-за дифракции, второй определяет смещение частоты генерации, пропорциональное изменению интенсивности, возник­ шему при изменении резонаторн ix потерь.» Сдвиг частоты Qjy и ширины резонанса A©jv при учете связи мод могут быть объяс-

§ 2]

ОДНОМОДОВЫЙ РЕЖИМ ГЕНЕРАЦИИ

273

йены на основе формул (14.60), в которых параметр связи т2 нужно считать равным

- т 1 т &Р-

Если N — мода с наименьшими потерями, то дополнительный вклад, вносимый в Дю^ при учете дифракционной связи, имеет отрицательный знак, т. е. потери уменьшаются по сравнению с их первоначальной оценкой в нулевом приближении.

ЛСдвиг

частоты <4" линейно

зависит

от

коэффициентов

связи ’ть%.

Если электрические

векторы полей

мод b и N па­

раллельны,

т. е. (е*влг) = 1 и

коэффициенты

отражения

равны

гх = гу = г,

то согласно (11.28)

mfN можно представить

в виде

mt% = 2/v0£ (бтьт„6nbnN- г М Ъ ) е - 1*™ Ы .

(15.17)

Здесь Mbh — интеграл перекрытия полей мод Ь и N на l-м зер­

кале (см. (11.32), (11.33)); (fsbN(zl) =

(kb- k N) z i—(fb(zl) + (pN(zl)—

разность фаз

мод для волн, бегущих в направлении s в точке zt

нахождения

/-го зеркала (ф^ (z) =

—q>lbN(г));

п — число зеркал

кольцевого

резонатора.

и (14.22),

можно показать,

Используя

выражения (15.17)

что суммирование в формуле (15.16) нужно

проводить лишь

по модам, у которых хотя бы один поперечный индекс отличен

от

индексов

моды N. Для таких мод коэффициент DbNss

=

Im

« V ' b N N N

можно представить в виде

'bN

и*

 

 

 

(15.17а)

г'~Т

где

Ф&лг (z) = (kb — kN) z — (ть — mN)arctg ( J j) —

— («» — «#)arctg

коэффициент h0 определен формулой (14.28); z0= (2, -f z2)/2 — центр трубки; l — (z2— 2,) — длина трубки. Величина и знак

коэффициента D% зависят от расстояния между центром трубки

274

НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ .

[ГЛ. XV

и диафрагмой;

при

\ zQ— гг I -j

3L п ц\

В при-

-4- D&jv меняет знак.

ближении короткой трубки / <С

 

 

Dw

■

( ^ ™ - ) cos\щы{z0) - q bN (zt)} МУЪ.

(15.176)

bN ■

Знак смещения

частоты

определяется спектром

частот

резонатора QbN и, согласно (15.176), расстоянием между диа­ фрагмой и центром среды |z0 — Zi\.

' Сдвиг частоты Ц1* не зависит от дифракции и определяется нелинейной деформацией поля волны в активной среде.* Коэф-

фициент деформации

VbNNN

 

abNNN

hbNNN

, Г Д е

flbNNN

VN

\

“V

hn

 

 

трубки

определен формулой (14.26).

В

пределе

короткой

1Ti&jvjviv| = hb (см. (14.33)).

Тот факт, что продольные моды с одинаковыми поперечными индексами не вносят вклада в ©0), означает, что неполное отра­ жение зеркал, связывающее только продольные моды с коэффи­ циентом связи т |^ ~ ( 1— г), не приводит к смещению частоты

генерации в первом приближении по rj.

Перейдем к определению разности частот генерации встреч­ ных волн. Согласно формулам (15.7а) и (15.9) разность coi — м2 является величиной второго порядка малости. При выполнении условий

I m ( W — Я )

PcNNN

 

Re («7 - Н)

Im | S № cN —

 

 

 

I^cNNNI ^

(15.18)

 

 

 

выражение для

разности частот (15.7а) можно

представить

в виде

 

 

 

ДсОрЯ^! w ■ НI

 

©! — (02

( W - H )

 

^CiV

2 Im

b, с

 

 

(15.18a)

 

 

 

Из выражения (15.7а)

следует также, что ©i — ю2 =

О при W =

= Н. Стремление разности частот ©i — со2 к нулю наблюдалось на экспериментах [2, 3] при генерации вблизи центра линии уси­ ления одноизотопного Не—Ne-лазера на X = 0,63 мкм, где

W w Н (см. рис. 15.1).

§3]

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАТОРА И СРЕДЫ

275

§ 3. Зависимость расщепления частот генерации встречных волн от параметров кольцевого резонатора

иактивной среды

Впредыдущем параграфе выведена формула (15.18а) для разности частот генерации встречных волн. В этом параграфе мы займемся детальным анализом этой формулы.

