Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

332

ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

[ГЛ. XVII

этого

выражение (bP{t)6P(t + t)cos

+ y j — 2ftcr + <pj)

отлично от нуля. Оно входит в выражение для корреляционных функций источников амплитудного и фазового шума с разными знаками, поэтому интенсивности этих источников различны.

Рис. 17.1. Зависимость интенсивности источников шумов от амплитуды поля, а) Режим

бегущей волны: 1 - (£а)в/(*а)о |я_ о : 2- ( 5ф У ( Еф)1д-0- б)

Реж имэт°ячей

“°лны:

'• ''- (« а с У С ^ О |£-0: 2‘ 2Ч

Ефс)о/(Ефс)о |д - 0- '• 2-**= 0;

2' - р=^М

в> Ре

жим двух встречных волн: 1,

2) o / ( Eal, 2)0|д - 0: 2> 2' “ ( Еф1, г ) о /( 6ф1. 2)0|я _ 0:

3' 3' ~ ( Еа1 Еаз)о/(Еа1, 2)0 : *'

( Еф1£фг)о/(6ф1. 2)0:

—H-»Yaf>.

Подведем итоги. Мы показали, что тепловые флуктуации поля в резонаторе ЬЕЮ и флуктуации поляризации 6Р<сп>опре­ деляют источники флуктуаций амплитуды и фазы излучения лазера. Спектральные плотности источников выражаются через полные спектральные плотности флуктуаций б£(т), бР<сп>, т. е. с учетом и нулевых колебаний. В § 7 гл. XX будет установлена связь спектральных плотностей (|2)0, (£|)0 с интенсивностями

спонтанного излучения атомов рабочей среды, которое, естест­ венно, не связано с нулевыми колебаниями.

§ 8. Флуктуации амплитуды при значительном превышении над порогом генерации

При значительном превышении над порогом генерации рас­ чет флуктуаций амплитуды волны можно производить в корре­

ляционном

приближении. Положим в уравнении

(17.23) Е =

= Eq+ ЬЕ

и удержим линейные по ЬЕ члены.

В результате

§ 9]

ФЛУКТУАЦИИ У ПОРОГА ГЕНЕРАЦИИ

 

333

получим уравнение

 

 

 

 

 

 

dbE

 

= ®о1а (0-

 

(17.104)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

введено обозначение

 

 

 

 

 

 

д%

Е0-

Д(0р

aEl

 

(17.105)

 

Д(оа = 2жо0

2

1+ aEl

’

 

дЁа

 

 

Решая уравнение (17.104), находим выражение для спектраль­ ной плотности флуктуаций амплитуды

(ЬЕ\

ш;2(i2a)o

 

(17.106)

со2 + (Дсоа)2

'

 

 

Таким образом, величина Дша определяет ширину спектра флуктуаций амплитуды. В слабом поле, когда аЕ2<§; 1, выраже­

ние для Дсоа принимает видДюа = ' /

г

П

р и

а£2^> 1 Дсоа —

= Дсор/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (17.106) следует выражение для дисперсии амплитуды в

корреляционном приближении

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

2

 

 

<5£!> =

Т5Г

J

 

=

 

 

<|7 -107>

В слабом

поле (аЕ2 <С 1)

из

(17.107)

получаем

 

<6£2> ___ Nl _

д, _

2

(Sa)p

 

„ =

q ,

,_ ^ £ о

Е2

~ 16Л2

 

 

V W \

’

^

Ц

~ 2 ’

откуда следует условие применимости корреляционного прибли­ жения

N <С 4тр

§9. Флуктуации амплитуды и числа фотонов

упорога генерации

Упорога генерации относительные флуктуации не яв­ ляются малыми, поэтому корреляционное приближение оказы­ вается здесь неприменимым и надо использовать уравнение для величины Е. Однако у порога генерации поле Е мало, т. е.

аЕ2 1.

Вернемся к уравнениям (17.23), (17.24) для амплитуды и фазы. В режиме бегущей волны у! = 0, а у" определяется вы­ ражением (17.100). Разложим у" в ряд по степеням аЕ2 и

334

ФЛУКТУАЦИИ

В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

[ГЛ. XVII

удержим два первых члена разложения. В результате

получим

 

- ^ + %

( я £ 2- 2 т 1)£==со0и а

(17.108)

 

 

^ =

(17-109)

Источники флуктуаций определяются выражениями (17.25),

(17.26).

Запишем уравнение Фоккера — Планка для функции рас­ пределения f(E, ф), соответствующее уравнениям Ланжевена

(17.108), (17.109):

д1_

и>п

 

г.

<5 /

дБ +

;(ф ,

d2f

 

 

 

 

 

дt

' ~ 2 Ё ( ь а ) о Л Г Г

 

Е 2

дф2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

Дш,

 

2ц) E2f

. (17.110)

 

 

 

 

 

 

 

 

+ т

ИЁ'

■(аЕ2 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция f

(Е, qp)

нормирована следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

J / (Е, ф) Е dE dtp =

1.

 

 

 

 

 

Перейдем от уравнения (17.110) к уравнению

Фоккера-

Планка для функции распределения амплитуды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2я

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

W ( E ) = j

f(E, q,)Ed(f, J W (E)dE= 1.

