384 ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ОДНОРОДНОМ УШИРЕНИИ [ГЛ. XX
сокращения на e_i(Pполучим |
|
Pab=~2fidabED(l + ^ — |
— L _ _ _ , |
|
( 20.20] |
Р Ьа РаЪ’ |
|
Подставим эти выражения в формулы (20.18). Результат удобно записать в виде
|
— U + |
dф д |
)< ( % )* , |
|
2D° \ ^ |
, dt |
дщ |
(20.21) |
|
— U + |
rfqp |
д |
|
|
|
2DO\ L ' |
dt |
<Jco0 ) < Ы Е - |
Здесь xj, х" —действительная и мнимая части поляризуемости при нулевом поле. Для неподвижных атомов в режиме бегущей
волны поляризуемость |
хо определяется выражением |
|
х0(©): |
п1dab 1 |
|
1 |
D |
( 20.22) |
3Ь |
|
D0 со — со |
х = х0 D0 |
|
|
|
|
аЬ + |
{УаЬ |
|
Из уравнения |
(20.13), используя |
(20.21), находим уравнение |
для разности населенностей |
|
|
|
|
|
|
dtp |
д |
ЧаЬ |
(20.23) |
Z) = Z)° — aE2D{\ + |
дщ ) (со0 - соаЬ)2 + уаЬ2 |
|
|
|
dt |
|
Используя выражения (20.21) и уравнения (20.16), запишем уравнения для амплитуды и фазы в стационарном режиме
^ |
+ |
4 * - £ ( 1 + 4 г -я г ) < Ы - 0 . |
<20-24> |
( l +2яса0- ^ ,- ^ ) - ^ - = = — 2ла0к'(ю0). |
(20.25) |
При нулевой |
расстройке уравнения (20.23) (20.25) прини- |
мают вид |
|
|
+ |
4ях" (со0) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
D = |
Z)° |
|
|
(20.26) |
|
|
(1 + аЕ2) |
’ |
|
Рассмотрим |
случай |
малой расстройки |
(р<^уаь). |
В линей |
ном приближении по dq/dt уравнение (20.25) для фазы с уче том уравнения (20.24) можно записать в виде
[ 1 + i f c ] • & — 2’™ * ' <“ »)• |
<20-27> |
Отсюда следует, что для твердотельного лазера, когда coo/(2Q) < «С уоб, второй член в квадратных скобках мал и уравнение для
§ 3] ФЛУКТУАЦИИ ПОЛЯРИЗАЦИИ и ПОЛЯ 385
фазы совпадает с соответствующим уравнением для газового
лазера. |
уаь = у (см. (20.8)), |
В молекулярном генераторе wo/(2Q) |
поэтому основным оказывается второй член в квадратных скоб ках. Напомним, что он появился вследствие учета изменения фазы при решении уравнений (20.14).
§ 3. Уравнения для флуктуаций поляризации и поля
Из неравенств (20.7), (20.8) следует, что время 1/D = 1/Дш, характеризующее диффузию набега фазы, значительно больше времен релаксации флуктуаций амплитуды и поляризации. Вследствие этого при исследовании флуктуаций поляризации и поля фазу можно считать нефлуктуирующей.
Из равенства (20.15) находим, что |
|
6Р = 6Р(инд) + 6Р(СП\ |
(20.28) |
т. е. флуктуация поляризации представляется в виде суммы ин дуцированной и спонтанной флуктуации.
Для спектральной плотности спонтанных флуктуаций мы используем выражения, полученные в гл. XVII при исследова нии флуктуаций в газовом лазере, а сейчас рассмотрим уравне ния для индуицированных флуктуаций. Используем определение
Рай = Райе_‘'ф
и учтем, что при исследовании флуктуаций поляризации и поля фаза считается детерминированной. Тогда
6рфй = 6рай^ . |
|
(20.29) |
Из уравнений (20.13), (20.14), используя (20.29), находим |
уравнения для индуцированных частей |
флуктуаций бD, |
браь |
( 4 г + у) 6£,<и"д) + J Ка^р<Г> - ^ й ^ р 'Г Ч = |
|
^ ----ТрМйаРай—^айРйа] 6Е, |
(20.30) |
[-w ~ l { % ~ aab + ty,»)] вр‘Г» + |
|
|
+ -JF dabE 6 D ^ = |
- - ^ d abD6E, |
(20.31) |
бр6а = 6р;б. |
|
(20.32) |
Из этих уравнений следует, что источником индуцированных флуктуаций являются флуктуации амплитуды бЕ.
