328 |
ФЛУКТУАЦИИ в |
р е ж и м е БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ |
[ГЛ. XVtl |
Из этой формулы следуют необходимые нам выражения для |
одновременных корреляций |
|
|
|
|
|
|
|
<бРд&6Pg6}t =0> |
(брЬа Ь?аь\-о> |
|
|
|
|
(6D бРаЬ>т=0- |
< « * ^> ,-0 - |
|
|
Полагая в (17.87) последовательно п — а, т = |
Ь, п' = а, |
т'=Ь; |
п — b, |
т = а, |
п' = а, |
т' = |
b (а ф Ь) и усредняя по г, г', полу |
чим выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(бРаЬ бР’аЛ-0 = |
Ш 5 ^ ~ ^ |
(Ра + |
Р<>)> |
(17-88) |
|
|
6PLb>t -o = |
0- |
|
|
|
|
Положим |
теперь |
последовательно |
п —а, |
т —а, |
п' = а, |
т! — Ь\ п == Ь, т — Ь, п' = |
|
а, т' — Ь. Усредняя по г, г', получим |
|
<бРд бРа6>т-о = <6Pi 6Paft)x»0 = w |
6 (w ~ |
^ Pba- |
|
Отсюда следуют выражения |
|
|
|
|
|
<«O«P»>,-0 = |
°. |
( « « Р й Х - о - Т 8 *1’ |
|
<17-89> |
Формулы (17.88), (17.89) и определяют искомые одновре менные корреляции.
§ 7. Спектральные плотности источников поляризационного шума
Исключим из уравнений (17.54), (17.55) функцию (6R6pab)o- С учетом (17.89) получим уравнение
2 УдУь (6£>6pfl*)o+ |
jj \d g b ^ (брба 6pai)o |
^ЪаЕ (бр ab бРсб)о ] |
|
Уа + УЬ |
|
|
|
|
|
У д - У ь 6 (” - » ' ) |
n V = |
N . |
|
Ya + Уь |
nV |
|
9ba’ |
|
Подставляя в это |
уравнение функции |
(браЬ 6ра6)о\ (6pJa 6раЬ)<^ |
из уравнений (17.56), (17.57), получим следующие выражения для функции (6D6pab)(f:
(6D6pab)0+ |
Уд+УЬ |
Г0 |
dbaE 6(v — V ' ) |
X |
|
|
|
2УдУЬ |
Г | |
2ЛпУ |
|
|
|
|
X _____ Pg + РЬ |
‘УаЬ |
Уд-Уь _______ Ч_______ |
(17.90) |
а аЬ ~ |
Ш ) + V ~ |
Yg + УЬ |
® д Ь ~ |
® Ч “ |
V + {УдЬ |
’ |
|
ГЕ = |
- |
®Р + |
kQVf |
+ УдЬ2 (1 + |
а£2)> |
|
|
|
|
гч2 |
_ тл2 |
О* |
|
|
|
|
|
|
1 0 |
= 1 |
|
|
|
$ 7] ИСТОЧНИКИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ШУМА 329
Здесь использовано выражение для функции
|
РЬа |
dbaED |
|
|
2Й (соо* — С00 |
— k0v + |
iyab) ‘ |
|
|
Подставив функцию (6Dbpab)o в уравнения (17.56), (17.57), после некоторых преобразований получим выражения
а£2 |
|
г |
У а ~ У Ь n b ( v - v ' ) |
|
(бРаб&Pab)o — |
|
Yab---- :------ |
V ----- ^ -------- г |
2 - 2 nV |
|
Ya +Yft |
|
|
|
6(v-v') (pa + f |
- i |
aE2 |
0аЬ ~ |
+ |
|
|
+ — |
\ay |
2nV (®ab - ®0 + V |
|
|
- ab)'Y |
|
|
|
Ya + Y „ |
|
rg |
(dbaE f |
|
6 (v — V') |
(6p4a6pai)o |
r l |
2 - 2 n V b 2 |
a>ab — |
co0 + |
k0v + |
2У аУь |
M0 + V + *Vab
p2 l E
(17.91)
X
i y ab
|
Pa + Pi |
Ya Yj |
__________ D |
(17.92) |
|
X “as - ®0 + V - ‘Yab ~ |
Уд + Yft |
®a4 ~ ®0 + V + lVttb . |
|
|
Из формулы (17.52) следует связь функций (6p6p)w, (6рбр)+:
(бр бр)ш= 2 Re (бр бр)+.
Принимая во внимание, что *)
I edab р = 11 dab I2, (edabf (dbaEf = -^-| dab I4 E2,
получим из (17.91), (17.92) следующие выражения для входящих в формулы (17.40), (17.41) комбинаций спектральных плотно стей:
I edab |2 (браь ЬраЬ)о + |
к. с |
2 |
|dab? |
6 (р — t>') |
v |
|
|
3 |
г | |
nV |
А |
|
|
|
|
|
|
X |
/ |
аЕ2\ |
v |
— V. |
аЕ2 |
(17.93) |
( н - — )(Pa + |
P * ) - ^ + ^ - — |
|
|
|
|
а |
|
|
(edabf (6рЬаЬраЬ)о + |
к. с. = | | |
|
v') аЕ2 |
|
dab \2yab - ^ 2пу |
|
* X |
|
X ^Pa + |
Pb |
У д - У ь К ь |
- ® о + Ь0у)2 - |
у1ь D |
(17.94) |
|
|
Уд + |
Уь |
Г2 |
|
|
|
Подставим эти выражения в формулы (17.40), (17.41). В ре зультате найдем искомые выражения для спектральных
*) См. замечание на стр. 35.
