ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
§ 41 |
ФЛУКТУАЦИИ ЧАСТОТ И ФАЗ |
371 |
получим из уравнений (19.66) следующие выражения: |
|
|
Л»,, = |
W + O’)(«£».0. + 2C D (4В, 6Е4 + ($ , |
(19.70) |
|
с0 |
|
В слабом поле (а Е 2 2 < 1) с учетом выражений (19.25) для спектральных плотностей флуктуаций поля из (19.70) получим
|
ш0 |
1 + |
Ь2(а2+ р2) |
(19.71) |
At0 l.! |
(£ф 1,2)0 |
(а 2 — р2)2 |
||
Здесь использовано обозначение Ь = |
РУа6/(2(р2 + у26)). |
Второй |
||
член в квадратных скобках определяет вклад амплитудных флуктуаций в ширину линии каждой из встречных волн. При приближении к границе устойчивости двухволнового режима (а _>|3) в корреляционном приближении роль амплитудных
флуктуаций неограниченно возрастает. Неограниченно возра стают, следовательно, и величины Дач, 2.
Однако расчет, основанный на решении уравнения Фоккера — Планка, показывает, что на границе области неустойчивости вто рой член в квадратных скобках в формуле (19.71) конечен (по рядка Ь2). Так как b2 < 1, то вклад амплитудных флуктуаций оказывается малым.
В ряде случаев, например при использовании кольцевого ла зера в качестве гироскопа, представляет интерес определение ширины линии сигнала биений
S (0 = S0cos ( ф‘ ~ фг + Ф0) .
Из уравнений (19.66) найдем уравнение для флуктуации ча стоты биений Ф = ф) — ф2
6Ф= [(С - D) (6Е х- бЕ 2) + (1Ф, - |ф2)]. (19.72)
Отсюда следует выражение для ширины линии сигнала биений
Д о |
_ |
Д Ф _ _ |
( й ф г ) ° |
|
= |
Д |
{(С - |
D )2 [(ЬЕ12)0 - (б£, 6Я2)0] + (Й.. 2)0- (|ф>Ыо). |
(19.73) |
В слабом поле это выражение принимает вид |
|
|||
|
|
|
шо Г |
|
|
|
|
Даь 1 2Е2 L 1 + ( а - Р ) 2 (^Ф1. 2)0 - |
(19.74) |
372 |
Ф Л У К Т У А Ц И И В К О Л Ь Ц Е В О М Л А З Е Р Е |
[ Г Л . X IX |
Приведем выражение для Асоцг и для ширины линии спектра сигнала биений Au>s в другом предельном случае — случае силь ного поля:
Д©1,2= Дй>5 : |
пЪ d<4ayab |
|
V - |
(19.75) |
||
4ix2V |
V ^ 2 + y| 6( ^ |
_ |
Y+ |
|||
|
|
|||||
Мы видим, что в слабом поле величины Ашц 2, |
A©s ~ 1/£2. При |
|||||
а Е 2 —► оо величины Дол, 2, Acos |
стремятся к постоянному значе |
|||||
нию (19.75). |
|
|
|
|
|
|
§ 5. Влияние связи между встречными волнами
Перепишем еще раз уравнения (19.1) для амплитуд и фаз встречных волн в кольцевом лазере, добавив к ним члены, обу словленные вращением лазера:
|
= |
+ |
т и 2Е 2, , sin (Ф + О,. 2) + ©„Sal.2(0, |
(19.76) |
|||
<*ф1, 2 |
Q |
(On j |
# |
соnd |
-СОЭ(Ф -f'O'i.z) ■ |
CD0 |
5ф!,2( О - |
dt |
~2 — |
4ltKi, 2----2 mi- |
Ei. i |
||||
Предположим, что разность частот Q и величины связи m \t 2 таковы, что частоты встречных волн одинаковы (волны взаимно синхронизованы). В этом случае в отсутствие флуктуаций раз ность фаз между встречными волнами Ф является постоянной величиной. При наличии флуктуаций разность фаз изменяется, но при условии слабой связи (см. условие (6.2)) характерное время изменения Ф оказывается значительно больше, чем время релаксации амплитуд. Поэтому в уравнениях для амплитуд (19.76) разность фаз Ф можно считать детерминированной.
Представим амплитуды встречных волн Е \ >2 в следующем виде:
|
|
Е\, 2= Ео + |
A-Ei, 2+ &Еи 2. |
|
||
Здесь Ео — амплитуды встречных |
волн в отсутствие |
связи и |
||||
флуктуаций, |
A E \t2 — поправки, |
обусловленные наличием связи, |
||||
бЕ \ <2 — флуктуации амплитуд. |
Из |
уравнений (19.76) |
следует, |
|||
что |
сo0d р Ami, 2 sin (ф + |
г) + |
Вт2, ) sin (Ф + d2, i) |
|
||
ЬЕ\. 2— |
(19.77) |
|||||
|
2 |
А2 — В2 |
||||
В формуле (19.77) величины А и В определяются выраже ниями (19.20), (19.21).