Чтобы яснее и проще представить особенности характера флуктуаций в твердотельном лазере и молекулярном генераторе,
13 Под ред. К). Л. Климонтовича
38‘. |
ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ОДНОРОДНОМ УШИРЕНИИ |
[ГЛ. XX |
рассмотрим |
случай нулевой расстройки. В этом |
приближе |
нии вместо уравнений (20.30), (20.32) удобней использовать
уравнения для |
6£><ИНД> и флуктуаций поляризации бЯсИНД), бР("нл) |
(см. (20.18)). |
Для них из |
(20.18), (20.30) —(20.32) |
получаем |
следующую систему уравнений: |
|
|
(^ - + у) 6£>(инд) - |
\ ЕбРТ'д) = |
P sb E , |
(20.33) |
( 4 + Ye») ^ |
“НД) + -n l2 dt f |
Е Ь О т л) = - |
D 6 E , |
(20.34) |
|
( ^ - + у)бР'инд, = |
0. |
(20.35) |
Уравнение для флуктуаций амплитуды следует из (20.16). Его можно теперь записать в виде
~ + -g - 6Е + (Оо4лбР'инд> = ©о£а (0. (20.36)
где
£а (0 = —(4я6РаСП) + Ё^).
Чтобы получить выражение для спектральной плотности | а, обратимся к формулам (17.28), (17.98). Для неподвижных ато мов, когда D°(v) =£>°б(ц), получаем из них следующее выра жение:
|
( |
6 2 |
4яЙД<вп Г |
1 |
1 R° I |
(20.37) |
|
(03У [« + Y + Т ~ W J • |
|
|
|
),со=0 |
|
|
Оно совпадает |
с соответствующим |
выражением (17.103) для |
газового лазера при ku «С уаь-
Следует, однако, иметь в виду, что выражения (17.103) спра ведливы для области частот © <к. уа, уь, Уаь■Этого было доста точно для газового лазера, так как для него имеют место нера венства (20.2).
Для твердотельного лазера величины уа, уь малы по сравне нию с Д©а, поэтому при расчете амплитудных флуктуаций нуж но использовать более точное выражение для спектральной плотности (£а)ш- При расчете этой функции можно лишь пола
гать, что © <С уаь (соотношение © <С уа, уь не имеет места). Со ответствующие расчеты приводят к выражению
4ЛЙДШР Г д |
| |
1 |
I |
1 |
* ° л |
<°J ’ |
(20.37а) |
©0К L |
^ |
2 |
^ |
2 |
D° |
|
_ |
у1ь 0 + |
аЕ2) [и2 + у2 (1 + аЕ2)] |
° ~~ |
© 2 (Уаъ — |
У)2 + I©2 — УУаЬ (I + аЕ 1)]2 ' |
§ 4] ФЛУКТУАЦИИ В ТВЕРДОТЕЛЬНОМ ЛАЗЕРЕ 387
Таким образом, теперь спектральная плотность зависит от ча
стоты. Заметим, что |
в предельных случаях |
аЕ2 = 0, аЕ2.= оо, |
= 1. При других полях А достигает максимального значения |
\ пах « 1+ аЕ‘2 ПРИ |
“ max = YYаь V аЕ2 (I + |
аЕ2) . |
Таким образом, зависимость спектральной плотности ('I2') '°аЛо
от to является слабой и, как мы увидим ниже, мало меняет ха рактер спектра амплитудных флуктуаций.
Используем систему уравнений (20.33) — (20.36) и выраже ние (20.37) для определения спектральной плотности флуктуа ций амплитуды в твердотельном лазере и молекулярном гене раторе.