 

Уравнение для

W(E)

имеет вид

 

 

 

 

 

 

dW

 

 

 

dlW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

at

2

(^a)o

dE2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

dEM [

A®n

(aE2 — 2r\)E-

'Чй)о

w

j.

(17.111)

 

 

 

 

 

2E

 

 

Рассмотрим

стационарное решение

уравнения

Фоккера —

Планка.

Его можно записать в виде

 

 

 

 

 

W <£ > - 2 /

• | [ | + ф ( т ) ] " 2г

ехр [-

(аЕ2 - 2г\)2

■].

(17.112)

2N2

 

Здесь использовано обозначение

 

 

 

 

 

(17.113)

 

 

 

 

 

N2 =

4<*0a(tl)QQ~4a>Qa(tl)0l\d\.

 

 

Во втором равенстве учтено, что у порога генерации Qd ~ 1. Решение (17.112) справедливо и ниже порога генерации, ко­ гда г] < 0.

§ 9]

 

ФЛУКТУАЦИИ У ПОРОГА ГЕНЕРАЦИИ

335

Используя распределение (17.112), найдем общее выраже­

ние для моментов амплитуды поля

 

 

 

<£“> = ] / 4 И т ) ( 4 ) * [ ‘ + ф ( £ ) Г X

 

 

 

 

 

 

х * "* "

(17.114)

Здесь

Dv(z) — функция

параболического цилиндра, Ф (я)— ин­

теграл вероятности.

 

 

 

 

 

Рассмотрим три предельных случая.

генерации,

когда

1.

Большие превышения

над

порогом

2ц —аЕ2

N. В этом случае

из

выражения

(17.114) следуют

формулы

корреляционного

приближения

в слабом

поле

(а£2< 1).

 

N. Запишем для этого случая

выра­

2.

Вблизи порога, 2ц

жения для первого, второго и четвертого моментов амплитуды

поля. Они следуют из общей формулы

(17.114)

и имеют вид

 

_ \ _

2_

 

 

 

(Е) =

у 2л У 2

Г» (1/4)

)

2ц

Г (1/4)

л

4л

I

N ’

 

^ - / T T f ' + T S T ? ] -

 

 

(17.115)

 

 

 

<£’И 4 Г(‘+ / 4 £)-

 

 

 

Из этих формул следует, что

 

 

 

 

(6£2> =

0,12-^-(l + 0,25 - ^ ),

 

 

 

(6£2)

0 ,1 8 -0 ,0 5 -^ ,

 

(17.116)

 

<£>2

 

 

 

 

 

 

 

((6Е2)2) =

0,57 — 0,28

 

 

 

 

(£2)2

 

 

 

 

Из формул (17.116) видно, что при приближении к порогу генерации со стороны области генерации (2ц/N —»0) относи­ тельные дисперсии амплитуды и интенсивности поля стремятся

кконечным пределам (0,18 и 0,57 соответственно).

3.г) < 0 и 2|г|| > /V, т . е. состояние системы значительно ниже порога генерации. Из определения величины г) = Qd— 1

Следует, что пои d < 0 |т) | = Q |d| + 1. Из формулы (17.114)

336 ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ [ГЛ. XVII

с учетом обозначения

(17.113)

находим

 

 

<£> =

\гп

N

 

 

 

 

)(Й)о

 

2

/ 2 а |л I

 

V т / :1/Q + MI

(17.117)

 

 

 

(Е>):

 

ЛГ

2w0(^a)o

(£4) =

2 <£2)2.

 

 

2а h i

1/Q +

MI

 

Из этих выражений следует, что

 

 

 

(ЬЕ2) = 4~ Л , “°

^

г, <6 (Е2)2) =

(Е2)2.

(17.118)

Так как |d| = 4лх"

(Е = 0),

то

из

формул

(17.117)

получаем

 

 

 

<£2> =

2

 

)(Й)о

 

(17.119)

 

 

 

 

+ 4яи"

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем эти выражения для равновесного

состояния.

Из формул (17.28), (17.102) следует,

что в равновесном состоя­

нии спектральная плотность

шума (£2)0 определяется выражением

 

(Й), =

 

+ 4»х")(й + /

 

(17.120)

Подставим

(17.120) в формулу (17.119)

 

 

 

 

 

<£2> =

-

^

(« + { )•

 

07.121)

Установим связь выражений для флуктуаций амплитуды с экспериментально измеряемыми величинами: средним числом фотонов (пф) и дисперсией числа фотонов (бЛф). В режиме

бегущей волны среднее число фотонов связано со средним зна­ чением квадрата поля соотношением

(&) ^ <£>2 + <6£2> =

((пф) + .

(17.122)

Сравнивая эту формулу с выражением (17.121),

видим, что

в равновесном состоянии

 

 

(пф) — п = [ехр р г -

— 1j .

 

Из (17.122) следует, что для определения (пф) надо использо­ вать выражение (17.119) для момента (Е2).

Дисперсия числа фотонов связана с дисперсией флуктуаций интенсивности соотношением

V \2

Смотрите также файлы