ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
§ 10] |
ФЛУКТУАЦИИ ФАЗЫ И ЧАСТОТЫ |
337 |
Для примера найдем выражение для дисперсии числа фотонов для состояний ниже порога генерации. Из формул (17.122), (17.123) и второй формулы (17.118) следует, что
<б/гФ> = (<ЛФ> + т ) •
Точное выражение для (6n|,} имеет вид
<6л2) = («ф)«Пф)+ 1).
При большом числе фотонов, когда только и справедлива полуклассическая теория, эти результаты совпадают. В следующей главе мы увидим, что на пороге генерации (пф) ~ 104 и, следо вательно, условие полуклассического описания в режиме гене рации выполняется.
Для определения спектральных плотностей флуктуаций амплитуды и интенсивности надо использовать нестационарное решение уравнения Фоккера — Планка для функции Ц7(£). Это решение было получено в работах [11—13, 26]. Оказалось, что форма спектральной линии вблизи порога генерации лишь не значительно отличается от лоренцевской. Это дает основание при определении ширины спектра амплитудных флуктуаций за дать форму спектра в виде лоренцевской линии.
Из формулы (17.107) следует, что ширина линии амплитуд
ных флуктуаций определяется выражением |
|
|
|||
|
|
= |
|
|
(17Л24> |
Подставим сюда первое выражение (17.116) |
для дисперсии |
||||
поля |
над порогом генерации. |
В результате получим |
выражение |
||
|
А(оа = А(опор( 1 -0 ,2 5 - ^ ). |
|
(17.125) |
||
Здесь |
введено обозначение |
А(опор |
e>0Nd = 2 Дсор Уа<3со0(|2)0, |
||
Асопор —ширина линии амплитудных |
флуктуаций |
на |
пороге ге |
||
нерации, когда Е0 = 0. |
|
|
|
|
|
Численные оценки величины Дюпор будут проведены в § 3 гл. XVIII. Там мы увидим, что А(оПор ~ 3 -102 гц.
§ 10. Флуктуации фазы и частоты
Из уравнения (17.109) в корреляционном приближении сле дует уравнение для ср
т г -т ;* * - |
<17-126) |
Из этогоуравнения получаем выражение |
дляспектральной |
3 3 8 |
ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ |
ГГЛ. X V I I |
||
плотности флуктуаций частоты |
|
|
|
|
|
< Ф ! ) „ |
= |
4 ( 5 Ц |
, - |
|
|
с0 |
|
|
Таким образом, спектральная плотность флуктуаций часто ты определяется спектральной плотностью случайного источ ника £ф. Ширина спектра (1ф)и — порядка ширины доплеровской
линии ku ~ 109 гц. При ш <С ku функция постоянна (белый шум). Отсюда следует, что время корреляции случайного ис точника |ф
тф ~ -ш ~ 1 0 сек-
Вычислим среднеквадратичный набег фазы за время г:
<бф9> = |
((ф (t + |
т) — ф (О)2). |
|||
Из уравнения (17.126) |
следует |
|
|
||
бфт= |
|
t +тJЪфЮаг. |
|||
Отсюда находим |
|
|
t |
|
|
2 |
t+x |
t+г |
|||
|
|||||
<бф2т> = |
5 |
f dt' |
f |
d t " { W ) U n ) . |
|
|
Ь0 |
r |
t |
|
|
При т, много большем времени корреляции источников фа зового шума, находим
<6 ф|> = OI X I, |
(17.128) |
где
Я= 4 ( Ф о=(Ф 2)о (17Л29>
с0
—коэффициент диффузии фазы. Величина (||)0 определяется
выражением (17.103).
Установим связь ширины спектра излучения лазера с коэф фициентом диффузии фазы. Задавая поле в виде (17.22), полу чаем
(Е (г, 0 E(r,t + т)> = <«£) + 6E)t ((E) + 6£),+T X
X COS (<aj — kQr + ф<) cos (<в0 (t + |
t) — k0r + ф,+т)>. (17.130) |
Без учета амплитудных флуктуаций |
это выражение принимает |
§ 10] |
ФЛУКТУАЦИИ ФАЗЫ И ЧАСТОТЫ |
333 |
вид
(Е (г, t)E(r, t + т)) = Y (Е)2(cos ((о0т + 6срт)>. (17.131)
В корреляционном приближении распределение вероятностей набега фазы является гауссовским, поэтому
(cos ((о0т + 6<pt)) = е ^ |
cosm0t. |
(17.132) |
Подставим сюда выражение для среднеквадратичного на бега фазы и произведем преобразование Фурье по т. В резуль тате получим следующее выражение для спектральной плотно сти поля излучения лазера:
(Е <г)\ = }( Е У ,„о_ а)?+ ,д;2), ■ |
(17.133) |
Отсюда следует, что ширина линии излучения равна коэффи циенту диффузии фазы, т. е.
(17-134)
Получим теперь более общее выражение для спектральной плотности поля с учетом амплитудных флуктуаций. Вернемся к точной формуле (17.130) и произведем в ней усреднение по начальной фазе. После этого получим
(Е (г, t)E(r, t + т)) = j [(E)2(cos((o0r + 6фт)> +
+ (6Е (i() (Е) cos (соуТ + бфх)> + (Е) (бЕ (t + т) cos (со0т + бфг)) + + (бЕ (t) бЕ (t + т) cos (со0т + бфт))1- (17.135)
Как следует из уравнений (17.23), (17.24), для режима бе гущей волны флуктуации амплитуды не зависят от флуктуаций фазы. Вследствие этого выражение (17.135) принимает вид
(E(r, t) Е (г, t + т)) = у [(£ )2 + (6£'6£'T)](cos((OoT + 6фх)>. (17.136)
Выражение (17.136) справедливо и у порога генерации.
Для |
спектральной плотности поля с учетом равенства |
|||
(17.132) |
получаем следующее |
выражение: |
|
|
{Е (г)% — 2 [ _ ( Е )2 D |
+ ^ 2>Т^Г |
2 Дсоа + |
D |
|
|
(о„)2 + (D/2)2 |
(со — со0)2 + (Дм, |
+ Dl2)2 J • |
|
|
|
|
|
(17.137) |
Таким образом, спектр излучения лазера представляет со бой наложение двух линий: узкой и интенсивной линии, обу словленной флуктуациями фазы, и широкой и слабой линии амплитудных флуктуаций.