Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Заметим, что издавна существует двусмысленность в трактовке символа х (t). Строго говоря, х (t) — это просто величина, равная значению функции в момент времени t. Однако обычно мы обозна­ чаем через х (t) также саму функцию, т. е. правило, по которому каж­ дому значению t ставится в соответствие величина х. Когда это не может привести к недоразумениям, мы будём применять обозначения х или х (t) для функции в обоих смыслах. Некоторые авторы пред­

почитают употреблять обозначение х (•) для функции, чтобы отличать ее от значения л; (t).

Люди привыкли к графическому представлению сигналов и соз­ дали для такого их изображения разнообразные осциллографические приборы. Имея достаточный навык, человек может успешно из­

влекать информацию из радиолокационной картинки, сейсмограммы, кардиограммы и т. д. Но способ анализа сигналов человеком — это область, достаточно «таинственная», не алгоритмируемая и не подда­ ющаяся ни количественному анализу, ни автоматизации. Для проек­ тировщика автоматической системы обработки графическое пред­ ставление сигнала непригодно просто потому, что оно состоит из слиш­ ком большого числа точек. Представление же сигнала в виде отдель­ ных точек графика, т. е. набора значений л: в равноотстоящие моменты времени—это лишь один из простых способов представления сигналов, которые будут обсуждаться ниже.

1.2. МНОЖЕСТВА СИГНАЛОВ

При графическом представлении сигналы изображаются сложной совокупностью точек, кривой, в простой области —в двумерном про­ странстве. В отличие от этого мы введем далее более сложные прост­ ранства — пространства сигналов, в которых каждый сигнал изо­ бражается простейшим элементом—точкой [1]. В качестве первого шага в этом направлении рассмотрим сигнал как элемент множества S. Само множество определяется некоторым свойством Р, которое есть утверж­ дение, справедливое для любого элемента множества. Условно это изображается так: S = {х; Р}, т. е. 5 есть множество всех х, для которых справедливо Р. Вводя дополнительное обозначение, можно записать Р =ф- х £ S, что означает: «Р верно для х, принадлежащего S». Определив своцстро Р, мы задаем тем самым множество сигналов.

11


Обычно проще иметь дело со сравнительно «узким» множеством, ограниченным жестким условием. Конечно, когда ограничение слиш­ ком жестко, множество содержит мало полезных сигналов. Выбор свойства Р — это сложная задача. Приведем несколько примеров, с которыми часто имеют дело в теории сигналов..

Гармонические сигналы. Обозначим через S c множество всех

гар­

монических (синусоидальных) сигналов, т. е.

 

Sc = {x, x{t) — Ке [еа+ / (0 + 2rt? *>], — о о /< о о , а, 0, f£R}.

(1.1)

Утверждение а, 0, / £ R в (1.1) означает, что эти параметры могут произвольно выбираться из множества всех действительных чисел R. Поэтому S c содержит гармонические колебания со всевозможными амплитудами, фазами и частотами.

Часто свойство Р для конкретного множества можно указать в другой форме, например

s c= { x - , ^ 1 + ^ x (t) = o, - o o < t< o o , а , е я } .

(1.2)

Периодические сигналы. Мы будем обозначать через Sr (Т) мно­ жество периодических сигналов с периодом Т, т. е.

Sr (Т) = {х; x(t + Т) = х (/), — оо < t < оо}.

(1.3)

Ограниченные сигналы. Множество сигналов, мгновенные значе­ ния которых ограничены по величине некоторым вещественным поло­

жительным числом К, обозначается:

 

 

 

 

Sm (К) = {х; |х (О К

К,

оо <

t <

оо}.

(1.4)

Ясно, что

 

 

 

 

 

х 6 SM(/Ci) =>- х 6 SM(К2),

если

К 2 >

Ki-

 

Сигналы с ограниченной энергией.

О сигналах из множества

 

говорят, что их энергия ограничена величиной К, где К — положи­ тельное вещественное число. Интеграл в (1.5) физически трактуют как энергию, подразумевая, что х (t) есть напряжение на нагрузоч­ ном сопротивлении 1 ом. Интеграл по времени от квадрата этого на­ пряжения есть полная энергия, выделяющаяся на нагрузке.

Сигналы ограниченной длительности. Пусть Sd(T )— это мно­ жество сигналов, которые равны нулю за пределами интервала вре­ мени — Т <C t ^ T \

Sd(T) = {х; х (i) = 0 для

всех

\ t\^>T).

(1.6)

Заметим, что

 

Т2 > Тх.

 

х С SD (7\) =*►х 6 SD (Tz),

если

 

12


Сигналы с ограниченной полосой. Пусть Sb (W) — это множество сигналов с полосой, ограниченной некоторой частотой W, т. е.

X(f) = J x(t)e~i2nf‘ dt = 0 для всех | / | > 1 Й , (1.7) где X(j) есть преобразование Фурье** от функции времени x(t).

Операции над множествами

Имея дело с множествами сигналов, полезно применять две эле­ ментарные операции теории множеств: объединение, определяемое как

Si U S2 = {х\ х 6 Sx или х 6 S2},

(1.8)

Рис. 1.3. Графическое представление объединения и пересечения двух множеств.

