ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 0
360 ФЛУКТУАЦИИ В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ [ГЛ. XIX
В первом приближении по а Е 2 |
выражения |
(19.3) — (19.6) |
|||||||||
принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ = |
2nhd |
J |
* ° |
( |
|
V - |
, \1ь |
\ |
аЕ2 ) |
||
\®а 1.2/0 |
V |
\ D° |
|
U ° |
|
Y+ » 2+ У 2аЬ) 2 Г |
|||||
|
2п hd |
|
|
|
|
|
|
аЕ2 . |
(19.8) |
||
( С , \ - |
|
|
|
|
|
|
R0 ) |
||||
|
|
|
|
|
V+ Й2+Уа6 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
nhd |
Уаь2 |
|
|
|
Y_ |
a E 2, |
(19.9) |
||
|
|
v h2 + yL \ D ° |
У+ |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
(t(n)t(n)\ . |
|
nhd |
Уlb |
|
|
|
Y_ |
aE 2 |
(19.10) |
||
|
V |
|
|
|
|
-7Г + — |
|||||
\=ф1=ф2/ ' |
|
\x2+ y l b \ D ° |
|
|
|
|
|||||
В случае сильного поля из выражений (19.3) — (19.6) находим |
|||||||||||
(*<">’ |
\ |
= |
nhd |
|
|
y ab |
|
1 R0 |
у _ \ |
(19.11) |
|
\®а 1.2/0 |
|
V |
W |
|
+ Y I |
|
Y+ Г |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
\ |
_ |
2nhd |
R° |
f ~ a & |
|
|
|
(19.12) |
||
|
V |
D° |
V |
2 |
’ |
|
|
||||
\5ФI.2/0 |
|
|
|
|
|||||||
/о(пЫп)\ __ |
nhd |
|
|
yab |
/ R° |
y |
\ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(19.13) |
|||
\®а1 ®а2/о |
|
v |
W |
+ y*6 U |
|
у J * |
|||||
|
|
|
|
||||||||
МпЫпП _ |
2nhd |
|
Ro |
/ |
aE2 |
|
|
(19.14) |
|||
\5ф1Ьф2/0 |
|
V |
|
£>° |
V |
2 |
' |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
Из этих формул следует, что характер зависимости спек тральных плотностей шума от поля в сильном поле в режиме двух встречных волн существенно иной, чем в режиме одной бе гущей волны. Из (17.99) видно, что в сильном поле
а для режима встречных волн функции (i^i* 2)0
стремятся к постоянным значениям при аЕ 2 - * о о. Это различие обусловлено влиянием поля второй волны на источники шума, входящего в уравнение для Е\.
Интенсивности шумов, входящих в уравнения для фаз встреч ных волн, отличаются от (|£)J)0 для одной бегущей волны лишь
коэффициентом.
Заметим, что корреляционные функции амплитуд и фаз встречных волн отрицательны.
Из формул (19.11)— (19.14) видно, что с ростом поля ко эффициенты корреляции амплитуд и фаз встречных волн
5 1] |
ИСТОЧНИКИ ФЛУКТУАЦИЯ АМПЛИТУД И ФАЗ |
361 |
стремятся к — 1, т. е.
(еМ ) „ |
, т $ ) 0 . , при а Е 2-> оо. |
(Й Г .Ж |
( e f t Ж |
Таким образом, в сильном поле имеется почти полная «анти корреляция» соответственно амплитуд и фаз встречных волн. Отсюда следует, что в сильном поле суммы gai + 1а2. 1 фл + £фг флуктуируют значительно слабее, чем разности |ai — 1а2. |ф1—
~ 5ф2-
Из приведенных в этом параграфе формул для спектральных плотностей в режиме двух встречных волн можно получить со ответствующие выражения (18.5), (18.6), (18.12), (18.14) для режима стоячей волны. Для этого надо учесть, что случайные
источники gac, £фС в уравнениях (18.3) |
связаны с источниками |
|||||
gai, а, ^ф1,2 В уравнениях (19.1) |
соотношениями |
|
|
|||
|
1а1 + 1а2 |
|
£ф1+ £ф2 |
|
/1Г. . |
|
l a c — |
g |
1 |
° ф с — |
2 |
* |
( 1 9 . 1 5 ) |
Отсюда следуют выражения |
|
|
|
|
|
|
/ £ 2 \ _ (^а 1, 2 )0 ~Ь (^а1^аг)о |
|
|
||||
(®ас)о |
|
2 |
|
|
(19.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(|ф 1 ,2 )0 *1" (5ф11фг)о
(^фс)о :
связывающие спектральные плотности шумов. Так, например, подставив в (19.16) выражения (19.2) для спектральных плот ностей теплового шума в режиме двух встречных волн, мы по лучим соответствующие формулы (18.4) для режима стоячей волны. Легко убедиться, что таким путем из формул (19.3)— (19.14) следуют соответствующие формулы (18.5), (18.6), (18.12), (18.14) для спектральных плотностей поляризационного шума. При этом надо иметь в виду, что при подстановке в фор мулы (19.16) выражений (19.11) — (19.14) мы получим нулевой результат. Это означает, что для получения выражений (18.14) в формулах (19.11) — (19.14) надо удержать меньшие члены.
