Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл (13,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 173

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

268 НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ [ГЛ. XV

идеального резонатора	(14.1)
е1кягЕх(г) = 2		Ёр1Ер (г) = Ёт	2	R%EP(г),
	Р		Р	/ 1 г Q\
e~lV E 2 (г) =	2	Ёр2Е’р (г) = Ёы2	2	RInE'p(г).
	Р		Р
Здесь RsPN — Eps^ Ns ( s = l , 2), Rnn = R%n =				1-

Напомним, что в идеальном резонаторе поля встречных волн одной и той же моды комплексно сопряжены. С помощью разло

жений	(15.8)	найдем		выражения для коэффициентов р+ и ц_.
Предполагая,		что	коэффициенты				распределения RspN малы
(\| Rpns \| < 1 . Р Ф N),				найдем		Im ц±, Re		и / в первом неисче
зающем приближении:
Re ц +=	влр^,	Im р+ = 8л Im { 2					{RleN ~	R2PNj »'cNNN},
Retx_ =	8nRe{							(15.9)
Im Ji_ =	4л Im\| ^		И'дсАА (R'bN			R2b.t/)(RlcN		^cAf)}.
где				1 =	4^ (E2N\ + E2N2),
где
	K edi =		j -	r -	Eb (r) Ec(r) E'd (г) E) (r) dV
			v	no

( c m . (14.22)).

Теперь мы должны определить коэффициенты распределения

R%p. Для этого воспользуемся уравнениями (11.73), выведен ными в тех же приближениях, что и уравнения (15.2), непосред ственно из уравнений Максвелла. Система (11.73) описывает случай, когда дифракция происходит на ограниченной апертуре зеркал. Считается также, что инверсная заселенность No равно мерно распределена в области внутри резонатора с продольным размером l = z2 — z\ и поперечными размерами, значительно превышающими масштаб поля в резонаторе, так что дифрак цией поля на среде можно пренебречь.

В нелинейных членах уравнений (11.73) положим, что взаи модействие мод происходит на одной частоте. При этом между различными коэффициентами взаимодействия имеется следую щая связь (см. (11.67)):

Ws,p = FSJ= 2Rs = - 2Ps + i2as^ 2W,

E sm q == 3 ? s m — Tsm "4"	=	(15.10)
		E .

5 2] ОДНОМОДОВЫИ РЕЖИМ ГЕНЕРАЦИИ 269

Здесь и в дальнейшем индексы у коэффициентов W и Я опу щены.

Соотношения (15.10) справедливы для любой активной среды при произвольной величине отношения уаьК^и) как для чистого изотопа, так и для двухизотопной смеси. Конкретные выражения коэффициентов взаимодействия W и Н зависят от типа активной

среды и даны формулами (11.67)								или формулами (11.60), в ко
торых нужно положить скорость v равной нулю.
С учетом соотношений (15.10) уравнения генерации (11.73)
для	невращающегося				кольцевого лазера				(QPi = й р2)	в стацио-
парном режиме			dEpi		=	dEpt	= 0	запишем в следующем виде:
парном режиме			■ d{		=	- Ai	= 0	запишем в следующем виде:
						dt
[<0\| — Qp —			Nnot>°			I Да N		N 0
[<0\| — Qp —		2	Nnot>°			Ч	AT,
—	~2	ШрьЕы		AqV		no	w	2 V - \ c d p a E b i E p \ E d i +
—	~2	ШрьЕы				Nnop	w	2 V - \ c d p a E b i E p \ E d i +
	b&p							bed
							+	Я ^ V-\dcp^Ebi £ С2Я<й1'»
								bed		J
©2 — йр —		д ®лг	No	a —						(15.11)
©2 — йр —			N,nop	a —
			-«(■		ДаN			д®N	л®ру	—
			-«(■		2	N,nop		2	2 / Epi	—
: ~			Да.			N,
: ~	"2 S m2pb^b2					N,	L	bed	d2 +
	b^p						L	bed

+Я ^ ilbdcpa^b2^cl^dl 1

bed J

В уравнениях (15.11) добротности встречных волн пола гаются одинаковыми и пренебрегается линейной связью встреч ных волн.

'При чисто дифракционной связи волн коэффициенты линей ной связи волн в одном направлении |т ^ р| значительно больше,

чем коэффициенты обратного рассеяния встречных волн | |.'

