ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
40 |
р а с ч е т По л я р и з а ц и и а к т и в н о й с р е д ы |
[ГЛ. ш |
Подставляя (3.38) в (3.36), получим выражение для состав ляющей вектора поляризации P(t). Из этого выражения сле дует, что действительная часть комплексной поляризуемости к' равна нулю. Выражение для мнимой части комплексной поляри зуемости к" запишем, выразив интеграл по переменной г через функцию Бесселя
оо |
о 2 |
°° |
|
|
|
|
|
к" = ----- -£ = = ■ / Ц- е~Ъ Jе ~ ^ cos £ |
|
V~а Е0sin с) |
(3.39) |
||||
п у аЕ00 |
о |
|
|
|
|
|
|
Содержащиеся в этом выражении интегралы можно вычис |
|||||||
лить аналитически лишь |
в предельных случаях, которые мы |
||||||
|
|
здесь и рассмотрим. |
|
|
|||
**(*£§) |
|
1. |
|
В случае неоднородно уши |
|||
|
|
ренной линии, |
когда |
|
|
||
|
|
|
у2(1 + |
а£2) < |
(ku)\ |
(3.40) |
|
|
|
функцию e~v*!u2 можно положить |
|||||
|
|
равной единице. Тогда, перейдя к |
|||||
|
|
новой |
переменной |
u — yl(kv), |
|||
|
|
можно |
выполнить |
интегрирова |
|||
|
|
ние по скоростям (см. [11], фор |
|||||
|
|
мулу (5) |
на стр. 164): |
|
|||
===== «■'—4 |
SJ |
sin 2£ dl |
|
||||
£ + |
+ 4а£ц sin2 £ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.41) |
Рис. 3.1. Зависимость мнимой части комплексной поляризуемости к" от квадрата поля.
Интеграл по £ в выражении (3.41) легко вычисляется в слу
чае слабого поля, когда аЕо < 1. Тогда
Такая же формула получается из (3.29) в приближении сла бого поля. Напомним, что формула (3.29) получена без учета пространственной модуляции населенностей.
В случае произвольного поля, удовлетворяющего условию (3.40), интеграл (3.41) был вычислен на ЭВМ. Результаты рас чета представлены на графике (рис. 3.1). Для сравнения на том
же графике пунктиром изображена зависимость и" от аЕо, по строенная по формуле (3.29), т. е. без учета пространственной модуляции населенностей. Расхождение между обеими кривыми
является незначительным (при аЕ\ = 10 — примерно 10%).
5 |
3] |
|
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ |
м о д у л я ц и и |
41 |
|||
|
2. |
В случае однородного уширения, когда |
|
|||||
|
|
|
|
|
у V аЕ\ » |
ku, |
(3.42) |
|
функции sin£ |
и cos £ |
в |
выражении |
(3.39) можно |
разложить |
|||
в |
ряд, |
ограничившись |
первыми членами. Тогда в соответствии |
|||||
с формулой (1) |
на стр. |
164 [11] получаем |
|
|||||
|
|
= |
1ЛаЬ'22" _0> |
\ е |
d(kv) = |
(3.43) |
||
Из формулы (3.43) следует, что в рассматриваемом случае очень сильного поля движение атомов не играет существенной роли и им можно пренебречь. При этом условии из уравнений (3.4) можно получить более общую формулу для комплексной поляризуемости.
При о = 0 уравнения (3.4) представляют собой систему ал гебраических уравнений. Решая эту систему, получим
D = |
Dm {1 + a S [El + El + |
2£ , |
£ 2 cos |
(2kz — Ф)]}- ', |
(3.44) |
R = |
_ J b j f ' & a \E] + El + |
2£i£ |
2 cos (2kz — Ф)] X |
|
|
|
Y+ |
|
|
|
|
|
x (1 + S a [e ] + |
El + 2EiE2cos (2kz — Ф)]} |
(3.45) |
||
|
|
|
|
|
(3.46) |
Выделяя из pab(z) первые гармоники no z и подставляя их в вы ражение (3.7), найдем Рi, 2(t). В частности, при уо = Уь
_ (О—Мдь
|
|
« 1.2 = |
УаЬ |
vl, 2» |
(3.47) |
|
|
|
|
|
|
||
v |
= |4aftfnP(0) |
|
|
|
1т З’а (£? - Е|) |
|
|
___________________________ |
|
||||
*1.2 |
6fiyafta < 2 |
Г |
У1 + 2а’а(15?+Е|) + ала2(£ ? -£ |)2 |
|||
|
||||||
Для |
газового лазера |
выражения (3.47) имеют смысл лишь при |
||||
условии aE\t 2 » |
1. |
Учитывая это, получаем при Е\ ~ |
Е2 |
|||
|
|
|
|
\dab\2nD{0) |
(3.48) |
|
|
|
|
‘■2 |
6fiYai)< 2 |
||
|
|
|
|
|||
При Е\ = Е2 = Е0, уаЬ= у выражение (3.48) совпадает с (3.43). Заметим, что точно такое же выражение получается и без учета пространственной модуляции населенностей.