Вычисление спектральных плотностей поляризационного шума для кольцевого лазера с однородно уширенной линией в предельном случае ku = 0 проведено в работе [13]. Расчет в этом случае более сложен, так как требует учета модуляции
населенностей.
Заметим, что учет пространственной модуляции оказывает существенное влияние на корреляции источников флуктуаций для встречных волн. Влияние модуляции населенностей на кор реляции флуктуаций может оказаться существенным и для слу чая неоднородно уширенной линии.
362 |
ФЛУКТУАЦИИ В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ |
[ГЛ. XIX |
§ 2. Флуктуации амплитуд встречных волн. Корреляционное приближение
Условием применимости корреляционного приближения в ре жиме одной бегущей волны было условие достаточно большого превышения накачки над порогом генерации. В режиме встреч ных волн одного такого условия недостаточно для применимости корреляционного приближения. Обусловлено это следующим.
Как мы знаем (см. § 1 гл. IV), при малых расстройках ча стоты генерации относительно центра доплеровской линии ре жим двух встречных волн в кольцевом лазере оказывается не устойчивым и происходит переход к режиму одной бегущей волны. Вблизи границы неустойчивости двухволнового режима относительные флуктуации не являются малыми и корреляцион ное приближение поэтому неприменимо.
Основываясь на этом, будем предполагать, что превышение над порогом генерации достаточно велико и достаточно велики расстройки относительно центра доплеровской линии. Ниже бу дут приведены соответствующие количественные критерии.
При достаточно большой разности частот встречных волн ре зонатора можно пренебречь влиянием связи между волнами. Рассмотрим вначале этот случай. В корреляционном приближе нии уравнения (19.1) для амплитуд встречных волн можно за писать в виде
+ A U i 6 E u a + B 6 E a, l = |
со<&2(0. |
(19.17) |
||
Здесь введены обозначения |
|
|
|
|
Л|,2 = |
дХ| |
п |
п |
(19.18) |
— 4я©0— ^-Яо1,2» |
||||
|
0*01,2 |
|
|
|
|
гг |
9 |
|
„ . |
В|.2= |
ОХ I |
|
||
— 4я©0 ' 2' |
£ oi£o2, |
(19.19) |
||
|
0*02. 1 |
|
|
|
Еоь £02 — амплитуды встречных волн без учета флуктуаций.
Индекс «0» ниже будем опускать.
При равных добротностях встречных волн функции А \ , а, Si, 2
определяются выражениями
A l ~ A 2 = A = ± ^ d f { f H l + F y + - l ^ ( F 2 + 4 - 4 - A } a E \
2 |
I |
И +Yd,\ |
Tab п |
|
|
|
(19.20) |
в> = В2= В = I |
©0 dfl /2(1 + Ff + - J f j - I f2- 4 -4-f2)) aE\ |
||
2 |
1 |
Ц + Yaft \ |
Tab i > |
|
|
|
(19.21) |
Исследование показывает, |
что величины А, В |
положительные. |
|
§ 2] КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ збз
Система уравнений (19.17) определяет четыре спектральные плотности флуктуаций амплитуд встречных волн. Выражения для них можно записать в виде
(6£, бЕ и 2)ш= (бЕ 2 бЕ и 2)и ==
®0 Г(^а 1.2)0"^ (^а1^аг)о |
(^а 1,2)0 “ (^а1^2)0 ] |
/ш ооч |
— ~ Т [ со2 + (А + В)2 ~ |
а)2 + (Л — В )2 J* |
I 1*-**) |
Спектральные плотности интенсивностей излучения связаны со спектральными плотностями флуктуаций амплитуд встречных волн равенством
(б (£?) б (£?. 2))ш= (б(£2) 6 (El, = 4£2(б£, б£,. 2)а. (19.23)
Из формул (19.22) следует, что спектральные плотности флуктуаций амплитуд и интенсивностей представляются в виде суммы двух лоренцевских линий: более широкой с шириной A -f В и более узкой с шириной А — В. Так как корреляционная функция источников флуктуаций амплитуд встречных волн от рицательна, то из (19.22) следует, что более узкая линия яв ляется более интенсивной.
