ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 1
Это разбиение широко используется в двоичных системах передачи сигналов, причем одно значение двоичной величины соответствует всем сигналам из S+, а другое — всем сигналам из S_.
На рис. 1.5 приведен типичный пример. Хотя передаваемые сигна лы могут быть только двух типов, в множество принимаемых сигналов входят сигналы, разнообразные по форме из-за шума и других помех, вносимых в канал передачи. Наблюдатель судит о том, какой сигнал из разбиения (1.15) был передан по сигналу на выходе ограничителя. Не имеет значения, к какому из множеств S+ или отнести сигналы из подмножества 5ft, так как вероятность их появления при приеме ничтожна.
Приемник
Умножитель
Рис. 1.6. Двоичная система передачи сигналов, использующая опорный сиг нал при приеме.
Пример 1.5. Другой тип устройства для приема двоичных сигналов, обладающий большей помехоустойчивостью, использует опорный сиг нал ср для разбиения принятых сигналов на два подмножества. Разби ение на подмножества Sx и S 2, соответствующее принятию решения о том, какой из сигналов, хг или х2, был передан, выполняется на при нятых сигналах у по условию
где г — наперед заданный порог. Приемное устройство в этом случае содержит: умножитель, интегратор, прерыватель и пороговое устрой ство, как показано на рис. 1.6. Вопросы оптимизации опорного сигна ла и величины порога подробно обсуждаются в гл. 10.
Пример1.6. Еще одна возможность различения сигналов состоит в подсчете числа пересечений нулевого уровня за определенный проме жуток времени. Мы задаем разбиение
16
|
S n — {х>х (0 имеет п несовпадающих нулей |
(1.17) |
||
где п = О, |
на заданном интервале}, |
|||
1, 2, ... |
|
|
|
|
Можно также получить конечное разбиение |
|
|||
|
^ |
S0U S iUS2U ... |
Sn—i USN+, |
|
если условиться, что подмножество |
определено как |
множество |
||
сигналов, |
имеющих |
N или более нулей на заданном |
интервале. |
|
Ограничитель
Передаваемые сигналы |
Принятые сигналы |
|
после ограничения |
у а)
iwvw, 'tumnii_-
Рис. 1.7. Система передачи сигналов., использующая пересечения нулевого уровня.
Реализация |
(N + 1)-буквенного |
алфавита, |
соответствующего |
|||
описанному |
разбиению, для |
системы |
передачи |
сигналов приведена |
||
на рис. 1.7. |
|
|
|
|
|
О |
Пример 1.7. Если задана система функций времени |
||||||
|
{фь i |
1> 2, |
..., |
я}) |
|
|
то отношение эквивалентности может быть определено в виде |
q |
|||||
|
х У=> J x(t)4>i(t)dt = |
j У (t)<Pi(t) dt |
(М8), |
|||
|
|
|
|
|
|
i |
для всех i = 1,2, ..., п. Такое отношение эквивалентности есть обоб щение конгруентности (см. пример 1.3), где мы имели
х ~ у => х = у (mod М)=> х — у £ М. j рос
И^УЧНО-ТЕХнЯ^Ес!
БИКлиптси л
Теперь М есть множество функций, определяемых условием
оо
z'> J z (г1) Фг W * = °. i = l , 2,.... п |
(1-19) |
— оо |
|
Каждое из полученных таким образом множеств эквивалентности мо
жет быть задано через свой представительный элемент х, в том смысле, что
S~ = {x\ х ~ х } |
= {х\ x = x-}-z\, |
|
(1.20) |
||
Л |
п |
'п |
(*и0«г ^ ( |
V . |
2 |
где г £ М и x(t)= |
2 |
ak q>h(t). ' |
t |
|
|
k=i |
|
|
|
|
|
Если функции {фг; i |
= |
1, 2, ...,«} |
подчинены некоторым дополнитель |
||
ным условиям, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между
множеством эквивалентности S j |
и |
упорядоченной |
последователь |
ностью вещественных чисел {аи |
а2 |
ап}, называемой «-мерной |
|
вектор-строкой. Таким образом, |
определенная в этом |
примере сово |
|
купность множеств эквивалентности получает представление через множество «-мерных вектор-строк, относящихся, как мы увидим далее, к «-мерному векторному пространству. Этот пример имеет фундамен тальное значение для дальнейшего. Он приводит к часто исполь зуемому способу представления сигналов, имеющему простую матема тическую форму. Будучи весьма важным, этот способ требует глубо кого понимания метрических и линейных пространств, которые мы изучим в последующих главах.
