Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 169

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8 3]

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАТОРА И СРЕДЫ

277

Если в кольцевой резонатор помещена короткая трубка с активной средой (такая, что длина активной среды I bXlby), то можно получить приближенные выражения для интегралов

(15.21)

pH. к)

“bcN

L cbN

s i n ( k b N + k cN) l / 2

(kbN kcN)

X sin [(p&iV(z0) —q>bN (zt) -f ФсЛг (Zo) — фсм (Zft)], (15.22)

sin ( k cN + k bN) 1/2

s'n (ЬЬы42)

 

sin[qpcjv (z0) — tfeN(z,)]

(bCN + * b N ) 4*

ЬЬц112

при / <

bx,

by

и l < -J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cN

 

1

 

 

 

bcN

 

1

1

+

 

 

 

 

I2\b*x +4z$

2 j ^0l*ki,ffkeif (k^N “b kcft),

где

 

 

 

by + 4zq

 

 

 

 

 

 

 

 

bx/2

 

 

by! 2

kbN === k b

k ff

•(mb — tnN)

 

(nb — nN)

 

 

(byllY + 4,2 ‘

 

 

 

 

 

( b x/ 2) 2 + z 2Q

 

 

Для кольцевых резонаторов с большим радиусом сферических

зеркал Rt^_L приведенные радиусы bx

 

w b v растут пропорцио­

нально

V R-

В

этом случае

условие

I

bx, Ьу выполняется,

даже когда активная среда распределена по всей длине кольце­ вого резонатора I т L .

В формуле для разности частот (15.19) стоит двойная сумма по всем модам, отличным от генерируемой моды N . Рассмотрим суммирование по продольным модам, имеющим такое же попе­ речное распределение, как и генерируемая мода N . Потери всех продольных мод одинаковы, т. е. А&т = 0; разность фаз таких мод равна

 

ФNb(z) = sNb^ ,

(15.23)

где

SNb = QN— Щь пробегает целочисленные значения

от — оо

д о

+оо. Соответственно спектр частот эквидистантен, т.

е.

 

&Nb —2jtsAfjVo.

(15.24)

Из выражений (15.20а), (15.21) и (15.23) следует, что коэффи­ циенты Р ьс, Z cb и L bc меняют знак при одновременной замене

SbN—►—sbN и scjv—*■—sCN- Например,

P bc (s bN> s cn) = — P b c i — s bN> — s cn)-

Учет этого свойства коэффициентов P bc, Z cb для спектра (15.24) приводит к тому, что

и L bc и выражения двойная сумма по

ш НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ [ГЛ. XV

продольным модам в формуле (15.19) равна нулю. Таким обра­ зом, суммирование в формуле для разности частот (15.19) прово­ дится лишь по таким модам с и Ь, у которых по крайней мере один поперечный индекс отличен от поперечного индекса моды N. При этом продольные индексы мод с, b и N могут как совпадать, так и отличаться друг от друга. Этот факт означает, что в одно­ мерной модели плоских волн невозможно получить эффект расщепления частот, необходима трехмерная модель с учетом неоднородности поперечного распределения поля.

Выражения для коэффициентов Рсь и Zcb для различных по­ перечных мод можно упростить:

Pcb —

/

abcNN

\

 

г М№ г

Р<1-*>

V

aN

)

u

' t m bN к

cNr bcN >

 

i= l k=l

(15 .2 5 )

 

 

 

 

 

 

7 -

( abcNNaN N Nb

)

т Ь .

 

t'cb —

<4

 

 

 

{

 

/

I q <=i

 

Из формул (15.25) видно, что если апертуру зеркал увеличить до таких размеров, чтобы можно было пренебречь дифракцией

(Mbjv=0), то Р сь — 0 и Z cb = 0. Таким образом, расщепление частот за счет этих коэффициентов не происходит.

Из выражения (15.19) видно, что расщепление частот яв­ ляется нелинейным эффектом, причем в (15.19) входят члены, отвечающие разным физическим механизмам, с различной сте­ пенью зависимости от цм~аЕ1. Разность частот (15.19) можно

представить в виде

ю , — со2 = Ай,11лг+

+ ASgTft.

(15.26)

Здесь Доп содержит члены, пропорциональные Рсь, т. е. члены второго порядка по дифракционным коэффициентам связи мод. Член Дацц является результатом дифракционного искажения полей встречных волн. Дй2 ~ Z cb зависит линейно от дифрак­ ционных коэффициентов связи и линейно от коэффициентов aNNNb, определяющих нелинейную деформацию поля в активной среде. Член Дй2г]2 возникает в силу интерференции дифракцион­ ного изменения и нелинейной деформации поля, разной для встречных волн. Член ДйзТ^, пропорциональный Lbc, не зависит

от дифракции и имеет чисто нелинейный характер. Каждый из членов AcOjrpv, Доу!2,, Дю3т]^ имеет наинизший для своего эф­

фекта ПОРЯДОК ПО T)jv.

