Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

14.

u(x, t) =

ua + v (x )+ 2 с пе~ ( а*п + кз)* X

 

 

 

 

 

п — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ihxsin Vkn х +

У \пcos V%nx),

 

Vh3

 

 

 

 

 

 

где о(х) = Л1е а

+ А ге

а .

Коэффициенты

Ах и Л2 определя­

ются из уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

A l - A 2 = ^ ~

Ul) а,

 

 

 

 

 

 

Vhi — ah!

 

 

 

Аг (а, + ¥ р - ) е ~

‘ + А 2

(h, -

- ^

) Г ^

'

= Аг«а;

 

С„ = : !|фл ,12

5 {ф(|)_-«в-»

Ф« 11) d%,

 

фя (*) =A t sin

д:+ К л „

cos ]/Я л х;

 

кп — положительные корни

уравнения

tg У k l — k— h-Ji.} v% .

 

 

i

 

 

 

 

 

 

15.

Q (/)= S y u (x , t)dx,

где

S — площадь

поперечного сечен

цилиндра,

u(x, t) = u0-

n2

2

n =

„

4u0

—a2W . 2n-t-l

— ■ - e

n

sin — — nx.

 

(2«-j- 1)

 

21

0

C

*-n = j p ( 2 n + \ ) 2, или Q (i) = — D ^ ux (0, t ) dx.

16. Q(t) = S ^u (x ,

t) dx

(a2u.xx — $u — ut),

где

 

 

 

 

 

u(x, 0 = o (x)+ 2

a2X„/

 

. 2rt+l

Сле a^ '

sin — ^ — л* • e P‘

 

n= 0

 

 

 

2/

 

 

 

 

 

—

E L - c h l 2

 

 

T /p c h ^ /

 

 

 

Cn =

 

2«+l

»

§ у (£) sin -

2/

 

я | rf|.

 

 

 

 

" "

408

 

 

г'(v

f\-- F

^ №0 Vq)

00

 

Y n _

 

&гА t _2n -J-1

 

17

у

(

 

 

I 7 . v ( x , t ) - E 0

-------

2 j W

+ T e

 

C0S~ 2 l ---- ^ ’ ГДе

,

n*(2n + l)»

1

n = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Krl~

 

4P

’

R C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

18

'<*• ,> - ;¥лоf-\-tRlr 1 + 2 £ « SI

2

 

 

 

 

!-

 

 

„

 

 

 

 

 

 

n — 1

,

 

 

 

sin V%n (l— x)

 

,

 

i

 

 

 

 

 

 

где a4 = -==-, / „ —положи­

V^n [R (Ro + Ш) + IR*M cos V^n l

тельные корни уравнения R \.g Y A n l — — R0 Y%.

 

|» . я ( , . о = я л-

^

2

-

г г

й

Q2V

sin

2/1+1

их,

 

где

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

n= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с2

^

л2 (2/г-f- l)a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4лсгр, j

 

—

4/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OO

 

 

 

 

, —a3A- Л1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

n = l

 

 

 

1—e

 

л j | Ф„ (лг), где

 

 

я2

 

 

 

2я I

1

 

 

 

 

 

 

 

 

= ^

1)2,

 

 

 

 

nx\

kux x + Q b (x — x0)=cpu,,

г (2« +

Фя (*)=cos ■

 

k — коэффициент

теплопроводности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. u(x,

0 = «o +

“| ~ ( l

— j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2/ /

1

 

 

 

 

 

n = 0

 

 

 

 

 

 

 

X e

 

2n +

l

 

.

(2n + l )2

,

 

 

 

 

Я

 

 

—^ —

лх, где A„ = -—

 

^ —коэффици­

 

(2n4 -1)2 C°S

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ент

теплопроводности.

o°

 

^2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22. и (jc,

0 = £»(*)+ 2

 

a

л

Ф/i (*). гДе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

? - ( ' + т ) т + й + * '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' n

II Ф-^|jj

f (i) ф П(£) di> Ф/i W =

К cos Y K

x + h

sin j / An x.

.

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

2h VA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg у A

 

 

 

 

 

/.„ —положительные корни уравнения

/ = -^-— p -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

-a^JLt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. и (r,

t) =

и4+ 2(«!-«„) A/?2 ^

(— l)n

 

p

 

sin

R

/■i

 

 

 

 

 

 

 

n — 1

 

 

 

 

 

 

 

у

к + m - w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

p„ —положительные корни уравнения

 

 

 

 

 

 

409

tg м — р г

,

,

Л —коэффициент

Нп— 1

 

 

 

ttr (R, t) + h lu

(R , t ) - u i]= 0 .

