В качестве проверки этого результата заметим, что для рассматриваемого
|
процесса |
х2 (t) = |
х (/)• Поэтому мы должны получить = х = 1/2. Как следует |
|
из предыдущего, |
х2 = kxx |
(0) = 1/6 + 1/3 = |
1/2. |
|
К упр. 8.4. |
Пусть |
|
|
|
|
|
х (/) = 2 (1 —aft) «о (t — kT — 8) + ад Sj (t— kT — 6), |
|
где |
|
k |
|
|
|
|
а* = 1 или 0, и P[ah = \ ]=p, |
Р [ад = 0] = 1 —р, |
|
|
|
8 — случайная величина, |
равномерно распределенная в интервале [0, Т). |
|
|
|
|
kxx (т) = Е [х (/ +х) |
х (/)] = |
|
= 2 |
Е [(1 —aft) (1 |
afe+m)] Е [$о (/ —kT -J-6) Sq(t + т —k T — tnT + 8)] + |
|
k |
m |
|
|
|
|
|
|
+ £ [(1 —aft) aft+m] E [s0 (t— kT + 3) sx (t+ x —k T —tnT + 8)] + |
|
|
+ E [aft (1 —aft+m)] E ^ (t —kT + 5) s0 (t + x—k T — mT + 8)] + |
|
|
+ E[ah а&+т] E [sx (t — kT + 5) sx (t + x — kT —mT + 3)]. |
|
Пусть далее |
|
|
|
|
|
|
|
2 E ^ |
(t — kT + 8) sj (t + t— kT + 3)] = |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
l |
OO |
l |
|
|
|
|
г |
T i j (т) при /, / = 0, 1 |
|
|
= ~ Y |
4 (t) S j (t + x) dt = — |
|
и при всех k |
|
(р |
при m = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
Е [ a f t a f t + m \ — i 2 |
|
, n |
|
|
|
|
Ip2 при ш ф 0, |
Е [ л к ] = р .
Тогда
kXx W = - ~ [(1 —P) rot, (г) + p r u (*)] +
+ ' 2 (1 —p)2 r00 (t —mT) + p (1 —p) rn (t —mT) +
0
+ P (1 — P) rxо (x— tnT) + p2 rn (x tnT) }■
Можно переписать это выражение, выделив периодическую составляющую:
kXx (т) = ~ Р (1 —Р) ['"во (т) + ги (т) —г01 (т) —г10 (т)] +
+ ■ H i ' 1- р)2 гоо (х — т Т ) + р 2 г и (х - t n T ) +
+ Р (1 —Р) г01 (х- t n T ) + р (1 — р) г10 (х- m T )
Замечая, что |
|
Е ц tf)=S* (/) Sj (/) при i, / = |
0, 1, |
запишем спектральную плотность мощности в виде |
|
Kxx Ф = — Р (1 ■- Р ) 1 1So ф I2 + | Sj. Ф !2- 2 |
Re (S*o (f) St (f))} + |
непрерывная составляющая
|
+ ^ 2 , м - ру S „ |— j + p 2 * ( t ) + |
|
+ p ( l —р) 2 R e s5't W t |
4 f - T ) • |
|
дискретная составляющая |
|
К |
упр. 8.6. Двоичная А И М . |
|
а) |
П о л о ж и м , что постановка задачи эквивалентна следую щ им у сло в и я м : |
Р [а’ь+1 = 0 \ aft = 1] = 1/4,|
Р [a ft+ i = l |ай= 0] = 1/4,1 для всех k.
Р[aft= 1] |
=1/2 |
] |
|
|
Т о г д а мы имеем |
|
|
|
|
|
|
а т |
= Р [ а й + т = 1 |
и |
aft = |
1] = |
|
1 _ _ |
|
|
3 |
|
|
|
=^ ^ [ a f t + m - i = 0 и |
a ft= l ] + |
— |
P [ a f t + m _ i = |
l и а й = 1]. |
Н о |
|
|
|
|
|
|
Р [aft+m- i = 0 и aft = |
1] + Р |
[aft+m- i = |
1 и |
aft = l ] = |
P[aft = l ] = — , |
Р — 1 и aft = l ] = a m_ ! .
П оэтом у
|
|
1 / 1 |
\ |
3 |
|
|
атп— 4 I g |
— a m - l l + |
4 а т-1 |
или , что |
то |
ж е , |
|
|
|
|
&т~~ g |
a m -1—■g |
|
П о л у ч и л о с ь |
разностное ур ав н ен ие первого порядка с постоянными коэффици |
ентами, |
общ ее реш ение которого есть |
|
|
« ^ ( 4 - ) ” + в .