Из сказанного можно сделать вывод, что учет высших про странственных гармоник элементов матрицы плотности изменяет значение мнимой части поляризуемости в некоторой промежу
42 РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ АКТИВНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. Ш
точной области значений поля. Однако это изменение оказы вается небольшим (~10% ). Поэтому при конкретных расчетах, в которых не рассматриваются тонкие эффекты, пространствен ной модуляцией населенностей для газового лазера можно пре небрегать во всей области значений поля.
Для некоторых же задач, например, при исследовании кон куренции встречных волн в кольцевом лазере (гл. IV), требуется знать более точные выражения для комплексной поляризуемо сти. В этом случае будем исходить из общего выражения (3.21)
и ограничиваться приближением слабого поля, когда a£i, 2 |
1. |
§ 4. Вектор поляризации в приближении теории возмущений по полю
Разложим выражение (3.21) в ряд по степеням поля, отбра сывая члены, содержащие поле в степени выше пятой. Такое разложение соответствует пятому приближению в рамках тео рии возмущений [4, 5, 6].
Из выражений (3.21), (3.18), (3.13), (3.14) следует, что для учета всех членов вплоть до пятой степени поля необходимо учесть нулевую и вторую гармоники разности населенностей и первую и третью гармоники недиагональных элементов матрицы плотности. Проводя соответствующие вычисления, получим сле
дующие выражения для комплексной поляризуемости: |
|
|
|||||||||
ХЦ2 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.49) |
4я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х" == |
d |
|
2 |
|
, Ya& |
Iх |
„ „ п.2 |
q „ п2 |
|
, |
|
и1,2 |
4л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ь1 |
+ |
4 |
(1+ |
0,) |
|
, + 4 (1 + |
|
} |
(3.50) |
|
Здесь |
|
|
|
||||||||
|
|
|
ч1ъ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
р |
2 |
~ 2 (ku)* |
|
(3.51) |
|||
|
|
13?(ku)2 |
|
||||||||
|
|
А |
1 |
V2 |
/ |
1 |
1- |
1 |
\ |
|
|
|
|
3 |
|
' |
|
|
|
||||
|
|
°1 -- |
УаЬ \.2Yab + Ya |
2Yаь + Уьr |
|
(3.52) |
|||||
|
|
02 = |
1 |
4 - 1 |
'УаЪ-Уа | |
УаЬ-Ук ■). |
|
||||
|
|
6 |
|
|
|||||||
|
|
|
УаЪ |
'V2Ya&+ Ya |
2УаЪ+Уь 1 |
|
|
||||
|
|
|
2 |
Н |
. ... HYab |
|
\i.S? |
|
(3.53) |
||
|
|
|
Ул ku ’ |
P |
(kuy |
|
2Yab |
|
|
||
у1ь
(Сй-(йаь)2+ Ya6 ’
Выражения (3.49), (3.50) получены с учетом пространствен ной модуляции населенностей. Сопоставляя их в нулевом при-
§ 5] |
РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ СМЕСИ ИЗОТОПОВ |
43 |
||
ближении |
по уаь/(ки) |
и (и — a>ab)/(ku) |
с формулами |
(3.32), |
можно убедиться, что |
в случае слабого |
поля (аЕ2 «С 1) |
прене |
|
брежение пространственной модуляцией населенностей приво дит к относительной погрешности в %"2 порядка (y2/Yq&) °Е2*)•
§ 5. Расчет поляризации для смеси изотопов активного газа
Формулы (3.49) —(3.53) справедливы для лазера, рабочим веществом которого является чистый изотоп активного газа. Если рабочая среда представляет собой смесь изотопов, отли чающихся друг от друга собственной частотой перехода с верх него рабочего уровня на нижний, т. е. параметром а аь, то поля ризуемость такой среды может быть представлена в виде
«1,2 — 2 Npci, г, г (рЛ-
Здесь Ni — относительная концентрация i-ro изотопа, ц*— расстройка частоты генерации относительно центра доплеров ской линии i-ro изотопа. Конкретные выражения для хцг в слу чае произвольной смеси изотопов получить трудно, так как в этом случае уже могут не выполняться условия (рг/(/гы) )2 «С 1. Однако наличие смеси изотопов не меняет вида выражений (3.49), (3.50), а изменяет лишь значения коэффициентов.
В частности, для лазера, работающего на 50%-ной смеси изо топов активного газа, эти коэффициенты приближенно опреде ляются выражениями
центра суммарного контура усиления, АсоаЬ = ©<^ — ©<й — изото пический сдвиг.
В дальнейшем мы будем проводить расчеты в общем виде, не конкретизируя значений коэффициентов. Тем самым резуль таты будут справедливы для любой смеси изотопов.
*) Формулы (3.52) записаны в |
приближении р ^ у д о с т а т о ч н о м |
|
для расчета конкуренции |
встречных |
волн. В противоположном случае спра |
ведливы формулы (3.29), |
(3.30), |
|