Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Отображение задается следующим образом:

со

Строго говоря, это отображение не взаимно-однозначное. Могут су­ ществовать две или более функций времени, таких, как показано на рис. 1.10, для которых преобразование Фурье одинаково.

Рис. 1.10. Две функции времени, имеющие одно и то же преобразование Фурье.

Ясно, что f — это отображение «многих в одно». Множество эк­ вивалентности, определяемое преобразованием f , содержит функции времени, отличающиеся лишь на конечном множестве точек в любом интервале времени. Такие разрывные сигналы не имеют практического значения, и мы вправе рассматривать каждое множество эквивалент­ ности как один сигнал. Зца эквивалентность означает равенство почти всюду, и мы не будем различать сигналы и соответствующие им мно­ жества эквивалентности, определяемые равенством «почти всюду».

Упражнение 1.4. Показать, что для любого отображения f, соотношение (1.27) действительно описывает отношение эквивалентности, причем множества эквивалентности задаются в виде

S* = W, f,(y) = I Ml-

Упражнение 1.5. Рассмотреть множества эквивалентности, соответствую­ щие отображению F, задаваемому как F (х) = | X (/)|2. Показать на частных примерах, что в противоположность отображению FF (1.28) элементы множества эквивалентности могут быть существенно различными.

21

Указание: X (/) и X (/)e,0<f> — это преобразования Фурье элементов из одного множества эквивалентности, причем 0 (/) — произвольная фаза.

j X*(f)dt= J \X(f)\*df.

Функционалы

Преобразование достаточно общих множеств сигналов в числовые значения особенно важно потому, что физические измерения сигналов дают некоторые их числовые характеристики. Отображение произ­ вольного множества в множество чисел часто называют функцией*'’.

Интерполирующий импульс

Приближенное представление произвольного сигнала суммой

интерполирующих импульсов

Рис. 1.11, Разложение сигнала по смещенным во времени базисным функ­ циям.

Но в наших приложениях’ исходными элементами часто являются функции в обычном смысле (т. е. отображения одного множества чисел в другое множество чисел, например: функции времени, функции ча­ стоты и т. д.). Во избежание недоразумений мы будем, как принято, называть отображения множества обычных функций в числовые зна­ чения функционалами. Таким образом, под функционалом понимают «функцию от функции».

Здесь нужно уточнить, что мы понимаем под числами. Разумно было бы использовать только множество действительных чисел R\ однако для удобства анализа мы расширяем это множество, включив в него множество комплексных чисел С, хотя это не имеет прямой связи с физическими измерениями. Мы возвратимся к «реальному», заметив, что каждому комплексному числу могут быть сопоставлены два вещественных числа. Имея это в виду, приведем несколько типич­ ных функционалов:

*> Некоторые авторы используют термины «отображение» и «функция» как синонимы, но общепринято называть функциями только отображения, опи­ санные выше,

гг

статочно мало), то при подходящем интерполирующем импульсе ошиб­ ка интерполяции рядом на участках между отсчетами получается до­ пустимой.

Значительно более сильное утверждение справедливо для сигналов с ограниченной полосой, т. е. принадлежащих множеству S^IE) (1.7). Согласно известной теореме отсчетов*' [1.2] для любого х 6 SB (W) и любого t мы имеем

с частотой Найквиста. В этом случае сигнал имеет единственное и точ­ ное представление рядом с интерполирующим импульсом, указанным в (1.34).

Другим хорошо известным способом представления сигналов ря­ дом, пригодным для периодических сигналов и сигналов_конечной дли­ тельности, является разложение в ряд Фурье. Еслих£ So (Т) см. (1.6), то мы имеем**'

где коэффициенты разложения определяются функционалами

Т_. 2 я mt

fm(x) = cm = -~^ jx ( / ) e 1 т dt; m = 0, ± 1 , ± 2 , . . . (1.36)

—т

Дуальность времени и частоты

В качестве последнего замечания об отображениях и функционалах напомним о взаимно-однозначном соответствии множества функций с интегрируемым квадратом и их преобразований Фурье; отметим так­ же существенно симметричную природу прямого и обратного преобра­ зования Фурье. Вследствие этого, каждому отношению временных функций соответствует дуальное отношение для их Фурье-преобразо-

*> В советской литературе она обычно называется теоремой Котельникова.—

Прим. ред.

24

ваний. Это свойство частотно-временной дуальности [5], проявляемое функциями времени и их преобразованиями Фурье, часто используется в теории сигналов; в последующих главах будут даны примеры. При решении любой задачи из теории сигналов мы всегда получаем также

решение дуальной задачи, которая может иметь или не иметь практи­ ческого значения.

Простой пример результатов, получаемых таким образом, дает рассмотрение разложения сигнала во временной ряд и ряд Фурье. Из (1.35) и (1.36) мы получаем дуальное соотношение

Упражнение 1.7. Рассмотреть различные возможности интерпретации выражения «приблизительно равно» (s;) как отношения эквивалентности. Ис­ пользовано ли очевидное отношение эквивалентности в (1.31)? Если да, то опи­ шите соответствующее множество эквивалентности.

Упражнение 1.8. Найти преобразоване Фурье от

/

Упражнение 1.9. Используя теорему отсчетов (1.34), показать, что сигна­ лы из множества периодических сигналов с ограниченной полосой можно точно представить конечным множеством функционалов. В частности, если Т — период х (t), и х (t) не содержит частот выше W = N/T, то

где

sin (2N + 1) (nt/T)

(2Л/ + 1) sin (nt/T)

Указание. Рассматривая разложение х (t) во временной ряд и в ряд Фурье, мы имеем:

25

ные сигналы в бесконечную последовательность вещественных чисел согласно правилу:

f(x) = x (In); k = 0, ±1, ±2, ....

Известно полезное соотношение, содержащее преобразование Фурье пары элементов из множества эквивалентности, получаемого с помощью этого отобра­ жения. Показать, что если х и у — элементы одного множества эквивалентно­ сти, т. е. если у них равны отсчетные значения, то

, \ т / т = — оо \ т /

2

ПР®СТРАНСТВА СИГНАЛОВ

2.1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Объединив сигналы, обладающие некоторым общим свойством, в одно множество, мы, естественно, начинаем интересоваться отличи­ тельными свойствами отдельных элементов этого множества. Конкрет­ ные сигналы представляют интерес лишь в их отношении с другими сиг­ налами множества. Например, мы можем интересоваться энергией, дли­ тельностью, частотой изменения, числом пересечений нулевого уровня,

26