§ 6] |
ОДНОВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ФЛУКТУАЦИИ |
323 |
Таким образом, |
|
|
|
|
Nnm= (Nпт {Г, р, t)) = Nрпт (Г, р, t). |
|
|
Обозначим |
через |
|
|
|
|
бЛ/пт (*">.Р> 0 == Nпт |
пт) |
(17.60) |
отклонение от |
среднего значения, а через |
|
|
|
|
{6Nnm(г, р, t) Шп’т' (Л р', т |
(17.61) |
^-одновременной второй момент флуктуаций элементов ма трицы Nnm(r, р, t). Покажем, что для рабочей среды газового лазера он выражается через функцию (Nnm) и тем самым — через функцию pnm• Это позволит нам выразить искомые одно временные корреляции, стоящие в правых частях системы урав
нений (17.54) — (17.57), |
через известные функции ра, рь, |
раь- |
Чтобы проще выявить суть дела, рассмотрим сначала одно |
временную корреляцию флуктуаций |
|
6N (г, p,t) = N (г, р, t) - |
(N (г, р, 0> = 2 бNnn (г, р, t). |
(17.62) |
|
П |
|
Функция N(r,p,t) — фазовая плотность координат и импульсов центров масс атомов. Движение центров масс атомов можно описывать в классическом приближении. В этом случае выра жение для фазовой плотности имеет вид
N { r ,p ,t ) = Ц |
&{r — ri {t))b{p — pl {t)). |
(17.63) |
1 <i |
< N |
|
Величина N{r,p,t)drdp равна числу атомов, у которых в момент времени t координаты и импульсы г,-, pi лежат в преде лах шестимерного фазового объема dr dp около точки г, р.
Запишем выражение (17.63) более кратко:
N {х, t) — |
2 |
6 (* —*,(/))> |
х — (г, р). |
(17.64) |
Введем |
|
|
|
|
fi (х, t) = (6(х— xt (t)), |
|
f2 (х, х', t) = (б (х — х{ (t)) б (х' —х, (/))>, |
^ f ld x = l , |
j f2(x, x')dxdx'— 1 |
(17.65) |
— функции распределения соответственно |
переменных |
одной и |
двух частиц. |
находим |
|
|
Из (17.64), (17.65) |
|
|
|
{N(x,t)) = NfAx,t), |
|
|
(N(x,t)N (x't t)) = N ( N - |
1)/2(x, x', t) + 6(x - x')Nfx(x, t). |
{U |
324 |
ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ |
[ГЛ. XVII |
Из этих выражений следует, что |
|
(Ш (х, 0 бN (х', /)> = N ( N - l ) g 2 (х, У, t) + |
|
|
+ N (6( х - х') h (х, t) - fx(х, t) U(*', t)). |
(17.67) |
Здесь введено обозначение для корреляционной функции, g2 (х, х', t) = f2 (х, х', t) —/, (х, t) f, (х', /).
Корреляция g2 обусловлена взаимодействием атомов рабочей среды. Роль взаимодействия атомов (роль неидельности газа) характеризуется параметром плотности пг\. Здесь п — концен
трация, га— эффективный радиус действия атомов. В Не—Ne- лазере величина пгъй очень мала, поэтому при расчете спек
тральных функций источников можно считать величину g2 рав ной нулю. В результате выражение (17.67) принимает вид
(6N (х, t) 6N (х', t)) = |
N(6 ( х - х') /, (х, t) - U (х, t) ft (xf, 0). |
(17.68) |
Из определения |
бN(x,t) |
(см. (17.62)) следует, |
что |
|
|
J 6N |
(х, t) dx = 0. |
|
(17.69) |
Вследствие этого имеют место равенства |
|
|
J (бN (х, t) бN (х\ 0> d x = j |
(6N (х, t) бN (х', t)) dx' = |
0. |
(17.70) |
Равенства (17.69), (17.70) справедливы при интегрировании по всему фазовому объему.
Если распределение атомов рабочей среды пространственно однородно, то выражение (17.68) принимает вид
(6N 6N)r_r, р p, t = N (6(г - |
г') 6 (р - р') ^ (р, t) - ft (р, t) U (р', t)). |
|
|
(17.71) |
Отсюда для пространственных компонент Фурье |
(<w МО*. р , р ’ = |
т \ |
«W вЛ О г.p>e~ikr dr |
получаем выражение |
|
|
(6N бN)ki p,t, = N ( ± 6 ( p - p ' ) |
ft (р, t ) - ± r б (k) ft (р, t) ft (р', t)). |
|
|
(17.72) |
Из него видно, что второй член в правой части выражений (17.71), (17.72) является существенным лишь при /г = 0 или, иными словами, при рассмотрении флуктуаций во всем объеме
ОДНОВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ФЛУКТУАЦИЙ |
325 |
рабочей среды. В противном случае вместо (17.71), (17.72) можно использовать более простые выражения:
(t>N6N)iГ - Г ' , р , р ' , t = Nb(r — г')б (р — р') ft (р, t),
(17.73)
(6N bN)k р р, = у- б (р - р') ft (р, t).