1.3.ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Впредыдущем параграфе мы ввели с помощью отношений экви валентности непересекающиеся множества для описания свойств сигна лов. Другой возможный и существенно более общий способ установле ния отношения между элементами состоит в отображении элементов
одного множества на элементы другого множества. Отображение — это правило, по которому элементам одного множества, скажем ставятся в соответствие элементы другого множества, скажем S2. Символически отображение обозначается как /: S1- * S 2, что является компактной формой следующего выражения:
у = f (х); *6 Si и y e S ^ . |
(1.21) |
Элемент у в 5 2 называется образом х при отображении f. Множество является областью определения отображения, а входящее в S2 мно жество всех образов элементов из Sx является областью изображений. Если область изображений / совпадает с S2, то говорят, что f есть отоб ражение на S2. Если же в S 2 содержатся элементы, которые не явля ются изображениями элементов Sb то говорят об отображении в S 2. Отображение всегда однозначно в том смысле, что для каждого элемента Si существует только один образ (по определению). Если различным
18
элементам из Sx соответствуют различные изображения в S2, то ото бражение взаимно-однозначно. Если отображение/взаимно-однозначно и является отображением типа на, то можно говорить об отображении S2 на Slf / -1: S 2->■ 5 Х, где /- 1 — обратное бтобр^жеяйе'. В этом слу чае существует взаимно-однозначное соответствие между элементами из Si и S 2.
Часто удобно применять составные отображения, которые полу чаются в результате двух или нескольких последовательных отобра
жений. На рис. |
1.8 показано отображение /: ^ |
S 3, полученное по |
|||
средством двух |
отображений: |
/х : Sx |
S2 и /2 : S2 |
S 3. В этом |
|
случае мы пишем / = f 2f1, что означает для всех л: £ |
|
||||
f : s i -*■S з => z = |
f%(у) = |
/2[/х (x)l |
=f(x) . |
(1.22) |
|
Рис. 1.8. Составное отображение, состоящее из двух отображений.
Чтобы проиллюстрировать идею составного отображения, предста вим преобразование, производимое устройством примера 1.4, в виде двух отображений:
1) отображение множества S = {х; х (t0) ф 0}, задаваемого отно шением эквивалентности (1.15),
h : S ^ { S +, S_},
причем |
(S+, |
если х(г;0) > 0 , |
|
||
|
(1.23) |
||||
/iW |
—| 5 _, |
если X(t0)< |
0; |
||
|
|||||
2) отображения множеств эквивалентности |
в числовые значения |
||||
/ 2 : {S+, |
|
1 , - 1 } , |
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
M S +) = |
+ l ; M S - ) = - l . |
|
(1-24) |
||
Результирующее отображение есть просто |
|
|
|||
|
+ I |
ДЛЯ Х(/о)>0, |
/, огч |
||
|
1— 1 |
ДЛЯ х (t0) < |
0. |
|
|
Здесь мы использовали тот факт, что отношение эквивалентности (1.12) можно интерпретировать как преобразование (в общем случае, не взаимно-однозначное) элементов в их множества эквивалентности
19
(1.13). Другими словами, любое отношение эквивалентности может быть выражено как отображение /Д,, такое, что
: {х} —*■{*5Ж} =>- f^, (х) — S x. |
(1-26) |
Вероятно, более интересен тот факт, что любое отображение порождает отношение эквивалентности. Для произвольного отображения / :
S 2 имеет место отношение эквивалентности
Xi~ X2<=f (х±) = / (х2). |
(1.27) |
|
Например, пусть / есть отображение вида |
|
|
оо |
|
|
/(*) = J |
x2(t)dt. |
|
5 - множество сигналов |
S£(t<1) - множество |
|
конечной энергии. |
эквивалентности. |
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) - f x z(t)dt |
О К |
Л . |
К |
S -моложитель- |
|
2 |
1 |
пая аолуось |
Рис. 1.9. Отображение сигналов в действительные числа.
Тогда мы имеем отображение множества сигналов на действительную положительную полуось в соответствии с их энергией, как показано на рис. 1.9. Отношение эквивалентности, соответствующее f, разби вает на подмножества сигналов с равной энергией.
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье является отображением, широко применяе мым в теории сигналов. Если — множество сигналов с ограничен ной энергией
|
х; |
§ x2(t)dt<.oo |
|
|
|
— оо |
|
то преобразование Фурье f |
: Sx -> S 2 |
— есть отображение в другое |
|
множество функций,с интегрируемым |
квадратом*’ |
||
_________ |
f'ffc* |
|
|
*> Интегрируемость х2 (t) является достаточным, но не необходимым услови ем существования преобразования Фурье X (f) [2]
20