Подставив в (15.18а) выражения (15.14) для коэффициентов

распределения амплитуд./?^ (s = 1, 2) и значение аЕо, получим

 

 

(р — т)2 + (а — Р)2

Дш

 

IV,

 

 

 

со, — со2 =

—

а 2 — р2

 

/■ дГ-^лгХ

 

 

 

 

^

/v пор

 

 

 

х £

 

 

 

 

Q N c +

 

 

 

1 VoQfjb^NcPbc +

Ь, сфЫ {Qllb+ ('

 

(

A °> N c ) 2

 

 

 

 

 

Дш,.

N„

 

 

\

2

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

Р +

Т ^

2v0 -

0

г л

гг

( п е л

к

 

 

v° ~ 2

Nnop ^N^NcZcb \ 2Q jv6

 

а +

р / ~~

/ Д ю „ N

\2

Г

 

 

 

 

Р + Т

— 2 Naop

^Ьс Y^Nb^Nc — 4А(ВMc^Nb а

+

+ Аю^Лдйс,^-^!-)2J, (15.19)

где

 

 

Im {v-bcNNmbHmlcN)

 

 

 

be '

 

 

 

 

HiVv0

 

 

 

 

 

 

 

 

Z-Cb —

 

t1MJVJV6,ncJv)

(15.20)

 

 

 

ll>0

 

 

 

 

 

 

 

(-’be

,m (V -b cN N V N K N b P -N N N c)

 

 

 

 

llW

 

 

 

 

 

 

Pn ^ P nnnn»

 

с

ДШд.

Nn

 

 

= —r—7=

т

—— Лм — коэффициент усиления

моды /V;

=

L v e

2

Nnop

 

Qn — Йь; Дсолгь = Дшл— Асоь. Выражение (15.19)

справедливо при выполнении (15.18). Первое из условий (15.18) существенно лишь для лазера на чистом изотопе, где оно приоб­ ретает вид

Таким образом, формула (15.19) не описывает область вблизи центра линии для чистого изотопа. Подставив выражение для ml'fj (15.17) и выражения для цш1 (14.22) в формулы (15.20),

276

НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ

[ГЛ. XV

найдем выражения для коэффициентов РЬс, Zcb и Lbc-

р ьс= —

77 ^

S

(йт&'плАьг,л — riMbh) X

 

'

N ' 0

<=1

А=1

 

 

 

 

 

 

 

 

X (PmcmN^ncnN

rkMc^j P[cn\

Zcb— '

b c N N a N N N b

2

n

 

 

 

~j2

(PmcmN ^ncnN

r l^ c N )

ZcbNt

 

 

 

 

 

 

1=1

A A

 

 

i

 

 

 

 

 

__ [ abcNN°NNNbuNNNc \

^bcff

(15.20a)

 

 

hn

 

4

J

$

 

 

 

 

Коэффициенты поперечного перекрытия мод abcdp даны в § 2

гл. XIV (см. формулы (14.25), (14.27). Интегралы PbcN, Zb%, LbcN и h определяются формулами

 

*о+4

 

 

 

 

 

{f£

 

P&N =

г

Sin fo»JV( Z ) — <P&JV( Zl) +

 

 

(g)

J

ФcN (Z) — VcN (Zk)] ~~-{z) *

Z^bN=

z0+4J

*»+4 sinJ[фсЛГ(z) —ycN (zt) -f- q)jiV(z) — (fbN(z')] X

 

 

 

 

 

 

X

 

dz dz'

 

 

 

 

 

 

Px ( z ) p y ( z ) p x ( г ' ) Py ( г ' ) •

 

 

 

 

 

 

 

z,+4

Sin [<pftA(2) -

 

(20 + <PcAf (Z) -

<fcN (Z")\

,

 

- bcN

Ш "

 

 

 

P x ( z ) p y ( z ) Px ( z ' ) Py ( z ' ) p x ( z " ) p y ( z " )

a Z

»

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

^o+“2

 

 

 

 

 

 

- J

d z

 

(15.21)

 

 

Px ( z )

Py ( z )

■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражения для масштабов px(z)

и py(z) и приведенных ра­

диусов Ьх, Ьу для кольцевого резонатора со сферическими зер­ калами даны в § 1 гл. XIV (формулы (14.5) —(14.19)).

Интеграл /0 пропорционален коэффициенту нелинейного про­ дольного перекрытия мод Л0 (14.28), I0 = L2hQ. Оценка инте­ грала Л0 произведена в формулах (14.29) —(14.34).

Смотрите также файлы