и пересечение, определяемое как

 

 

Si n S2 = {х- * е Si

и * 6 S 2}.

(1.9)

Эти операции поясняются на рис. 1.3.

что сигнал

Пример 1.1. Инженерам-связистам

хорошо известно,

не может быть одновременно ограничен и по времени, и по полосе. Это ясно из того, что интеграл

т

j x (t)z - i2slUdt

—т

может равняться нулю только в отдельных точках / (кроме случая, когда х (0 = 0 для всех |^| ^ Т). Следовательно,

SD{T) П SB(№) = {0} = {х-, х (0 = 0 для всех t).

(1.10)

Это может показаться тривиальным, но важно отличать множество {0} от пустого множества Q, которое не содержит каких-либо эле­ ментов, в то время как множество {0} содержит один нулевой элемент.

Упражнение 1.1. Рассмотреть счетное множество сигналов

5Л = {*п (0; п~1, 2, 3,...),

*> Мы будем, как часто делают, обозначать большой буквой преобразование Фурье от функции времени, обозначаемой соответствующей малой буквой.

13

Рис. 1.4. Разбиение множества на непересекающиеся подмножества.

где

( ne~nt для t^> О,

*п ^ [ О для t < О,

и указать сигналы из 5^, принадлежащие множеству 5, такому, что

s = s ^ n s M(io )n s £ (4).

Упражнение 1.2. Описать множество сигналов, которое является пересе­ чением SR (Т) и SE (К).

Разбиение и отношение эквивалентности

Операторы U и П

могут быть применены для получения разбие­

ния [3, 4]

множества на

ряд непересекающихся подмножеств, как

показано

на рис.

1.4.

Мы говорим, что совокупность

множеств

{5lf

S 2, S 3, ...}

образует разбиение множества S,

если S =

= 5i

U

U S 3 U — ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si

П

Sj = Q для i ф /.

 

 

(1.11)

 

 

5

 

 

 

При разбиении множества обыч­

 

 

 

 

но

получают

более

удобные под­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

множества. Так, можно разбить*

 

 

 

 

 

несчетное множество

на

конечное

 

 

 

 

 

или счетное

число

подмножеств,;

 

 

 

 

 

что

мы проиллюстрируем даль-1

 

 

 

 

 

нейшими примерами.

произвести

 

 

 

 

 

 

Разбиение

можно

 

 

 

 

 

с помощью отношения эквивалент­

ности, и часто это наиболее подхо­ дящий способ получения разбие­ ния. Мы говорим,1"что два элемен­ та эквивалентны, х ~ у, если от­

ношение эквивалентности ~ определено для всех пар элементов и удовлетворяет следующим свойствам:

а)

х ~

х для любого х (рефлексивность),

(1.12)

б)

х ~

у =>- у ~

х

(симметрия),

в) л: —

t/ и у ~

z

х ~ z (транзитивность).

 

Каждое отношение эквивалентности естественным образом по­ рождает разбиение множества на ряд подножеств S x, называемых

множествами эквивалентности, причем S x включает все элементы,

эквивалентные х:

S x = { y ; y ~ x } ,

(1.13)

где х — некоторый элемент

исходного

множества.

Нетрудно показать также,

что любое разбиение порождает отно­

шение эквивалентности, так что эти две концепции приводят к одному

итому же объединению в непересекающиеся подмножества элементов,

внекотором смысле эквивалентных друг другу.

14


Упражнение 1.3. Показать, что произвольное разбиение (1.11) порождает отношение эквивалентности; т. е. х ~ у в том и только в том случае, если х и у содержатся в одном подмножестве, удовлетворяющем (1.12), так что отношение эквивалентности в нем имеет место. Обратно, показать, что произвольное отноше­ ние эквивалентности (1.12) порождает разбиение, т. е. различные непересекающиеся подмножества, определяемые как Sx = {у, у ~ х}, причем их объеди­ нение есть исходное множество согласно (1.11).

Пример 1.2. Равенство — это отношение эквивалентности, но мно­ жества эквивалентности в этом случае содержат только отдельные элементы.

Пример 1.3. Взяв пример, известный из теории чисел, рассмотрим разбиение множества всех целых чисел {п; п = 0, ± 1 , ± 2 , ...} на ко­ нечное число т множеств эквивалентности:

St — {п\ п = pm + £} i = 0, 1, 2, ... , т — 1,

(1.14)

где р — любое число. Соответствующее отношение эквивалентности*!

% ~ п 2 => пг п2 = pm => n1= n 2(1^od т)

называется конгруентностью (сравнимостью) по модулю т. Так, на­ пример, разбиение множества всех целых чисел на подмножества, конгруентные по модулю 2, приводит к разбиению на четные и нечетные числа.

Усилитель

Ограииии-

Отсчет

с&есканечнь/м

тель

Рис. 1.5. Двоичная система передачи сигналов.

 

Пример 1.4. Если мы исключим подмножество сигналов S0 (х;

;|'

х (t0) — 0}, то отношение эквивалентности

\

х ~ у ^ х (t0)y (t0) > 0

 

задает разбиение всех относительных сигналов на два подмножества эквивалентности

S+ =

{х; х ((„) >

0},

(1.15)

S . -

{х; х (Q <

0}.

 

>(5= может быть прочитано как «порождается»,

15