 

24. д « = о ,

М л . ф) - -

^ ,

/

ч

 

• ,

Q

м(г, Ф )-

2kR smф+ 2л/г

теплообмена в краевом условии

“ф(г. ° ) = щ - .

v

!

r \

1 cos(2n+l ) c p

 

f

^2n+

2j

1,7? У

iT(/i+1) '

n = 0

 

У к а з а н и е .

Сначала

найти

решение уравнения Лапласа

вида

г •

(ф),

удовлетворяющее

только

условиям

иф (г,

0) =

Q - r

,

_ч

—Qr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kR

,

и отклонение

го (г,

ф)

от него.

Тогда

u — rv((p)-{-

иФ

^

~ 2kR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ w(r, ф).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

а»в,, =

в«,

 

ад:

,

б<(*.

0) = 0 ; 6(0, 0 = 0 ; б, (/, 0 =

 

0 (де, 0 )= —

—

е«(С 0,

«2 = ]

/ у

;

 

 

 

 

 

 

 

(7/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“

( / l - 7 » ^ ) sin JJ3 X

 

 

 

 

 

в(х,

t) = 4a

>

/ 0р 2

(2р„ — sin

2jx„) С05~ Г ^

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

где / — полярный

момент

инерции

поперечного

сечения

стержня,

G—модуль сдвига, / г—момент инерции стержня, р —линейная плот-

ность стержня,

 

—положительные

корни

уравнения

,

 

/,

 

tg p = -y—1— .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛгИ'

 

 

 

4 Ф /2

^

s’n

 

* ant —(2л +

1) яя sin со/

26.

а) и(х, 0 =

п2^

^

(2л + 1)2 [со2/2 _

(2л +

1)2 я2а2]

Х

 

 

 

 

 

п= 1

 

 

 

 

.

2л + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X sin — Iг— яд:;

б) Заменить в ; предыдущей

формуле

sin со/

на cos соt

(со 9^

Art

k=\, 2, 3,...).

 

 

 

,

. ял

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со/ sin —г- ас —кап sin сос

 

 

 

27.

и (х, 0 =

2/r°ai

\

 

I

 

 

.

кп .

 

 

 

 

пТ

^

 

(со2/2 —я2а2л2) п

МП /

Х

 

п — 1

X sin дс ( со ф ~ ~ ; п = 1 ,2 ,...) . Аналогично для Ад cos со/.

4KJ

tJT2/72

—aA лх С - А т - ( / - т )

28. u (a:, /) = —^— sin - y \ e 1

Ф (x) dr +

я2п2а2<

. ЯП

+ 2 o " ~ sin - у лг, n= 1

2

г

f

где k — коэффициент теплопроводности, Cn — y

jj f (|) sin y -g dg.

29.и (a, 0 = 2Л/

Ф' 2 n= 1

о

. nnva ,

vQl

nnv0 , ,

o0/

 

X

sm — --- /-

—

cos— rJL /+

—

'

 

ЯП

/

Я/i

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Яn

 

 

 

 

 

 

 

Sin у — X

 

 

 

 

 

 

 

X /2о^ + я2л2аа

У к а з а н и е .

Уравнение

для

и (лг, /)

имеет вид

 

 

а2ихх — Ли +

д

 

 

0 < / < //о0.

 

 

— б (х — vat) = Н/,

 

 

 

 

 

Ф

 

 

 

 

30. а)

При

с о ^

^га^

-- - ла

(я =

0, 1,2,...)

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

и (х,

/) =

о {х) sin со/ + ^

С„ sin - П^~ - яа/ • sin -y~j~

- лг,

 

 

 

 

n= 0

 

 

 

где

„

. СО

X

sin —

, . Ла

а

 

” W -- £ S — S 7 - с cos — l

a

— 4co

I

4“ 1

 

(

Я-ь ^5*

" —7ёёГ(2л ;-1)

r (^)S1"

21

2/?q4~ l

б) при со = — ~ — na

21

и (лг, t) = vx (x) sin cat + v%(*) *t cos соt +

 

 

Cn ‘

2n+l

.

2n+ 1

nx,

+

2

2/

na/ ■sin

21

 

n = 0

 

 

 

 

где

n ф n0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

jj [at»i(&)+ ME)] s i n ^ t i

„gdg,

 

 

n a (2n-j-l) J 1 1 vte/

1

vb' J “ “

2/

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

. .

AЛ .

,,„„4.1

[ x

со

,.5 5a

.. со

,

3a . 3co

)

V^ X) = 1lElS

(~

!)

{ y C0ST

^ + 8^

Sln"a

^ +

& r Sln —

4 -

v2. (x)--

2aA

/

.

to

X'

 

 

 

 

 

IfS*

 

Sm ~a

 

 

 

 

 

411

Смотрите также файлы