Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Далее, согласно (9.11) оптимальный фильтр имеет передаточную функцию

Купр. 9.2. Установим прежде всего вид ограничения на величину нормы

вLM—оо, оо). Мы имеем

£ [ х (0—у ( 0 ] = х ( 0 —£ J h (t —а) г (a) da

=х (О— JJ h(t — a)g( a — l ) \ ( l ) d l d a ,

где учтено, что х (t) не случайная функция, a u (t) имеет нулевое среднее значе­ ние. Взяв преобразование Фурье, получим далее

У {Е [х (0 — у (01) = [1 - ОФ Н 0] X ф.

Теперь, применяя равенство Парсеваля в L2 (—оо, оо), можем записать функцио­ нал ограничения в виде

/ 2 = ||£ [х (О -У ( 0 1 IP =11 [1 - G (/) Я (/)] X (f) IP =

= J I 1 — G (f) H (f) \2 \ X (f) |2 df .

Выполняя это ограничение, мы хотим найти такую Я 0 , чтобы дисперсия 1Х ошибки х (0 — у (/) была минимальной, причем

х(0 —у (0 —£ Iх (0—у (01 = — у (0 + £ [у (01 =

==— h (t — a) г (о) da + E [J h (t — a) г (a) do] = —J h (t — a) u (a) da.

Здесь учтено, что

г(о) = J g (а—l) х (У dl + u (a),

ашум u (о) имеет нулевое среднее значение. Поэтому

329

К упр. 9.3. Положив в примере 9.2 G ф = Н ~ 1 ф , мы имеем

' = J K u u ( f ) \ H ( n \ 2 df,

— оо

оо

ps = { Kx x (f)}H(f)\-*df.

•—оо

Фаза функции Н ф в данной задаче несущественна. Обозначим J ф = | Н ф |. Нам нужно найти градиент функционала Ра, который в данном случае не яв­ ляется квадратичным. Рассмотрим производную по направлению функционала

Ps [см. (6.31)]

Pa (J + e U ) - P t (J)

Du Ps (J) = П т

= - 2 J Kx x (f )J - Hf )V( f ) df .

что совпадает с результатом (9.32).

К упр. 9.4. Эта задача лишь незначительно отличается от примера 9.2. Здесь мы хотим минимизировать функционал

ОО

/ = £ [ { х ( 0 - у ( 0 } 2] = I { \ ' - G ( f ) H { f ) \ * K x x (f) + \ Htf)\*Kaam df

при ограничении на передаваемую мощность

оо

PSo= J к хх (/) | g2 (f) \*df,

— оо

где

G (f) =G i (f) G2(f).

Повторяя преобразования, аналогичные (9.25)—(9.29), мы положим градиент функционала / + XPSQ равным нулю при вариациях как по отношению Н ф,

так и G2 ф. Полученные два уравнения умножим на Н* ф и G2* ф соответствен­ но. Тогда условия стационарности принимают вид

Как и ранее, можно видеть, что Я должно быть неотрицательным, и, кроме того, заключить, что

0102Я Н 0 1|| Я | | 0 , | .

330

Исключив | G21 из системы уравнений, получим решение для Н:

Для частот, не принадлежащих В, решение имеет вид

Я © = I о2 © I = 0.

Параметр Я нужно выбрать так, чтобы выполнить ограничение на передаваемую мощность.

К упр. 9.5. В этой задаче мы используем решение (9.58) для случайного канала с передаточной функцией

G ( / ) = y [1 + s ig n (П 7-|/1)].

Предполагается, что W принимает только положительные значения и имеет плотность распределения Pw (!). Тогда

PJ ( )

Ы\ I __

В этом частном случае Е [G ©] = Е [ |G © |®]. Пусть Pw (£) имеет прямоуголь­ ную форму. Тогда средний коэффициент усиления имеет вид, показанный на рисунке.

Используя (9.58) и условие K Uu (f )lKxx © = 0,01, найдем характеристику оптимального фильтра

И ф = м ф/[М ф + 0,01],

331

мы имеем

Т0 :и> (t) = х (t—Т),

со

T1: z ( t ) = | g(o)w(t — a ) x ( t — ст) do + u(t).

—оо

Так как г (t) — процесс, стационарный в широком смысле, и в силу независимо сти w (t), g (t), u (t) и x (t) мы имеем

kZt( y ) = E [JJ g (a) g (£) w ( t +x — o) w (t—|) x (t + x —a) x (<—|)d o d |] +

-f E [u (t + x) u (/)] = J[ E [g (a) g (£)] kww (t —о + 1) kxx (x— o + l )dodl + kuu (x)

Вычисляя преобразование Фурье, находим

Kzz (/) = JJ E [* (a) g (g)] ,Г {kww (г) kxx (T)} е ~ '2^ <"-£> do dl + Kua (f) =

=j E[g(o)]wkx x (x4-o — T)da;

—oo

Kea(f)=G^Jf)wK„ ( f ) e ~l2nTf-

Следовательно, оптимальный фильтр определится условием

wG*(f) Кхх (f) е—,2llTf

Н ф = - .

\Q(f)?[Kww( f ) m xx (П)+кии (/)

К упр. 9.7. Ограничение на площадь усиления имеет вид

332