Легко убедиться, что спектр флуктуаций амплитуд при на личии связи в области частот в первом приближении
$ б] |
ВЛИЯНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ВСТРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ |
373 |
совпадает со спектром флуктуаций амплитуд встречных волн в отсутствие связи через обратное рассеяние.
Рассмотрим теперь флуктуации фазы. Уравнения для малых флуктуаций фазы имеют вид
|
(С ЬЕи 2+ D бЕ 2., + 6Ф1.2) |
- |
М и 26Ф, |
(19.78) |
4 ^ - = |
^ [(С - D) (бЕ 1- б£2) + (6ф1 |
- |
1ф2)] - м 6Ф. |
(19.79) |
ut |
Со |
|
|
|
Здесь
^1.2 = 4 р { — m,.2sin(® + ^i. 2) ±
± j ^ B 2 [ ( C A - D B ) m U2 cos(Ф+ О,,2) + ( C B - D A) tn2,, cos(Ф+ Ф2)]},
М = М 1— М 2 = |
j — m, sin (Ф + 'в'Л + |
tn2 sin (Ф + Ъ2) + |
+ |
юо АС I д [mi cos (Ф + |
fy) + m2cos (Ф -f ■й'г)] j, |
ф — стационарное значение разности фаз в отсутствие флук туаций, С и D определяются формулами (19.67), (19.68).
Нетрудно убедиться, что имеет место следующее соотно шение:
М = |
= Q01cos (Ф + Ч;) I = KQq— й2, |
(19.80) |
где Qo— ширина полосы синхронизации, Ч*1— фаза, определяе мая фазами коэффициентов связи между встречными волнами. На границе полосы синхронизации величина М обращается в
нуль.
Из уравнений (19.78), (19.79) находим спектральные плот ности флуктуаций частот встречных волн и разности частот
(«Фь2)ш= |
( Ч Г + |
жМ 2 +г :со,2 (6Ф2),со(0 ) * |
(19.81) |
|
т \ = |
М+сй2 |
(6Ф2)' |
(19.82) |
|
|
>?• |
|
||
Здесь (бф^ 2)<0>, (6Ф2)® — |
спектральные плотности |
флуктуаций |
||
частот и разности частот встречных волн в отсутствие связи. Таким образом, спектральные плотности флуктуаций час
тоты и разности частот встречных волн существенно зависят от величины и фазы коэффициентов связи, а также от положения внутри области синхронизации, т. е. от скорости вращения ла зера. Спектральная плотность флуктуаций разности частот
374 ФЛУКТУАЦИЙ В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ [ГЛ. XIX
встречных волн при со = 0 за счет связи между волнами обра щается в нуль при М Ф О . Если же М = 0, то (6Ф2)Ш= (бФ2)^1*.
Влияние связи на спектральную плотность флуктуаций частоты каждой из встречных волн сводится к тому, что к ней добав ляется или из нее вычитается, в зависимости от знака произве
|
дения |
M i M 2, еще |
лорен- |
||
|
цевская линия ширины М. |
||||
|
|
Представим |
произве |
||
|
дение М [М 2 в следующем |
||||
|
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19.83) |
|
Отсюда видно, что на |
||||
|
границе полосы синхрони |
||||
|
зации, |
когда |
|
М = О, |
|
|
А?,М2=ф 0 и , следователь |
||||
|
но, спектральная плот |
||||
|
ность |
флуктуаций |
часто |
||
|
ты каждой из |
встречных |
|||
Рис. 19.2. Зависимость спектральной плотности |
волн при со = 0 становит |
||||
флуктуаций частоты с учетом связи через обрат |
ся |
неограниченно |
боль |
||
ное рассеяние от частоты. |
шой. В центре полосы |
||||
|
|||||
синхронизации знак произведения М \ М 2 |
может быть различным |
||||
в зависимости от соотношения между коэффициентами связи Шх и т2. В частности, если модули коэффициентов связи равны ме жду собой, то
Af1 + М 2 = щтй [ М‘д sin 7 ^ — cos в* 1 дг~] sin (Ф + 40
и, следовательно, в центре полосы синхронизации М \ М 2 = — М 2/ 4. Значение спектральной плотности флуктуаций частоты в нуле в этом случае равно
( 4 A - ( 4 A " - T < 4® t , -=
= - Щ «с ■+DY [(«£?.г)с+ (0£,ЫУь]+ (6J,.,)„+ (£ф,ад.)■(I''9.84)
В слабом поле (бф^ 2)0 «=» (бф?,г)^*
Примерный график зависимостей спектральных плотностей частот встречных волн и разности частот между ними от ча стоты для случая слабого поля и равных по модулю коэффи циентов связи изображен на рис. 19.2. Кривые 1 а 1' соответ-