Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

/i = £ [y (M l=

J H(f )F(f )Gj f )el2n^ d [

при дополнительном ограничении

оо

/2= J

K u u ( D \ H ( f ) \ ' d f ,

—оо

К упр.

10.1.

Дано:

р

= Р

= 0,6, q = Р [Я0 1 = 1 ~ Р = 0,4, Ст = Щ -

дС/

М

___1_

0~ р С т ~~(0,6) (2)“

3 •

В ортонормальном базисе разностный сигнал d (t) имеет вид

{dh} =

{—1, —2,

—2,

—2,

—1}.

Согласно (10.46) и (10.45) при условии

2 а |

= 2 Ь | приемник примет решение

в пользу гипотезы # 0, если

2

l/ft 4

< Wo In Хо?

Л/о = 0,6.

ft

Для принятой реализации {у*} =

{0,3; 0,8; >—0,6;

—1,5; 0,2} мы имеем

ql (У\Н0)

Р [Я01у] ■ p l ( y \ H i ) + q l ( y \ n 0)

q+pX(y)

0,4

=0,01975.

0,4+ 0,6 е ( $ )

К упр.

10.2.

s/ t )

v r

t

N i l =

П s i || =

4 ; N 0 =

1.

Следовательно, согласно (10.54)

отношение сигнал/шум р = 2. В этом случае

Pf = 0,01 =

Ф (—а2).

По таблице находим

1 п Я0

(*2=2,33 =

+ р-

Следовательно,

1п Л,0/2р =

0,33, и согласно (10.53) и (10.54)

а х =

0,33 — 2 = —1,67 => Рт -

Ф (—1,67) = 0,0475.

К упр. 10.3. Согласно (10.72)

«1 (0 =

(u,

М

(/),

^ £ Г,

ы2 (0 =

и (0 — ых (0,

где

d (Л

ф,(<) =

|| d ||

хх( / ) = - ^ ;

-1 -

L f (t).

W

ИЦ

(d,

i ) IK>

Следовательно,

рассматривая вещественное пространство сигналов,

М0=тг-~7<*(0; мо=«(0—тг4г*(0-

(d, f)

(d, f)

(d,

f)1' 2

j

г И I

a x = -

-bi

J d ||

ч (d, f)

в соответствии (10.66) r = ln X0+

1/2 (sx,

gx) — 1 /2 (s0, go), а согласно (10.7

II d(

(»i. *)•

(d,

f)

« 1 =

1

In

—~^~(Si, gl)+(Si,

go)'

(d, f)

In Kq

^

/j

c \i

1/2

In Я0-

(d,

f)

= T - _ p ,

г д е р = _

_ ((1>

f r /2.

(d, f)

Это следует из того,

что (s0, gx) =

(st, g0). Действительно,

(d, f) = (Si — s0, gi — g0) =

(sj,

gt) — (s0, gj) — (sb

g0) +

(s0, g0) =

=

(Si. gi) — 2 (Si, go) +

(so>

So)-

Заметим, что согласно

(10.67)

(Sr. S o ) = ^ k nu((, s)g1(s)g0(t)dsdt.

т

Теперь, учитывая симметрию kuu (t, s), можно записать

(si, go) = J gi (s) so (s) ds = (s0,

gi)-

т

Вывод выражения (10.77) вполне аналогичен.

К упр. 10.6. В соответствии с (10.84)

= R e(n ,

<рА);

=

(kj,

q?ft),

где

(/); k — \ , 2,

...,

п}

— система ортонормированных комплексных оги­

бающих.

Образуем соответствующую систему вещественных узкополосных сигналов

{yft (/); k *=■ 1,2.......п} так,

что

Уь. ( 0 = Re [фь (0 е/2л?»#].

Тогда, согласно (10.83)

Таким образом,

(ч. Та) = 2 (и, Уа) ~ / 2 (и, уд).

E [nHk> n ^ j= 4 £ [( u ,

yft)(u,

уу)] = 4 JJ kuu (/,

s) yk (t) yj(s) dt ds =

= 4jV0 JJS (/—s) yh (i)yj(s)dtds=4No(yh,

У/)•

Но,

поскольку

г

мы имеем

(9ft,

9 y) = 6fty=2(yft, Уу)

/2 (уд, Уу),

(Уй. У у)=~-

j n ^

ПЛ J =2N0bk j .

Подобно этому

Е [n/ft л, ] =

4/V0 ( Уа, у}) =2No Sfty,

так как согласно (4.25) (уа, Уу) = ((/А,

Уу).

Д а л е е

£ [пЯь % ] = -

4;Vo^

'

при всех fe и /, поскольку

(У А . Уу) = -------

^ - 1 т ( 9 л . 9 у ) = — ~~ 1ш [бду] = 0 .