Файл: Бушмелев, В. А. Процессы и аппараты целлюлозно-бумажного производства учебник.pdf

По уравнению (1-32) чаще всего рассчитывают давление в жидко­ сти р, если известны внешнее давление на жидкость р0 и расстояние по вертикали от уровня жидкости до данной точки жидкости.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ

Уравнение Навье—Стокса в общем виде не может быть проинтег­ рировано и прямо использовать его для практических расчетов нельзя. Однако ценность уравнения Навье—Стокса состоит в том, что оно пра­ вильно отражает физическую сущность движения вязкой жидкости и на его основе могут быть получены критерии гидродинамического подобия.

Условия подобия

Физически подобными называются явления одного и того же физи­ ческого характера, протекающие в геометрически подобных системах [например, аппаратах], если величины, обусловливающие ход процесса, во всех сходственных точках систем являются пропорциональными.

Отношения одноименных физических величин в сходственных точках подобных систем называются константами подобия.

Константы подобия в подобных процессах одинаковы.

Подобие явлений выражают не только с помощью констант подо­ бия. Например, можно принять значение каждой характерной физи­ ческой величины в произвольном месте системы за единицы измерения и выразить с их помощью значения одноименных величин в других местах той же системы. Если за единицу измерения линейных величин принять /„ и Lg, то при делении на них всех других линейных величин

Эти отношения безразмерны и называются инвариантами подобия. Аналогичные соотношения могут быть получены и для любых других физических величин.

26

Из уравнений (1-33) получаем: /„ — С ,І0; /х = C,LX и т. п. Под­ ставив эти значения в выражения (1-34), получим:

Аналогичные решения можно получить и для других физических ве­ личин. Таким образом, в подобных системах инварианты подобия имеют одно и то же численное значение (слово инвариантность соот­ ветствует слову неизменность, инвариант означает «одно и то же»).

Инвариант подобия может представлять и отношение произведений нескольких разноименных величин. Такой инвариант называется кри­ терием подобия. Инвариант, представляющий отношение двух одно­ именных величин, чаще называют симплексом подобия. Критерии и симплексы подобия — величины безразмерные.

Равенства инвариантов или критериев подобия в системах — это лишь необходимое, но недостаточное условие подобия. Дополнительно нужно, чтобы состояние систем было подобно на их границах и в на­ чальный период времени. Это дополнительное условие называют по­ добием начальных и граничных условий. Таким образом, необходимым и достаточным условием физического подобия систем является равенство их критериев подобия и подобие начальных и граничных условий.

Критерии гидродинамического подобия

Критерии гидродинамического подобия могут быть получены ме­ тодом подобного преобразования уравнения Навье—Стокса или пу­

Слагаемые этого уравнения безразмерны и из них можно получить критерии подобия. Для этого нужно вычеркнуть символы дифферен­ цирования и все линейные размеры привести к характерной для дан­ ной задачи одной линейной величине. В данном случае берем х =

= 2 = /.

Из первого слагаемого получаем обратную величину критерия

= Ей — критерий Эйлера, характеризующий меру отношения сил давления в потоке к инерционным силам. Значительно больший интерес

27

чаще представляет не величина давления в точке потока, а перепад давлений Ар, возникающий при перемещении жидкости от одного сечения потока к другому. Тогда критерий Эйлера будет равен

Ей = — .

ри2

Следующее слагаемое безразмерного уравнения дает комплекс

^ —— — величину, обратную критерию Рейнольдса. Критерий

Re = ^ характеризует меру отношения сил инерции потока к силам,

вязкости.

В практических расчетах применяются также различные сочета­

ния полученных критериев. Отношение = ^ E l = G a— критерий

Галилея. Он характерен тем, что в него не входит скорость дви­ жения. Величина его зависит от физических и линейных характери­ стик системы.

Если движение в жидкости происходит за счет разности плотностей Рі и р (например, при отстаивании), то такое движение характеризует критерий Архимеда:

Ar = Ga-^-= -^ gL3Р (Рі — Р)

Р

Довольно часто в число определяющих критериев включают также геометрический симплекс Г, равный отношению характерных линей­ ных величин. Применяются также и некоторые другие критерии, о которых будет сообщено при рассмотрении конкретных процессов.

Вывод критериев подобия методом анализа размерностей основан на том, что критерий — величина безразмерная. Если известны физиче­ ские и линейные величины, от которых зависит процесс, то соответст­ вующим сочетанием этих величин можно получить безразмерные ком­ плексы, которые и будут критериями подобия. Способ сочетания ос­ нован на анализе размерностей величин, отсюда и название метода.

Допустим, что процесс определяется следующими величинами: V м/сек, р кг/м3, р н-сек/м2, I м, Ар н/м2. Если этим величинам подо­ брать некоторые степени х г, х 2, . . ., хъ так, чтобы произведение сте-

•пеней указанных величин я было безразмерным, то комплекс я будет критерием подобия. В общем виде он равен

Размерность [я] = 1 или [п]Аі [р]Хй [р]Аз [/]*' [Ар]А= = 1. Под­ ставив размерности величин и заменив силу в ньютонах на кг-м/сек2, получим

[м]Хі~ЪхА'~ Хг' Хі Хй[кг]Х2+Хз+Х!>[сек] х‘ Xü 2х* = 1.

28

Это соотношение справедливо только тогда, когда степени рдвны нулю, т. е.

Хі—Зх2—х34-х,х—х5 = 0

При большем числе неизвестных в системе (1-36) расчеты прово­ дятся аналогично. При этом можно видеть следующую закономерность: число уравнений в системе (1-36) равно числу основных размерностей, т. е. трем, число неизвестных Хх, х2, . . ., хп — числу характеристик п, от которых зависит процесс, а количество критериев N = п—3.

Критериальные уравнения

Все полученные критерии подразделяются на две разные группы. Один из критериев, содержащий искомую величину, называется иско­ мым критерием. В гидромеханических процессах искомым критерием чаще всего бывает критерий Эйлера, а искомой величиной — перепад давлений, или гидравлические сопротивления системы, Ар. Осталь­ ные критерии относятся к группе определяющих критериев.

После получения искомого и определяющих критериев для данного конкретного процесса необходимо вывести критериальное уравнение, которым можно было бы пользоваться при решении практических за­

29