Файл: Бушмелев, В. А. Процессы и аппараты целлюлозно-бумажного производства учебник.pdf

Уравнение движения вязкой жидкости Навье—Стокса

На рис. 1-6, а показан вертикальный трубопровод круглого се­ чения с направлением движения потока по оси z, которая проведена через центр сечения. Движение частиц жидкости параллельно-струй­ ное, без перемешивания слоев.

Под плоскостью X в потоке выделен элементарный объем жидкости, который в более крупном масштабе показан на рис. 1-6, б. На границе с гранью ABCD элементарного объема жидкость движется с меньшей скоростью, чем на границе с гранью abed.

На элементарный объем действуют силы: массовая сила G, направ­ ленная вниз; сила давления FАВЬа, действующая нормально на грань

Силы давления, действующие на вертикальные грани, мы не рас­ сматриваем, так как они попарно равны, противоположно направлены и в сумме равны нулю.

Приращения сил давления, действующих по оси z на противопо­ ложные грани объема, условимся считать положительными, если они соответствуют положительному направлению оси г. Если, например, принять давление на нижнюю грань равным р, то давление на верх­

высоте Аz (соответственно положительному направлению оси z). Аб­ солютное значение силы давления, действующей на нижнюю грань, равно

FCDdc= p k x A y .

Аналогично раскроем абсолютные значения других сил. На верхнюю

21

где р,— вязкость жидкости; — — градиент скорости (производная

дх

скорости по толщине слоя).

Приращения силы трения по оси х условимся считать положитель­ ными, если скорость движения жидкости увеличивается по толщине слоя Ах соответственно положительному направлению оси х.

Сила трения между гранью abed и граничащей с ней жидкостью

По второму закону Ньютона равнодействующая сил равна произ­

С учетом знаков сил имеем равенство

PcDdc— FABba't Saecd — S ABCD—G = (# (.

22

После подстановок и сокращений получаем

Это уравнение установившегося движения вязкой жидкости, извест­ но как уравнение Навье—Стокса. Оно описывает так называемое одномерное движение вязкой жидкости, т. е. движение в направлении одной оси (в нашем случае — в направлении оси z). Размерность каж­ дого члена уравнения н/м2 или н-м/м3 — джім3. Отсюда физический смысл уравнения Навье—Стокса следующий: убывание массовых сил и сил давления в потоке жидкости с учетом тормозящего действия сил вязкости пропорционально силам инерции потока, или, иначе, уменьшение удельной потенциальной энергии потока, которая равна сумме энергии массовых сил и сил давления, равно расходу энергии на преодоление сил внутреннего трения [вязкости] и приросту кинети­ ческой энергии потока.

Уравнение Навье—Стокса обычно не интегрируется и для практи­ ческих расчетов не применяется. Однако оно необходимо для даль­ нейших выводов, которые будут приведены ниже.

Уравнение Бернулли

В некоторых случаях движение реальной жидкости с достаточной для практики точностью можно описать уравнениями движения иде­ альной жидкости. Если в уравнении (1-24) пренебречь силами вязкости (р = 0), то получим уравнение движения идеальной жидкости Эйлера:

Представим его в несколько измененном виде:

dz-\- — dp-\- — d (— ) = 0.

Уравнение Бернулли является одним из наиболее важных уравне­ ний гидродинамики, так как связывает основные характеристики дви­ жущейся жидкости. Оно показывает, что удельная энергия идеальной

жидкости, равная сумме потенциальной z + ~ и кинетической ~~

энергий, есть величина постоянная для любого сечения потока.

23

Иногда уравнение Бернулли дается и в другой формулировке. Размерности всех трех членов уравнения Бернулли одинаковы и вы­ ражаются в метрах. Величина z называется геометрическим |ниве­

от выбранной горизонтальной плоскости сравнения до данной точки жидкости. Пьезометрическим напором называется высота столба жид­

напоров называется гидродинамическим напором. Он обозначается Я,

Следовательно, уравнение Бернулли может быть сформулировано так:

Pi и р 2 — давление;

zx и z2 — расстояния от произвольной горизонтальной плоско­ сти до центров сечений.

При движении реальной жидкости часть гидродинамического на­ пора затрачивается на преодоление сил трения. Если при перемеще­ нии жидкости от первого сечения до второго (рис. 1-7) потеря напора равна h метрам, то уравнение Бернулли для двух рассматриваемых сечений запишется так:

(1-28)

2g ^ SP ^ 2g ^ gp

24

Уравнение неразрывности потока

Допустим, что по напорному трубопроводу переменного сечения (рис. 1-7) движется сжимаемая жидкость. Массовые расходы через сечения F 1 и /У соответственно равны G1 и G3, скорости жидкости ѵх и о2> а плотности рх и р2. Составим уравнение материального баланса участка трубопровода между рассматриваемыми сечениями. По урав­

Уравнение (1-29) называется уравнением неразрывности или сплошности потока. Оно показывает, что жидкость движется по тру­ бопроводу сплошным потоком, без разрывов, и произведение средней скорости движения, сечения потока и плотности жидкости есть ве­ личина постоянная на любом участке трубопровода. Для несжимаемой жидкости р = const и уравнение неразрывности потока примет вид

Таким образом, по основному уравнению гидростатики гидроста­ тический напор в любой точке жидкости, находящейся в равновесии, есть величина постоянная, равная сумме геометрической и пьезометри­ ческой высот.

Для двух точек жидкости (рис. 1-8), расположенных на расстоянии 20 и г от выбранной плоскости сравнения и находящихся под давлениями р 0 и р, основное уравнение гидростатики имеет вид

2’+^ =г+gР

по которому давление в данной точке жидкости равно сумме давлений в любой другой ее точке р0 и давления столба жидкости ghp над данной точкой.

25