Получим аналогичные выражения для другого предельного случая. Рассмотрим выражение для одновременной корреляции флуктуаций элементов матрицы
Операторная матрица Nnmпт—= J Nnm(r, р, t)drdp определяется
|
|
|
|
|
|
|
через Ьп, |
Ьт следующим образом: |
|
|
|
|
Nnm = btbn, |
(Nnm) = |
{ b M |
= NPnm(t), |
(17.76) |
где рпт— матрица |
плотности одного |
атома — аналог |
первой |
функции |
распределения |
ft(x,t) |
(см. |
(17.65)), а |
матрица |
Nпт(0 — квантовый |
аналог фазовой плотности (17.64). |
Введем матрицу, |
аналогичную |
функции распределения f2. |
Обозначим ее через рM.r t (<). Она связана с бозе-операторами соотношением
{ЫЬ+'Ьп'Ьп) = |
N (N - 1) 9nnWm. |
(17.77) |
Рассмотрим произведение |
операторов |
|
N nmbfп'т' = = ЬщЬпЬт’Ьп'•
Произведем в правой части перестановку внутренних операто ров, усредним левую и правую части и используем определения (17.76), (17.77). В результате получим выражение
аналогичное формуле (17.66). Вычтем из левой и правой частей равенства (17.78) произведение (А ^) (Nn'm'), а затем, исполь зуя определение корреляционной функции внутренних перемен ных различных атомов
326 ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ [ГЛ. XVII
и равенство
{ N n m N n ’m') |
{ N пт ) ( N п'т') — (fiN nm & N n'm ')i |
(17.80) |
получим выражение, аналогичное формуле (17.67) |
|
(6Nnm Шп'т) = |
N { N - \ ) gnn,mm, + N (6 nm,p„,m - P„mP„,m,). |
(17.81) |
Корреляция |
gnn,mm, |
может быть обусловлена двумя |
факто |
рами: столкновениями, приводящими к изменению внутреннего состояния атомов, и флуктуациями излучения. В рамках рас сматриваемой модели столкновения атомов неона с атомами ге лия учитываются путем введения накачки, которая считается заданной. Столкновения активных атомов Ne в Не—Ne-лазере
не являются |
существенными; поэтому соответствующий вклад |
в функцию |
ёпп,тт, отсутствует. |
При расчете флуктуаций поляризации в газовом лазере на основании неравенств (17.20) мы считаем поле Е постоянным,
поэтому вклад в функцию gnn>mnt> |
от флуктуаций поля так |
же отсутствует и в формуле (17.81) |
ёпп>тт' = ®- В твердотель |
ных лазерах корреляция, обусловленная флуктуациями поля, не равна нулю, но она выражается через индуцированные части флуктуаций (см. гл. XX). В результате получаем искомое вы ражение
|
(П.82) |
которое аналогично выражению (17.68). |
Из определения |
(17.74) следует, что ^i6Nnn = 0. Вслед- |
|
П |
ствие этого имеют место равенства |
2 (6 N n n .M n 'm ') = 2 (бN n m 6JV«V> = 0. |
п |
п' |
В Не—Ne-лазере ни один из рабочих уровней не является ос
новным, поэтому условие 2 бNnn — 0 при суммировании лишь
П
по рабочим уровням а, Ь, естественно, не выполняется и роль последнего члена в правой части (17.82) оказывается несуще ственной. По этой причине можно использовать более простое выражение
(бN |
пт |
Ь М |
' ' ) = 77б ,р , |
п, т = а, Ь, |
(17,83) |
|
|
п т / |
пт ~п i |
|
|
Эта формула аналогична |
выражениям |
(17.73), |
|
«в] |
ОДНОВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ФЛУКТУАЦИЙ |
327 |
С помощью формул (17.71), (17.82), не производя аналогич ных выкладок, запишем сразу выражение для одновременной корреляции флуктуаций бNnm(r,p,t)
(6Nnm (г, р, t) 6Nn'm' (г', р', /)) =
= N |
( К т'6 |
6 (Р- |
Р') Рп’т (Г>Р> 0 - Рпт (Г >Р>*) Рп 'т’(Г ' ’ Р'> *))• |
|
|
|
(17.84) |
При |
учете |
равенства |
^ J 6Nnn(г, р, t) dr dp = 0, которое яв- |
П
ляется следствием сохранения полного числа атомов рабочей среды, из (17.84) получаем
J (6Nnn(г, р, t) 6Nп'тг(г', р', 0) dr dp =
П
= 2 J |
(r . Р’ о |
(г'> Р'. 0) d r' dp' = о. |
п' |
|
|
При п, т = а, Ь, т. е. при исследовании флуктуаций, свя занных с переходами между рабочими уровнями а, Ь в Не—Ne-лазере, в формуле (17.84) последний член оказывается несущественным. Поэтому можно использовать более простое выражение
(6(Vпт (г, р, t) 6Nп'т' (г I р'| t)) = |
|
= N6nmMr — Г'Ж Р — P')Pn'm(r >P- *)• |
(17.85) |
Учитывая одинаковость атомов, произведем в этом выражении симметризацию по атомам и заменим после этого переменные
п' |
т'. |
Принимая во внимание условие |
|
|
получим из (17.85) |
|
бNпт == 6Nтп> |
|
|
|
|
|
|
(6AU (г, p.QW nnlr', р', /)> = |
|
|
= |
4 6 (г — г') б(р — р') [6„„,pm,m (г, р, о + Ьт,трпп, (г, р, 0]. |
(17.86) |
|
Переходя в этом выражении от функций бNnm(r,p,t) |
к ма |
трице брnm(r,v,t), |
нормированной следующим |
образом: |
|
|
|
Т |
S |
J бршг (Г’ v ’ ^ dr dv = ° ’ |
|
|
получим |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
<6P„m ('. |
О 6P«'m' (г'. |
0> = - W б (г — О х |
|
|
|
|
Х М » - * ')[6„„,pm,m(Г, v, t) + |
ьт,трпп,(г, V, % |
п, т, п', т' = а, Ь. |
(17.87) |