330 ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ГГЛ. XVII
плотностей поляризационного шума
W |
dab\2»! v |
Г + |
аГ £ 2 )( (1Р а + р » ) |
|
\=Ф/0 |
RV |
' ab J |
|
р2 |
|
|
|
6V |
|
|
1Е |
|
|
|
|
' C |
i |
Dap ( " . » - “. + ,У)М dv, |
(17.95) |
|
|
y. + |
v» |
|
Г2Г2 |
|
|
|
|
101Е |
|
(4я)2 п \ <1аЬ |
*ab I (Pa + |
Рй) ~ |
|
|
(^)о |
6V |
dv |
|
|
|
|
|
У а - У ь |
(17.96) |
|
|
|
|
D^4- аЕ2 |
Уа+Уь
Чтобы получить явную зависимость спектральных плотно стей источников поляризационного шума от Е, используем вы
ражения |
(3.24) для R, D. Для одноволнового режима генерации |
они принимают следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
R = Я«» + |
Уа~ Уь- D<°> |
2 |
|
Г |
Z)<0>-5 |
|
|
аЕ2, |
D = |
|
|
|
Уа+Уь |
|
Г1 |
|
|
|
Г, |
|
В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
(* П = |
|
Ya6 J [(1 + |
аЕ2) /?<«» |
- |
|
|
|
|
Уа |
Уь аЕ2Рт ^ аЬ ■®о |
+ k av f - |
Yab ( ! + |
a £ 2 ) |
rft) |
(17.97) |
p2 |
Ya + Y i, |
|
|
|
|
|
|
l E |
|
|
an |
(4я)2 n| da6 |2 |
( |
p |
M |
dv. |
|
(17.98) |
|
6У |
|
Yab J |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
При максвелловском распределении по скоростям в нулевом приближении по уаь/(ки) после интегрирования по скоростям получаем следующие выражения:
|
/ып)г\ |
V K{4n.)2n\dab|* |
l / l + a £ 2(p<°' + |
p<°>), |
|
(Ьф )о |
QVk0и |
|
|
(17.99) |
|
Л(П)^ -- |
Vn (4Jt)g n| dabp |
1 |
|
|
+ |
Pi0))‘ |
|
V5a h |
6VkoU |
Y\+aE* ( P '° ' |
Таким образом, спектральные плотности источников флук туаций амплитуды и фазы по-разному зависят от поля. Выразим их через мнимую часть диэлектрической проницаемости актив ной среды (см. (3.29))
у" = — |
\2° 1( |
к" < 0 при £)<°> > 0 . (17.100) |
§ п ИСТОЧНИКИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ШУМА 331
Из (17.99), (17.100) |
находим |
|
|
( « , = |
- |
(4я)2 й |
х"(1 + а Е 2) |
У?<°> |
2V |
£)<°) 1 |
|
|
(4я)2 Й |
У?'0' |
(17.101) |
(1(а")2)о = |
- |
|
2V |
D'о» • |
|
Интересно сравнить эти формулы с соответствующими вы ражениями для равновесного состояния. В равновесном состоя нии выражение (17.100) принимает вид
// |
У * l\dab\2_/о(0) _ |
о(0)\ > О |
/?(0 ) |
(" + т ) ’ |
* |
ЗЙЙ0и W |
Ра ) > и’ |
Dm |
поэтому |
|
|
|
|
W o = ( « ,= = |
(4л)2 Йх" |
V |
При переходе от (17.102) к неравновесным функциям (17.101)
/ |
и |
. 1 |
1 |
R(0> |
оба сомножителя меняют знак ( х " < 0 |
п-\------ |
>•-------- |
ш |
\ |
|
|
2 |
2 D(0) |
Спектральные функции (17.101) можно выразить через ши рину полосы резонатора, если воспользоваться условием ста ционарности режима генерации Дшр + 4жоои" = 0. Используя это условие, из формул (17.28), (17.101) получим искомые вы ражения для суммарных спектральных функций теплового и поляризационного шума
|
4яй . |
|
- . |
1 |
, |
1 |
|
R(0) |
(1 + а Е 2) |
2\>= |
-----Дсо„ |
П |
2 |
|
|
2 |
£>(0) |
F c o 0 |
р |
|
|
(17.103) |
|
-----Асо„ |
' - , |
1 |
, |
1 |
|
Ri0) |
(Й)о |
4лЙ . |
|
|
|
|
|
|
D',«» |
|
Кее» |
р |
|
2 |
|
|
2 |
|
На рис. 17.1, а приведены графики зависимости интенсив ностей источников шума от поля при заданной накачке.
В достаточно сильном поле, когда нельзя пренебречь вели чиной аЕ2 по сравнению с единицей, источники шума в уравне ниях для амплитуды и фазы различны. Такое отличие вызвано следующим. Флуктуации матрицы плотности в соответствии с уравнениями (17.1) —(17.4) зависят от мгновенного значения среднего поля Е и, следовательно, не являются стационарными случайными процессами. Стационарными являются лишь мед ленно меняющиеся амплитуды этих флуктуаций. Соответственно флуктуации поляризации 6Р, входящие в выражения для источников шумов, также не являются стационарными. В силу
