ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
Г Л А В А XX
ЕСТЕСТВЕННЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В ЛАЗЕРАХ
СОДНОРОДНО УШИРЕННОЙ ЛИНИЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ
Внастоящей главе мы рассмотрим некоторые вопросы тео рии естественных флуктуаций в газовых лазерах с однородно
уширенной линией излучения (ku <С уаь) и в твердотельных лазерах. Для полноты картины будет также кратко изложена теория естественных флуктуаций в молекулярном генераторе. Этот случай интересен тем, что соотношение между парамет рами у. Дыр здесь иное, чем в газовых и твердотельных лазерах. Вследствие этого существенно изменяется, например, выраже ние для ширины линии излучения.
Заключительные параграфы главы посвящены некоторым проблемам теории естественных флуктуаций в лазерах.
§ 1. Основные временные параметры
Вернемся к неравенствам (17.20), определяющим соотноше ние временных параметров резонатора и среды в Не— Ne-ла- зере. При исследовании флуктуаций амплитуды и фазы в газо вом лазере появилось еще два характерных параметра, А(оа, До, — ширины спектров соответственно амплитудных флуктуа ций и поля излучения.
В области, где справедлива корреляционная теория, |
|
ДсОа^Дсйр, Аш= D <С Да>а- |
(20.1) |
Из соотношений (17.20), (20.1) для газового лазера следуют неравенства
Уа> УЬ> УаЬ > Д®а > А®. |
(20.2) |
которые и были фактически использованы при расчете поляри зационного шума в газовом лазере: мы считали амплитуду и фазу поля нефлуктуирующими величинами, т. е. пренебрегали их изменениями за время релаксации флуктуаций поляризации и населенностей.
S И |
BPEMEHHbfE ПАРАМЕТРЫ |
381 |
В твердотельном лазере и молекулярном генераторе поло жение иное. Приведенные ниже расчеты показывают, что в от личие от газового лазера спектральная плотность амплитудных флуктуаций является немонотонной функцией частоты. Ее при ближенно можно рассматривать как состоящую из двух линий:
широкой линии с шириной
дР2
|
Асоа = |
Аюр ^ —£2 < Асор |
(20.3) |
||
и узкой линии с максимумом на частоте |
|
|
|||
|
©max ~ V Л©ру а Е 2, |
У = |
Уа — Уь |
(20.4) |
|
и с шириной |
|
|
|
|
|
|
Л©а1 «у(1 + а£2). |
|
(20.5) |
||
При |
получении формул |
(20.3)— (20.5) |
предполагается, что |
||
у/Айр |
а Е 2 «С Асор/у. Это |
условие |
практически всегда |
-выпол |
|
няется. |
|
|
|
|
|
Ширина линии излучения твердотельного лазера |
|
||||
|
Д<в -С Дсоа1, |
Дюа. |
|
(20.6) |
|
Таким образом, для твердотельного лазера выполняются нера венства
Дсо < у ~ А(0а1< Ао)а < уаь- |
(20.7) |
При расчете флуктуаций поляризации в твердотельном ла зере нефлуктуирующей можно считать лишь фазу.
Для молекулярного генератора уа ~ уь ~ у0ь = у и соответ ствующие неравенства имеют вид
А© < у < Дсоа, |
(20.8) |
следовательно, в молекулярном генераторе наиболее широким является спектр флуктуаций амплитуды.
Исходные уравнения для лазера с однородно уширенной ли нией следуют из уравнений (17.1)— (17.4), если в них скорость атомов положить равной нулю. Чтобы выявить основные осо бенности характера флуктуаций в таком лазере, сделаем неко торые упрощающие предположения. В частности, будем счи тать, что уа = уь = у. В этом приближении R = R°, а уравнения для функций D, раь, рьа имеют вид
= |
- ТГ WbaVab - |
d abPbal Б - у (D - DP), |
(20.9) |
(-Jr + |
i(°ab + Ya6) Раб “ |
— t dabED, рйа — 9ab- |
(20. 10) |
382 ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ОДНОРОДНОМ УШИРЕНИИ 1ГЛ. XX
К этим уравнениям следует добавить уравнение поля (17.5) и выражение для вектора поляризации
Р = п {dbap ab + |
dabpba). |
(20.11) |
Для описания динамических и |
флуктуационных |
процессов |
в молекулярном генераторе можно использовать два разных подхода. Один из них подробно изложен в книге Ораевского [1] и в книге Малахова [2], где в качестве исходных используются уравнения для функций раь, рьа, D или вектора поляризации Р
и D, усредненных по временам пролета молекул через резона тор. Полученные таким путем уравнения для вектора поляри
зации Р и разности населенностей D |
(уравнения (32. III) книги |
[1]) соответствуют уравнениям (20.9), |
(20.10), если в последних |
сделать замену у->-1/7’ь у а ь - * - \/ Т 2 , |
йаъ-+\1аъ- Таким образом, |
уравнения (20.9), (20.10) могут служить и для описания про цессов в молекулярном генераторе.