Так, в кольцевом резонаторе со сферическими зеркалами, если радиус апертуры зеркала d > рх>у— масштаба поля на зеркале, можно дать следующую оценку (см. § 4, гл. XI, формулы

(11.31) —(11.33) и (11.42)):

т Np12	hd cos^ a	/	4sid	< 1,
ss	----5------ sin		----- sin a	< 1,
т Np	4npy sin a	\	A,	,

270	НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ	[ГЛ. XV
где	N — основная мода 00q, р — четно-четная мода	(р = 2т,
2п).

•' В этом случае нелинейное дифракционное расщепление ча стот генерации встречных волн много больше области их син хронизации и при отсутствии других невзаимных эффектов разность частот генерации a»i — «2 полностью определяется нелинейным расщеплением частот встречных волн. В других условиях нелинейное расщепление частот вносит вклад в раз ность частот генерации о>х— сог аддитивно с другими линейными невзаимными эффектами, приводящими к различию частот гене рации встречных волн.1

Для того чтобы уравнения (15.11) описывали одномодовый режим (15.1), будем считать, что условия генерации выполнены только для самой добротной моды с индексом N

А ».,		г\<	Дсо0 Доз,	(15.12)
0 < — — —		г\<	(рФЩ.	(15.12)
^ 2	N.пор

Все другие моды р ф N (в дальнейшем будем называть их предпороговыми) описывают искажения полей встречных волн из-за дифракции и нелинейности среды. Таким образом, даже в слу чае одномодовой генерации мы должны рассматривать следую щую многомодовую задачу: одна сильная генерируемая мода N и остальные слабые предпороговые моды р ф N.

Из уравнения для предпороговой моды определим комплекс ную амплитуду моды Ера (р Ф N). Из уравнений для генерируе мой моды найдем частоты генерации и вещественные ампли туды ENs.

Так как уравнения (15.11) не зависят от фаз встречных волн генерируемой моды и можно, без потери общности, считать эти фазы равными нулю, то число неизвестных в системе (15.11) равно числу уравнений.

Будем решать уравнения (15.11) методом последовательных приближений, при условии малости амплитуд предпороговых мод

(P¥*N).

Нулевое приближение. В нулевом приближении будем пре небрегать связью между модами и учитывать лишь нелинейное взаимодействие встречных волн генерируемой моды N. Полу чаем известный результат: двухволновой режим, при котором амплитуды и частоты встречных волн равны

г«2	=	г*2 __ р2	%	t
	=	— £о-	<Ч*дг (а + Р) ’
			<Ч*дг (а + Р) ’
		До,	Nn	Р + т Даз^о

®ЛМ— ®N2— — £2N.	Nпор	-а +	а + р

§ 2]

ОДНОМОДОВЫЙ РЕЖИМ ГЕНЕРАЦИИ

271

Из уравнений (15.11) для предпороговых мод (р ф N) и условия (15.12) видно, что при пренебрежении связью с генери руемой модой амплитуды предпороговых мод равны нулю.

Первое приближение для предпороговой моды

(о», - ‘	Ш ! — [ ? % - +	^	V	+ И ) а й )
где				(15.13)
где	Qnp = Qn — Qp, Асо^р = со^		Ир	{рфЫ’ ).
	Qnp = Qn — Qp, Асо^р = со^		Ир	{рфЫ’ ).

Уравнения (15.13) являются неоднородными. В правой части (15.13) стоит вынуждающая сила, пропорциональная амплитуде генерируемой моды.

Из уравнений (15.13) следует

Ёр1 =	RpsNEo,		(15.14)
4pN ц «		Nn
			(W + H) aE20
*^NNNp	о	N „

R p N = m

	[bap	A«v \
’	N ^ 2	2 /

Малость амплитуд предпороговых волн \Ера\ при линейной и нелинейной связи мод определяется условиями:

Дсоп	{рФЫ, 5 = 1 , 2).

- % - 1{

По терминологии теории колебаний эти неравенства являются условиями малой связанности мод N и р для многомодовой колебательной системы с затуханием.

Согласно выражению (11.28) при вещественных коэффициен тах отражения гх и гу и линейной или круговой поляризациях полей мод, а также при эллиптической поляризации с главными осями эллипса вдоль х и у справедливы соотношения

m'pN= ~ тТы= mNp•

(15.15)

Согласно формуле (14.23)

^AWJVp = ^JVAfp = V-pNNN-

(15.15а)

Из выражения (15-14) в силу соотношений (15.15) и (15.15а) получим

R p N

Ё - Ы р ‘

(15. 156)