Из формул (19.22) вытекает также, что вследствие антикоррелированности источников флуктуаций в уравнениях для ам плитуд перекрестная спектральная плотность самих амплитуд оказывается отрицательной, т. е.
(б£, б£2)ш< 0. |
(19.24) |
Неравенство (19.24) имеет место и в случае слабого поля, ко гда корреляцией источников можно пренебречь.
Из формул (19.22) после интегрирования по со находим со ответствующие выражения для дисперсий и корреляций встреч ных волн
/,г! \ |
|
“0 (^а 1,2)0^ (^а1^дг)о^ |
(19.25) |
|
\6£i,2/ = |
-o----------A 2 - W ------- |
|||
(6£i бЕ 2) |
_ в>0 |
(^а1^аг)о А (|а ^ 2)0 В |
(19.26) |
|
~ |
2 |
А2— В2 |
||
Из этих выражений видно, что при приближении к границе не
устойчивости режима генерации двух |
встречных волн, когда |
А — В - + 0, относительные дисперсии и |
корреляции встречных |
волн неограниченно возрастают. Отсюда следует, что условие применимости корреляционного приближения в режиме двух встречных волн имеет вид
« 8 |
(^а 1, 2)0 А — (SalSa2)o В |
(19.27) |
||
2Е2 |
А2 |
— В2 |
||
|
||||
3 6 4 ФЛУКТУАЦИИ В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ [ГЛ. XIX
В случае слабого поля, когда a£ij2<C 1, |
выражения (19.20), |
||||
(19.21) принимают вид |
|
|
|
|
|
А = |
а А(ора Е 2, |
В = Р Аа ра Е 2, |
|
||
|
|
Y1ь |
е \ = Е \ |
(19.28) |
|
■т |
р 2 |
|
е \ = |
|
|
H2 + Y 2ai, |
|
|
|||
В этом приближении из формул (19.22) находим |
|
||||
'2(?а 1 .2 )0 |
|
|
|
|
|
(6 £ j 6 £ 1i2)« |
. со2 + |
(a + P)2 (АШр)2 (аЕ2)2 |
|
||
|
|
||||
|
|
± |
to2 + (a - p)2 (Acop)2 (a£2)2 ] ' ( 19-29) |
||
Мы видим, что даже в слабом поле спектральная линия ам плитудных флуктуаций не является лоренцевской. Однако при расстройках р, ^ уаь отличие от лоренцевской формы линии мало. Этот вывод находится в соответствии с эксперименталь ными данными работы Зайцева [1].
Приведем соответствующие выражения для относительных дисперсий амплитуд и интенсивностей и коэффициента корре ляции амплитуд встречных волн в слабом поле. Из формул
(19.25), (19.26), (19.28) находим
<«4 а) |
N 2 |
° |
(бИ . 2)2> |
n2 |
о |
’ |
(19.30) |
|
£ 2 “ |
8 (аЕ2)2 |
a2 - Р2 |
’ |
Е4 |
2 (аЕ2)2 а2 - Р2 |
|
||
|
|
N = 2 ] / |
|
о f |
|
|
|
|
|
|
<6(£?)6(Я1)> |
р |
Yaft |
|
|
(19.31) |
|
|
Р “ |
< б ( £ ? >2) 2> |
« |
H2 + Y |
1ь ' |
|
||
|
|
|
||||||
Экспериментально в |
работе [1] исследовались относительная |
|||||||
спектральная плотность флуктуаций интенсивности |
|
|
||||||
|
|
(6 И . Л с |
|
(бе 1 2)0 |
|
|
(19.32) |
|
|
|
|
М.2 |
'1,2 |
|
|
|
|
испектральная плотность коэффициента корреляции
Вслабом поле функция ршопределяется выражением
|
2аР |
(Айр)2 |
Рш |
|
(19.33) |
а 2 + Р2 а>2 + (Дс£»р)2 * |
||