Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Это разбиение широко используется в двоичных системах передачи сигналов, причем одно значение двоичной величины соответствует всем сигналам из S+, а другое — всем сигналам из S_.

На рис. 1.5 приведен типичный пример. Хотя передаваемые сигна­ лы могут быть только двух типов, в множество принимаемых сигналов входят сигналы, разнообразные по форме из-за шума и других помех, вносимых в канал передачи. Наблюдатель судит о том, какой сигнал из разбиения (1.15) был передан по сигналу на выходе ограничителя. Не имеет значения, к какому из множеств S+ или отнести сигналы из подмножества 5ft, так как вероятность их появления при приеме ничтожна.

Приемник

Умножитель

Рис. 1.6. Двоичная система передачи сигналов, использующая опорный сиг­ нал при приеме.

Пример 1.5. Другой тип устройства для приема двоичных сигналов, обладающий большей помехоустойчивостью, использует опорный сиг­ нал ср для разбиения принятых сигналов на два подмножества. Разби­ ение на подмножества Sx и S 2, соответствующее принятию решения о том, какой из сигналов, хг или х2, был передан, выполняется на при­ нятых сигналах у по условию

где г — наперед заданный порог. Приемное устройство в этом случае содержит: умножитель, интегратор, прерыватель и пороговое устрой­ ство, как показано на рис. 1.6. Вопросы оптимизации опорного сигна­ ла и величины порога подробно обсуждаются в гл. 10.

Пример1.6. Еще одна возможность различения сигналов состоит в подсчете числа пересечений нулевого уровня за определенный проме­ жуток времени. Мы задаем разбиение

16

 

S n — {х>х (0 имеет п несовпадающих нулей

(1.17)

где п = О,

на заданном интервале},

1, 2, ...

 

 

 

Можно также получить конечное разбиение

 

 

^

S0U S iUS2U ...

Sni USN+,

 

если условиться, что подмножество

определено как

множество

сигналов,

имеющих

N или более нулей на заданном

интервале.

Ограничитель

Передаваемые сигналы

Принятые сигналы

 

после ограничения

у а)

iwvw, 'tumnii_-

Рис. 1.7. Система передачи сигналов., использующая пересечения нулевого уровня.

Реализация

(N + 1)-буквенного

алфавита,

соответствующего

описанному

разбиению, для

системы

передачи

сигналов приведена

на рис. 1.7.

 

 

 

 

 

О

Пример 1.7. Если задана система функций времени

 

{фь i

1> 2,

...,

я})

 

то отношение эквивалентности может быть определено в виде

q

 

х У=> J x(t)4>i(t)dt =

j У (t)<Pi(t) dt

(М8),

 

 

 

 

 

 

i

для всех i = 1,2, ..., п. Такое отношение эквивалентности есть обоб­ щение конгруентности (см. пример 1.3), где мы имели

х ~ у => х = у (mod М)=> х у £ М. j рос

И^УЧНО-ТЕХнЯ^Ес!

БИКлиптси л


Теперь М есть множество функций, определяемых условием

оо

z'> J z (г1) Фг W * = °. i = l , 2,.... п

(1-19)

— оо

 

Каждое из полученных таким образом множеств эквивалентности мо­

жет быть задано через свой представительный элемент х, в том смысле, что

S~ = {x\ х ~ х }

= {х\ x = x-}-z\,

 

(1.20)

Л

п

'п

(*и0«г ^ (

V .

2

где г £ М и x(t)=

2

ak q>h(t). '

t

 

 

k=i

 

 

 

 

Если функции {фг; i

=

1, 2, ...,«}

подчинены некоторым дополнитель­

ным условиям, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между

множеством эквивалентности S j

и

упорядоченной

последователь­

ностью вещественных чисел {аи

а2

ап}, называемой «-мерной

вектор-строкой. Таким образом,

определенная в этом

примере сово­

купность множеств эквивалентности получает представление через множество «-мерных вектор-строк, относящихся, как мы увидим далее, к «-мерному векторному пространству. Этот пример имеет фундамен­ тальное значение для дальнейшего. Он приводит к часто исполь­ зуемому способу представления сигналов, имеющему простую матема­ тическую форму. Будучи весьма важным, этот способ требует глубо­ кого понимания метрических и линейных пространств, которые мы изучим в последующих главах.