При соблюдении условия

4с

N .

aNNNb

(15.27)

= \ м b N »

----%

aN NNN

T V 8

N пор

 

§ ]

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАТОРА И СРЕДЫ

279

3

 

 

выполняются неравенства

 

 

 

>

Дй2т]^ > Дй3г1^.

(15.28)

Коэффициенты Мъп и

определяются выражениями (11.32),

(11.33)

и (14.276). Коэффициенты c i n n n n даны в

табл. 14.1.

Условие (15.27) означает, что линейная связь мод за счет ди­ фракции много больше нелинейной связи мод за счет деформа­ ции поля в активной среде.

Рассмотрим зависимость параметров выражения для рас­ щепления частот (15.19) от расстройки частоты генерации ю == = (coi-f м2)/2 относительно центра линии усиления озаь- В вы­ ражение (15.19) входят три коэффициента, зависящих от рас­ стройки и — соа&:

р _ _ ( р — т ) г + ( а — Р )2

^2

_ Р + т

~jjT~ “П* (15.29)

1 ~

а 2 — Р2

— а + р *

Два из них, Fi

и (N0/NnOp)r\, — четные функции

со — шаь, коэф­

фициент F2— нечетная функция со — соаь.

Для чистого изотопа с широким доплеровским контуром уси­

ления (уаь •с ku,

| 0) — СОаЬ | <

ku)

 

 

 

 

 

Fi (со — ®ab) =

(м-

(0аЬ)2 + уа2Ь

 

 

 

 

 

(® -

®ай)2 + 2уаЬ2 ’

(15.30)

 

 

 

 

(О - даЬ) уаЬ

 

F2((О— &ab) =

 

 

(аз -

<оа 6) 2 +

2Yaь ‘

 

 

 

 

 

 

В соответствии

с (11.67)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15.30а)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Для 50%-ной смеси изотопов (уаЬ<

к

» Дсонз, | <о0 — и I<.ku)

Nn

 

 

 

 

 

 

 

т пор - М0

Nnop ^ = ( ^ о р - |2) ( 1 - 2 е 2).

 

 

k u

=>пор

k u

 

62

_ ( N\ + Nn

Л

 

 

(15.31)

 

П°Р

I

Л/пор

)

1'

■2ег0

Дш^з

где ю0 — центр

суммарного

контура

усиления,

е0 — ■2k u ~'

Дсоиз— ®аы — ааЬ2— изотопический сдвиг (Дюиз > 0). Выражения для коэффициентов р, т, р, а даны формулами (3.54).

280

НЕЛИНЕЙНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ

[ГЛ. XV

По формуле (15.29) найдем

(15.32)

Для 50%-ной смеси изотопов условие применимости теории возмущения (15.18) выполняется. Поэтому формула (15.19) опи­ сывает расщепление частот coi — юг во всей области генерации.

Рассмотрим зависимость дифракционного расщепления ча­ стот встречных волн Д и ,^ + Дсо2т)^ от длины трубки с активной

средой. Из формул (15.22) следует, что с увеличением длины

активной среды абсолютные значения параметров

и

| Z^v | падают (аналогичную тенденцию можно проследить из

интегралов (15.21)) и, следовательно, расщепление частот уменьшается. Уменьшение разности частот встречных волн при росте длины активной среды объясняется усреднением по длине трубки синуса разности оптических путей встречных волн от диафрагмированного зеркала до точки г активной среды.

В резонаторе с плоскими зеркалами поле однородно вдоль оси резонатора. Поэтому, если среда заполняет весь резонатор

(l = L), то набег фазы (kb — kN)L/2 = n{qb — qw) кратен л и согласно (15.22) Я ^ ) = 0, Z^bN= 0. Соответственно coi — со2= 0 .

Однако в резонаторе со сферическими зеркалами, полностью заполненном активной средой (/ = L) при несимметричном от­ носительно шейки каустики положении зеркала, на ограниченной апертуре которого происходит дифракция, расщепление частот (15.19) отлично от нуля. Физическая причина этого — неоднород­ ность поля вдоль оси резонатора. (В интегралах (15.21) мас­

тер.

штабы px(z) и ру(г) и волновой вектор kb ---- — меняются

вдоль оси 2.)

В кольцевом резонаторе без учета дифракционного искаже­ ния поля существует расщепление частот ©j — ю2~ Д й 3Т1^ лишь

за счет разной деформации неоднородного поперечного распре­ деления полей встречных волн в нелинейной среде

(15.33)

Смотрите также файлы