§4. Флуктуации амплитуды в твердотельном лазере
Втвердотельном лазере величина уаь много больше Awa, поэтому при нахождении спектральной плотности амплитудных
|
флуктуаций можно ограничиться областью частот со |
уаь и по |
|
этой причине пренебречь в уравнении (20.34) |
членом |
-^-бр“ нд) |
|
по сравнению с |
уаьЬР(*'т). |
(20.22) для поляризуемости и вве |
|
Используем выражение |
|
дем обозначение |
флуктуации |
поляризуемости |
|
|
|
6х (со) |
n \ d abf |
|
6Д (инд) |
|
(20.38) |
|
ЗЙ |
со |
сОд/, -J- iyail |
D |
|
|
|
Из уравнения (20.34) находим
бЯинд) (со = 0) = \ \к" (а>аЬ) бЕ + б%" (&аь) Е\.
С учетом (20.38) запишем это выражение в виде
6Р<ИНД) (со = 0) = у и" (соаЬ)[ 1 |
+ 4 - S ] |
ЬЕ- |
(20.39) |
Подставим это выражение в уравнение |
(20.36), |
записанное для |
фурье-компонент. С учетом условия стационарного режима ге
нерации |
(20.24) |
получим уравнение для |
б£(со) |
|
|
( |
- /СЙ- - Щ ^ ж ) ЬЕ(<>>) = |
<»о1а (<й). |
(20.40) |
Выражение для |
функции 4 |
|
следует |
из уравнений |
(20.33), |
(20.34) |
и имеет вид |
|
|
|
|
|
|
Е 6D |
. |
2уаЕ2 |
|
(20.41) |
|
|
D ЬЕ |
1 w + i y ( l + a E 2) |
|
|
|
388 |
Ф Л У К Т У А Ц И И П Р И О Д Н О Р О Д Н О М У Ш И Р Е Н И И |
[ Г Л . XX |
Из уравнения (20.40) находим искомую спектральную плот ность флуктуаций амплитуды для твердотельного лазера
(б£2)ш= |
!(Й)« |
аЕ2) Y • |
АсОрУаЕ2 |
( { ка>ругаЕ2 (I + |
йГ |
со2 + у2 (1 + аЕ 2)2 } |
+ 1 ш2 + у2 (1 + а Е 2) *') |
|
Это выражение можно записать в виде |
|
(б£2)ш= |
[со2 + v 2 ( l + |
аЕ2)2] со2 ( g 2) tt |
(20.42) |
-(со2 - уДсора £ 2)2 + c o V (1 + аЕ2)2' |
Из него следует, что спектральную плотность флуктуации амплитуды можно рассматривать приближенно как наложение двух линий: широкой линии
|
(6£2)tt |
;0а)а |
Дот = Дсо„ |
аЕ2 |
(20.43) |
|
со2 + Аш2 |
+ аЕ2 |
|
|
|
|
|
|
и узкой линии с шириной |
|
|
|
|
|
|
Дй>а1 = v(l + «'S2) |
|
(20.44) |
|
и максимумом на частоте |
|
|
|
|
Ютах= |
V ДейруаЕ2 — Y2 (1 + |
аЕ2) . |
(20.45) |
|
Отсюда следует, |
что максимум существует при полях у/Дюр < |
|
< аЕ2< Д(Ор/у. |
Пик |
на кривой спектра |
амплитудных |
флук |
туаций был предсказан Маккомбером и обнаружен эксперимен тально [4].
Появление пика в спектре амплитудных флуктуаций твердо тельного лазера связано с большой инерционностью населен ностей рабочих уровней. В газовом лазере у ~ уаь ДыР и амплитуда поля излучения при небольших отклонениях от ста
ционарного состояния приближается |
к нему апериодически. |
В твердотельных лазерах в силу того, |
что у «С Дсор < уаь, при |
ближение к стационарному состоянию носит осциллирующий характер с частотой сотахАналогичные явления наблюдаются
ив ламповых генераторах с инерционной нелинейностью [14]. Найдем выражение для дисперсии амплитуды. Функция Ат
вформуле (20.37) слабо зависит от частоты. Она достигает
максимума при частоте V YYаь УаЕ2{1+ аЕ2) , значительно
превышающей сотах (20.45), когда функция (бЕ2)ш уже мала. Поэтому при интегрировании по ш при вычислении дисперсии будем полагать Am— 1, т. е. использовать формулу (20.37а). В результате получим выражение1
< 6 £ 2 > = T co2 ( s 2) 0 |
1 + а Е 2 |
1 |
- J — 1, |
(20.46) |
|
ДШраЕ 2 |
у |
1 + аЕ2 J |
|