Другой способ описания использован в работе [3]. В ней в качестве исходной служит система уравнений для элементов матрицы плотности, которые характеризуют состояния молекул пучка, проходящего через резонатор.
Оба подхода дают близкие результаты. Для общего едино образия будем использовать здесь уравнения (20.9), (20.10) и для молекулярного генератора.
Для режима бегущей волны поле Е имеет вид (17.7). Как
и в гл. XVII, введем медленно меняющиеся функции |
|
|
Раб = Раъе~ 1 |
= рФье-г («tf-V). |
(20.12) |
Подставим выражения (17.7), (20.12) в уравнения (20.9), (20.10) и опустим нерезонансные члены. В результате получим следующие уравнениядля медленно меняющихся функцийZ), p^ft:
- § - + у (D - |
О”) ------ i K . E pV " - |
<20.13) |
( ! " - '> * + |
V * )p b - — W d°>E e~ " D ’ % - (% )■ • |
<2(U4> |
Обратимся теперь к уравнениям для амплитуды Е и фазы ф. Представим по-прежнему вектор поляризации Р в виде (17.19), т. е.
Р ( г , 0 = Р(ИНД) + 6 Р (СП). |
(20.15) |
В твердотельном лазере и молекулярном генераторе вследствие неравенств (20.7), (20.8) при определении индуцированной и спонтанной частей вектора поляризации амплитуду нельзя счи тать нефлуктуирующей и, следовательно, нельзя свести задачу к уравнениям для Е и ф с заданными случайными источни ками, т. е. использовать уравнения (17.23), (17.24).
§ 2] СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ГЕНЕРАЦИИ 383
Запишем общие уравнения для Е, ср. Для этого обратимся к уравнению для поля (17.8). Из него получим следующие урав нения для Е и ф:
dE |
, |
Щ E = - % (4nPs + E ^ ), |
dt |
+ |
2 Q |
|
dq> |
-- ^ (4 л Р с + Ё ст{ >). |
|
(20.16) |
||||
|
1 Г |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь введены обозначения |
|
|
|
|
|
|||
Р S, с |
_ 1_ |
Г |
sin (сй(/— k0r |
-f <р) |
|
|
||
V |
J 6 |
cos (to(/ — k0r |
+ |
cp) |
r’ |
|
||
|
(20.17) |
|||||||
ew _ _1_ Г |
p ( T)s i n |
(® o * — V |
+ |
ф) |
|
|||
|
ф) |
|||||||
* - • 3 , С |
V |
J |
|
с о з М - Л о Г + |
||||
------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции PS' C связаны с медленными функциями раЬ, |
рЬа равен |
|||||||
ствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е — 2 (^ЬаРаЬ "4“ ^abPba)t |
P s — |
* 2 №baPab |
&аьРЬа)ш (20. 18) |
|||||
Заметим, что уравнения (20.14) сводятся к уравнениям для функций раь, рьа лишь в том случае, когда можно пренебречь членами с производной d<f/dt. Это возможно, если коэффициент при dq>/dt в выражениях для Рс, Р 8 достаточно мал. В случае молекулярного генератора, как мы увидим, в Р8 входит член
^ |
и> слеД°вательН0> нельзя пренебречь изменением |
фазы в уравнениях (20.14).
§ 2. Стационарный режим генерации
В стационарном режиме величины D , Е постоянны. Из урав нения (20.14) выразим функцию р%ь через D , Е, ср. Принимая
во внимание постоянство D, Е, получим
ОО
P lb ^P a b e- t<f= - W d abE D J е- ^ - ^ х' гф(,- г)dx. (20.19)
о
Подынтегральное выражение в уравнении (20.19) заметно убывает на временах порядка 1/у0ь. За это время (см. нера венства (20.7), (20.8)) фаза меняется мало. Разложим поэтому функцию cp(f — т) в ряд по т, удержим два первых члена раз ложения, а затем проинтегрируем по т. В результате после