Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

чина отклонения всех точек фиксированного сечения оди­ накова *). Очевидно, продольные колебания полностью опи­ сываются функцией u(x,t). Малыми мы будем называть такие продольные колебания, в которых натяжения, возни­ кающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука. Подсчитаем фигурирующее в формулировке закона Гука относительное удлинение участка (х, х + Ах) в момент вре­ мени t. Координаты концов этого участка равны х-\-и (х, t), x + Ax + w(x + Ax, t). Следовательно, относительное удли­ нение участка равно

{[х+ Ах + и (х + Ах, t)]— [х + и(х, /)]}— Ах (х+ВАх t)

(О < 0 < 1).

Таким образом, относительное удлинение в точке х в мо­

сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси х. Применяя второй закон Ньютона к участку стержня (Хц х2) (за время At = t2 — t1), получаем

h ) - u t {l, fx)}p(£)S(g)dg =

*1

= 5 {S (x2) k (x2) ux (x2, T) — S (xx) k (xx) ux (x1; x)} dx +

+ 5 / (I, x) dl dx. tl X,

Это и есть уравнение малых продольных колебаний участ­ ка стержня в интегральной форме. Предполагая существо­ вание непрерывных производных второго порядка у функ­ ции и (х, t) и непрерывной первой производной у функций k(x) и S (х), легко находим дифференциальное уравнение малых продольных колебаний стержня:

[S (х) k (х) их (х, t)]+f(x, 0 = р (х) S (х) utt (х, t). (5)

*) Здесь х — абсцисса рассматриваемого сечения стержня, когда последний находится в покое. Таким образом, движение фиксирован­ ного сечения стержня описывается в координатах Лагранжа (см. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н . В., Теоретическая гидро­ механика, ч. 1, Физматгиз, 1963).

22

Если 5 (х), k(x) и р(х) постоянны, то уравнение (5) при­ водится к виду

a%uxx + F{x, t) = 11ц,

где

а2= kip, F (х, t) — f (x, t)/pS.

Уравнения (3) и (5) по существу одинаковы и разли­ чаются лишь обозначениями (Sk — вместо Т, apS — вместо р). Оба они всюду гиперболического типа, поскольку по са­ мому смыслу Т (х), S (х) и k{x) положительны.

§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны

сопротивление растяжению*).

Мы будем рассматривать малые поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно плос­ кости мембраны (х, у) и в которых квадратами величин их и иу можно пренебречь. Здесь и = и(х, у, /) — величина смещения точки (х, у) в момент времени t.

Пусть ds —элемент дуги некоторого контура, лежа­ щего на поверхности мембраны, М —точка этого элемента. На этот элемент действуют силы натяжения Т ds. Отсут­ ствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу матема­

*) Например, мембраной иногда можно считать плоскую пластину, толщина которой мала в сравнении с двумя другими измерениями.

23

2) Натяжение Т не зависит от времени t.

Таким образом, площадь фиксированного участка мем­ браны не меняется со време­ нем, т. е. этот участок не рас­ тягивается. Поэтому в силу закона Гука и Г не меняется со временем. Из того, что Т направлен по перпендикуля­ ру к элементу дуги ds, сле­ дует, что Т не зависит также от х и у. Действительно, рассмотрим участок невозму­ щенной мембраны Л1В1В2Л2,

ограниченный отрезками, параллельными координатным осям (рис. 3).

На этот участок действует сила натяжения, равная

Вследствие отсутствия перемещения точек мембраны вдоль осей х, у проекции этой силы на оси х и у равны нулю. С другой стороны, ее проекция на ось х равна

24

Пусть S — участок мембраны в момент времени t, огра­

Сосчитаем величину вертикальной составляющей Р„

Следовательно,

‘‘■=\ т.си=\ тд£ ш =

25

где Р — угол между элементами dt и с?/х. Поскольку |3-<:у

Применяя к этому интегралу формулу Остроградского, получаем

Ри= Т И (и*х + Чуу) dx dy — T ^ A u d x dy.

Предполагая существование и непрерывность соответ­ ствующих производных, легко получить дифференциаль­ ное уравнение малых поперечных колебаний мембраны:

TAu + f(x, у, t) = putt.

Это уравнение, очевидно, гиперболического типа. Если р = const, то его можно написать в виде

где а2 — Т/р, F (х, у, t)= f(x, у, t)/p. Уравнение (8) назы­ вается двумерным волновым уравнением.

§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики

Движение сплошной среды характеризуется вектором скорости ®(х, у, г, t), давлением р(х, у, г, t) и плотно­ стью р(х, у, z, t). В качестве такой среды мы будем рас­ сматривать идеальную жидкость (газ).

26