Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл (13,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

КОРРЕЛЯЦИОННОЕ п р и б л и ж е н и е

365

При выводе этой формулы, как и в (19.29), не учтен вклад кор реляции источников шума gai> Sa2- Ширина линии спектра коэф

фициента корреляции

Айр = Аюра£21^а2+ р2.

(19.34)

Мы ВИДИМ, ЧТО функция ршИ ШИрИНЭ ЛИНИИ Айр сильно зависят от расстройки частоты генерации относительно центра доплеров

ской линии усиления.	(со = 0)	величина \|ра,=о\| с ростом рас
На нулевой частоте
стройки монотонно убывает от единицы до нуля. При			р, = уаь,
когда р = 0 ,5а, — р0 =	0,8. При	р > уаЬ имеем — P0 =	2y abj2 цг.

Ширина спектра коэффициента корреляции с ростом расстройки также убывает монотонно от значения -pLr Дйра Е 2 при р == 0 до

Айр = А(ора£2 при р » уаЬ.

Сравним эти результаты с экспериментальными данными ра боты [1] по измерению функции рш. Поскольку в [1] отсутствуют значения всех необходимыхдля сравнения параметров, то па раметры р, Айр были опреде лены из формул (19.33), (19.34) по двум значениям спектральной плотности коэф фициента корреляции: |рт=0|

И	\| Р(о=Дир \|■	Это	дало	Iх =
=	1,1 уаь,	Айра Е 2/2 — 4,6 X
X	104рад/сек. При этом Дир =
=	5,02-104рад/сек.				Рис. 19.1. Зависимость спектральной плот
	На рис. 19.1 изображен гра				ности коэффициента корреляции от ча
фик зависимости			— рш	от	стоты.

й/(2я ), построенный при этих значениях параметров. Кружками нанесены экспериментальные

точки. Мы видим, что при больших частотах экспериментальные точки ложатся выше кривой, построенной по приближенной фор муле (19.33). Это расхождение можно объяснить следующим

образом.

Точная формула для спектральной плотности рш следует из формул (19.22), (19.23) и имеет вид

	.. U 2+ в 2+ (О2) (ialga2)o - 2АВ (g2 1, 2)0	(19.35)
	(А 2 + В 2 + <Й2) ( \| 2 !_ 2)0 — 2АВ (Sai&a2)o	(19.35)
	(А 2 + В 2 + <Й2) ( \| 2 !_ 2)0 — 2АВ (Sai&a2)o

Из приближенной формулы (19.33) следует, что рш->0 при

366	ФЛУКТУАЦИИ В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ	[ГЛ. XIX
ш —* оо, а из (19.35)
	ПРИ ®-> оо.	(19.36)
	Ua 1.2)0

Таким образом, при и —► оо ри стремится к значению коэф фициента корреляции источников шума |аь |а2 в уравнениях

для амплитуд встречных волн.

В заключение настоящего параграфа приведем выражения для спектральной плотности амплитудных флуктуаций и диспер сии амплитуд встречных волн в сильном поле. Из формул (19.2), (19.11)— (19.14), (19.16) находим выражения для комбинаций спектральных плотностей источников, которые входят в выраже ния (19.22)

« a +	&	, u	~ 2 ( « U “		? F	s r ( " + ? + i ^			) ’	<19-37>
( i !				а \,2)о	2nhd		ЧаЪ	(* >	V -'	(19.38)
( i !	(^а1^аг)о						ЧаЪ	(* >	V -'	(19.38)
а 1,2/0\|)о	(^а1^аг)о						+		У+
							+		У+
При выводе формул (19.37),					(19.38) учтено, что при а Е 2 »					1
				А®р		со0d
				А®р		/ 2 а ] ! 2	’
						/ 2 а ] ! 2	’
Из (19.37),			(19.38)	следует, что в сильном поле основным яв
ляется	второй		член	в формуле (19.22).				Таким	образом, при
а Е 2 »	1
			(6£ i Ь Е и2)е>= ±			« W	U	, .		(19.39)
			(6£ i Ь Е и2)е>= ±			со2 + (А -		В)2 ’		(19.39)
при а Е 2		1 имеем
			л	в — a °d		1x2				(19.40)
					аЕ2	Y a ftV V	+	Yai

Отсюда после интегрирования по частотам получаем выражение для относительной дисперсии флуктуаций амплитуд встречных волн

( 6El 2>	*>0«Yab VV-2 + y2ab ,„#п\|1 ч	(19.41)
Е2'2 ~	2d2\|Х

Перейдем теперь к исследованию амплитудных флуктуаций, когда корреляционное приближение неприменимо.

$ 3]		МЕТОД ФОККЕРА - ПЛАНКА						367
§ 3. Флуктуации амплитуд встречных волн
вблизи порога генерации и на границе области неустойчивости
режима встречных волн
Ограничимся приближением слабого поля. В этом случае
уравнения (19.1)	можно записать в виде					?)/]		2= «01а,,2(/).	(19.42
+	[ааЕ12+		0а£°		,-(<* +	?)/]		2= «01а,,2(/).	(19.42
Здесь учтено, что
	a + p =		Р2 +		2Yg&	1+	g	(19.43)
	a + p =		j	» 2 + Ч 2аЬ		2	’	(19.43)
				» 2 + Ч 2аЬ		2	’
	/	1			( Q r f - 1 ) .			(19.44)
	/	а + р			( Q r f - 1 ) .			(19.44)
		а + р
При Ei — Е 2 с	учетом равенств (19.15) из системы уравнений
(19.42) получаем уравнение (18.35) для амплитуды стоячей вол
ны. Из уравнений (19.42) следует, что при отсутствии шумов в
стационарном режиме			El =	E 2 = E 0.				(19.45)
			El =	E 2 = E 0.				(19.45)
Уравнение Фоккера — Планка для плотности распределения
W ( E i , E 2), соответствующее				системе		уравнений		Ланжевена
(19.42), имеет вид