Зам ечая, что:
1) |
а0 = |
1/2, |
2) |
a OT = |
1/4, |
3) |
ат — четная |
ф ункция т, |
мы |
находим |
|
|
|
|
0-т — ’ |
1 |
|
т Г + ' |
|
|
|
б ) |
И з |
(8.39) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кхх Q) = |
— |
\S (f) | 2 2 |
« т |
e /23tm rf = |
|
|
|
|
|S(/) |
^ |
| — ~У m ' е !2лтГ^ 4- |
I ^ ^ |
I2 ^ e /2nmT7_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 Г |
m |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй |
член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1S(/)I |
|
IjZnmTf _ |
\S(f)\ |
|
|
|
|
|
|
|
4 T |
|
|
|
|
|
|
4 T 2 |
|
|
|
|
дает д и ск р етн ую с о с т а в л я ю щ у ю |
спектра м ощ ности . |
П ер в о е с лага ем ое |
(см ., на |
пример, |
(8.52) при |
р = |
1/4) |
мож но |
переписать |
в видеI |
|
|
|
I S(f) I2 |
v |
/ J _ |
V m 1rf9«n,Tf |
3 | S ( / ) | 2 |
1 |
|
|
|
|
4T |
^ |
\ 2 |
/ |
|
|
|
|
|
4T |
1 -(-8 (sin n l/)2 |
' |
|
ОТ
К упр. 8.7. Полагая в (8.39) а т = |
аор' |
т | |
получаем |
Кхх |
2 |
«оР 1-1е/2я-И = 1 М ) ] ! М (/)> |
где |
|
|
|
|
|
M ( f ) = a о ^ |
Рт е,2ятП + «о |
2 |
Рт e ~ i 2n,rnTf—а 0 = |
т = 0 |
|
1 |
т = 0 |
|
1 |
|
■1 |
а о(1 + р) |
= ао 1 _ р е/2я77 ■+ 1 _ рре |
|
|
i 2 n T f |
|
(1—р) + —~^-sin2 nTf |
|
|
|
|
|
1—р |
а) Пренебрегая множителем |
|S .® |2, |
можно считать, что величина |
|
М(0) |
/1 + р \ 2 |
есть отношение максимума спектральной плотности к ее минимуму. Для р » 1 максимум спектральной плотности имеет место при ft = 0, как показано на ри сунке.
б) Для знакопеременных импульсов
bk = ( 1)^ йа Р т = Е [bft+7)j Ьд] = ( 1)2k+m £ [а^+7П а*],
Pm= (—l)m«m = ao (—Р)1"Ч |
|
|
т. е. просто р в предыдущем примере заменяется на —р. При р ^ |
1 в точке ft = О |
имеет место минимум спектральной плотности. |
|
|
в) Дифференциальная АИМ: |
|
|
|
|
Ch — a h — ak - i > |
|
|
Ут — Е [cfc+m cft] —Е [(а&+т |
afc+m-i) (aft— afc-i)] — |
= 2am—am_i—am+! = ao [2p|m| —pi m~l l _ plm+ 1I]; |
M (/) = 2 a0 2 P1m 1e,'2nmr?—a 02 |
p' "*1е '2я |
+ |
|
m |
m |
|
|
|
— « о 2 P 1 m ' e ^ 2 r t <m~ n T f _ |
a « |
I 4 s i n 2 n 7 7 ] |
( H - p ) |
|
|
l _ p + _ t e - „ n.„7T |
' |
|
|
1 - p |
|
|
В этом случае М (/) отличается от примера а) только множителем 4sins я Tfj.
К упр. 8.8.