1.3.ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЫ

Впредыдущем параграфе мы ввели с помощью отношений экви­ валентности непересекающиеся множества для описания свойств сигна­ лов. Другой возможный и существенно более общий способ установле­ ния отношения между элементами состоит в отображении элементов

одного множества на элементы другого множества. Отображение — это правило, по которому элементам одного множества, скажем ставятся в соответствие элементы другого множества, скажем S2. Символически отображение обозначается как /: S1- * S 2, что является компактной формой следующего выражения:

у = f (х); *6 Si и y e S ^ .

(1.21)

Элемент у в 5 2 называется образом х при отображении f. Множество является областью определения отображения, а входящее в S2 мно­ жество всех образов элементов из Sx является областью изображений. Если область изображений / совпадает с S2, то говорят, что f есть отоб­ ражение на S2. Если же в S 2 содержатся элементы, которые не явля­ ются изображениями элементов Sb то говорят об отображении в S 2. Отображение всегда однозначно в том смысле, что для каждого элемента Si существует только один образ (по определению). Если различным

18


элементам из Sx соответствуют различные изображения в S2, то ото­ бражение взаимно-однозначно. Если отображение/взаимно-однозначно и является отображением типа на, то можно говорить об отображении S2 на Slf / -1: S 2->■ 5 Х, где /- 1 — обратное бтобр^жеяйе'. В этом слу­ чае существует взаимно-однозначное соответствие между элементами из Si и S 2.

Часто удобно применять составные отображения, которые полу­ чаются в результате двух или нескольких последовательных отобра­

жений. На рис.

1.8 показано отображение /: ^

S 3, полученное по­

средством двух

отображений:

/х : Sx

S2 и /2 : S2

S 3. В этом

случае мы пишем / = f 2f1, что означает для всех л: £

 

f : s i -*■S з => z =

f%(у) =

/2[/х (x)l

=f(x) .

(1.22)

Рис. 1.8. Составное отображение, состоящее из двух отображений.

Чтобы проиллюстрировать идею составного отображения, предста­ вим преобразование, производимое устройством примера 1.4, в виде двух отображений:

1) отображение множества S = {х; х (t0) ф 0}, задаваемого отно­ шением эквивалентности (1.15),

h : S ^ { S +, S_},

причем

(S+,

если х(г;0) > 0 ,

 

 

(1.23)

/iW

—| 5 _,

если X(t0)<

0;

 

2) отображения множеств эквивалентности

в числовые значения

/ 2 : {S+,

 

1 , - 1 } ,

 

 

причем

 

 

 

 

M S +) =

+ l ; M S - ) = - l .

 

(1-24)

Результирующее отображение есть просто

 

 

 

+ I

ДЛЯ Х(/о)>0,

/, огч

 

1— 1

ДЛЯ х (t0) <

0.

 

Здесь мы использовали тот факт, что отношение эквивалентности (1.12) можно интерпретировать как преобразование (в общем случае, не взаимно-однозначное) элементов в их множества эквивалентности

19


(1.13). Другими словами, любое отношение эквивалентности может быть выражено как отображение /Д,, такое, что

: {х} —*■{*5Ж} =>- f^, (х) — S x.

(1-26)

Вероятно, более интересен тот факт, что любое отображение порождает отношение эквивалентности. Для произвольного отображения / :

S 2 имеет место отношение эквивалентности

Xi~ X2<=f (х±) = / (х2).

(1.27)

Например, пусть / есть отображение вида

 

оо

 

 

/(*) = J

x2(t)dt.

 

5 - множество сигналов

S£(t<1) - множество

 

конечной энергии.

эквивалентности.

 

 

 

 

 

 

f ( x ) - f x z(t)dt

О К

Л .

К

S -моложитель-

 

2

1

пая аолуось

Рис. 1.9. Отображение сигналов в действительные числа.

Тогда мы имеем отображение множества сигналов на действительную положительную полуось в соответствии с их энергией, как показано на рис. 1.9. Отношение эквивалентности, соответствующее f, разби­ вает на подмножества сигналов с равной энергией.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье является отображением, широко применяе­ мым в теории сигналов. Если — множество сигналов с ограничен­ ной энергией

 

х;

§ x2(t)dt<.oo

 

 

— оо

 

то преобразование Фурье f

: Sx -> S 2

— есть отображение в другое

множество функций,с интегрируемым

квадратом*’

_________

f'ffc*

 

 

*> Интегрируемость х2 (t) является достаточным, но не необходимым услови­ ем существования преобразования Фурье X (f) [2]

20