	+ ж {	(	“ £ ? + М 3 - С + в о - ж « . ) . ] г I +
+	ж	!	[	^	(	“ о	£	> + \|	, а	£ г	- ( “ + (
Условие нормировки функции W {Е\,Е2) имеет вид
			00	оо
			J	J W(EU E2)dExdE2= \ .							(19.47)
			о	о
	Стационарное		решение уравнения					(19.46)	можно		записать
в виде
W (£„ Е 2) =		С В Д ехр{ -			-А- \{аЕ \ -		i f	+ (а£* -	i f	+
					+	2 ^{aE2i-l){aEl — /)]}.					(19.48)

368

ФЛУКТУАЦИИ В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ

[ГЛ. XIX

Постоянная С определяется из условия нормировки. Общие вы ражения для моментов амплитуд встречных волн для стацио нарного распределения (19.48) очень сложны. Рассмотрим два наиболее интересных частных случая.

1. Флуктуации амплитуд встречных волн на пороге генера ции (Е = 0) при произвольных расстройках (произвольных зна чениях параметров а, р). Выражение для нормировочной по стоянной С принимает вид

	С = 8 / а 2 -				—	(arctg
			N 2
а для моментов имеем					п+4
	Г (п/4) / N				п+4		'« + 2 . 1
{ Е пи2) = С п -	Г (п/4) / N						'« + 2 . 1
{ Е пи2) = С п -	16 (п + 2) \ а V а '						\,	4	’ 2
	16 (п + 2) \ а V а '						\,	4	’ 2
		тп			4а а2 \			т + я + 4
	V h	тп			4а а2 \			4	X
	V h	т + п + 2			AT2	J			X
( 2 )	( 2 / р ( т + 2 , п 4- 2 , т + п \|
, ^ т + п + 2 j		^ ('
Отсюда находим низшие моменты
/ р	\	Г ( 1/	/	N	\з/2		r F / 3 .		1 .
/ р	\	г (‘/4)	/	N	f		r F / 3 .		1 .
{Ьи2}		48	( а У К /					14 ’	2 ’
		гг3/2
/ р 2	\	J 0 L — 2 — ( - J L - ) 3 c
\E U 2 ) = 16 а + р \аУ~а)								’
<£l.2> =					N			1 —	2 -
		2 а2 — р2		\ а				1 —	2 -

12 \ -1		(19.49)
		(19.49)
		(19.50)
3	а2 — Р2	). (19.51)
	а2	). (19.51)
	«2 —	\
4 ’	а2	) ’
I2-	р2\	(19.52)
I2-	р2\
а2 Г
		(19.53)
	,	(19.54)
		(19.55)

мул находим				t =	р, из этих фор-
мул находим
( Е и2)- г (1/4) . / J 5 J ! , <£b> =				/ f	£ ,
			i .
/ „ 4 \	2 IV2	/ р 2 р 2 \	1	N *	(19.56)
					(19.56)

S3] МЕТОД ФОККЕРА — ПЛАНКА 369

Рассмотрим выражения для относительной дисперсии интен сивностей встречных волн и коэффициента корреляции интенсив ностей. Используя формулы (19.53)— (19.55), найдем

(

ft jAa2 _ Й2 /

у а2 _ В2 \ 1 1

1 1 ~

.■

( ,rd 8

)

( 4 2 ) 2

f a 2 - Р2

я ( а — Р)2 ( arctg

(19.57)

Р =

( ^ )

- ( 4

г ) 2

( £ l . 2 > - « 2 > 2

К«2- Р 2(arctg

f a

2 - р2

- Р ( arctg

V а 2 -

Р2 V

я (а - Р)2

Р2 V

2а

(

]/ а2 -

В .г—2-----55 .

— рг

я (а — р)2

а I arctg - ---- р— — I

— — К а

— Р

arctg - —

2а

(19.58)

Отсюда при нулевой расстройке

(р =

0, а =

Р = 0,5)

находим

о2=

0,70,

р =

— 0,22. При р, =

уаь (Р =

а/2 = 0,25)

а2= 0,64,

р =

— 0,19. Мы видим, что в самой «опасной» в рамках корре

ляционной теории области, когда одновременно выполняются условия Е — 0 (порог генерации), р = 0 (граница области устойчивости двухволнового режима), все моменты и, в частно сти, о2 и р конечны.

2. Флуктуации амплитуд встречных волн на границе устой

чивости двухволнового режима (а =	р). При а = р находим
с = - ж { е~т№ + ^ ж [	1 + ф (-г)] } " •	(1 9-59)

Вторые и четвертые моменты амплитуд определяются выражениями

< £ 2 2> =	N 3				(19.60)
	8а3 /	-	И	1+(--)]•	(19.60)
	8а3 /	-	И	1+(--)]•
	N2			N 4	(19.61)
( E i 2> =	~ 3	N2	1	12а'- С е ~ 2Р1м\	(19.61)
< £ ? £ \|> =	( £ Ь > / 2.				(19.62)