n (o = 2 «■(*-**). k= 1
где tb распределены по закону Пуассона с параметром Я:
|
N ( 0 = 2 |
«РЛ(/)= |
2 |
^ е |
- « |
= |
|
|
п= 1 |
4=1 |
«' |
|
|
|
= е |
- и |
у |
=?U; |
* > 0. |
|
|
У (Я,t) |
|
|
|
т= О |
m! |
|
|
|
Пусть |
> О- Полагая для характерной реализации |
TV(/2) = |
= п, |
можем записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
оо |
|
|
|
|
|
1> 0 ) = 2 |
2 |
|
п (т+ п) Рп (h) Pm(h — t\) — |
|
|
|
= 0 т —0 |
|
|
|
= е - м . . - ы е- « . |
2 |
I „(„+„) |
|
|
|
|
ч = 0 т=0 |
«I т! |
|
“ Гн^ (Яр)” |
+ |
—Я.0) |
П (kti)n |
—Xji [Я/2 “Ь 1] при t<i >■ ^ ^ 0. |
|
4= О |
/г! |
П! |
|
|
|
|
|
|
В силу симметрии |
|
|
|
|
|
|
|
^NN (0> 0) = |
^2 [^1 “Ь П при ti ^ ^ |
О* |
К упр. 8.9. Пусть случайная величина а есть время между соседними чер но-белыми и бело-черными переходами. Принимая во внимание основные свой ства модели случайного фототелеграфного сигнала, можем записать
|
|
ОО |
|
|
|
Р [| < а < | + Д|] = |
2 Р [наличия k — \ пуассоновских точек в £]х |
|
|
k=i |
|
|
|
Х Р [отсутствия переходов в этих k — 1 |
точках] X |
|
ХР [наличия fe-й точки в интервале | |
-f-£ + Д|] X |
|
X Р |
[наличия перехода в k-й точке] = |
|
|
ОО |
|
|
|
= 2 P k - i ( i ) ( i - p ) k- 1 № i ) p = |
|
*= 1 |
|
|
|
=pU6 2 |
|
-p)k- l=pUle-»*; |
|
1 |
|
_________P [Белого] =p |
|
a |
Черное |
|
Черное |
|
D- Белое |
|
|
t |
ОС
Е [ a ] = f p ^ e - ^
|
о |
|
|
|
|
В силу симметрии, |
среднее время |
между переходами |
обратного направления |
(т. е. бело-черным и соседним черно-белым) определяется выражением |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
M i —р) ' |
|
|
Следовательно, среднее время между любыми двумя переходами равно |
|
[a -f-b\ |
1 |
|
|
1 |
2 |
Mi—p) |
|
|
. м |
2M |
( 1 - P ) ’ |
что соответствует средней частоте |
переходов |
2Яр (1 — р). |
К упр. 8.10. Для случайной |
функции |
скачков раньше было определено |
Е[х (<)] = Е [дь] = а.
Поэтому kxx (т) = Е [х (/-(-т) х (/)] = а2Р [/ |
т и t попадают в один интервал] + |
+ (а)2Р [t |
-f т и t |
попадают в разные интервалы] = а2Р [отсутствия точек пе |
рехода за |
т сек] + |
(а)2Р [наличия хотя бы одной точки перехода |
за |
т сек] = |
= а2Р0 (т) + ( а ) 2 (1— Р0 (т)) = [а2—(д)2] Р 0 (т) + (a)2 = a l е |
я 1т 1 + (а)2. |
К упр. 8.11. Пусть а т=Е [ah+mak\ = а 2 р1т 1, где |р |< 1 . |
Так как « „,= 0, |
мы имеем Е [х (t)] = £ [дд] = 0 , |
kxx (т) |
|
|
оо |
|
|
|
Е [х (t + |
т) х (/)] = д а ^ |
Р1* 1 |
[наличия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=o |
|
|
k пуассоновских точек |
|
|
|
|
|
ОО |
pfe(Xx)k e ~ ^ = |
между моментами |
t и |
( + х ] = а 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k— 0 |
k\ |
|
= a | e ~1I— |
при т > |
0. Следовательно, |
kxx (r) =Ga ё~^1~ Pi ^ ' x ' =Oa e—^ ' x L |
Этот процесс |
эквивалентен |
случайной |
функции скачков с нулевым средним и |
параметром |
Х= (1—р)Я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
К упр. 9.1. |
T0 :(o(t)— |
J |
А0 (t — а) х (о—Т) da, |
|
|
|
|
|
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7’i : e ( / ) = |
J * [f - 6 )x (S )d g + «(*)• |
|
|
|
— ОО
Поэтому, как и в (9.15),
К гг (f)=\G(f)[2Kxx (П+Кии(П-
Но
km ( t) ==E(,° (t + t )z ( t ) \ =E [JJA0 (г' + т —a) g (t— l) x (a—T) X
Xx(l)dodl]+E{«>(t+x)u{t)].
Последнее слагаемое равно нулю, поскольку сигнал и шум статически независи мы и имеют нулевое среднее. Следовательно,
ОО
kaz (т) = Я К (t + Т-СТ) g { t - D kxx (о—Г —g) dodg —00
или, взяв преобразование Фурье,
(!) = tfo (!) G* (f) К хх (f)
